贵州省黔南州2024届高三下学期第二次模拟统考数学试题（含答案）

第第页贵州省黔南州2024届高三下学期第二次模拟统考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．n∈N∗，数列1，−3，7，−15，31，A．an=2C．an=22．双曲线x2−yA．y=±2x B．y=±12x C．y=±2mx3．若函数fx=cosx−A．5π6 B．4π3 C．π 4．空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.AQI的数值越大、级别越高，说明空气污染状况越严重.某地区4月1日22时至4月2日5时的AQI整点报告数值为：15，17，20，22，20，23，19，21，则这组数据的第70百分位数是（）A．19 B．20 C．21 D．225．已知直线y=x+2k与直线y=−x的交点在圆x2+yA．−1<k<1 B．−2<k<2 C．−3<k<3 D．−6．某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是2cm和4cm）铁皮材料，通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（）A．32cm B．1cm C．3cm7．我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的1314A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年8．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F，过焦点F作圆x2+y2A．53 B．33 C．63二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9．已知非空集合M，N，P均为R的真子集，且M⊆N⊆P，则（）A．M∪P=M B．N⊆P∩M C．∁RP⊆10．若函数fx是定义域为R的奇函数，且fx+2=−fA．fB．fx的图象关于点2,0C．fx的图象关于直线x=1D．f11．已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,A．B=B．A的取值范围为(C．若b=3，则△ABCD．若a=3，则△ABC的面积的取值范围为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．i为虚数单位，若z是以2+i的实部为虚部、以2i+1的虚部为实部的复数，则z的共轭复数的模长为.13．已知四面体A−BCD的四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，∠BDC为直角，且AB=BC=2CD=22，则四面体A−BCD的体积为14．欧拉函数φn表示不大于正整数n且与n互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知φn=n1−1p1⋅⋅⋅1−1p21−1pr四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点为F，过焦点F作直线l交抛物线E于A,B两点，D为抛物线E上的动点，且（1）抛物线E的方程；（2）若直线l交抛物线E的准线于点C−1,−2，求线段AB16．2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A，B两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为12；问题B为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为34，乙能正确回答每道题的概率均为（1）求问题A被回答正确的概率；（2）记正确回答问题B的人数为X，求X的分布列和数学期望.17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，EF//AD，AD=3，EF=32，CF=33，N是BF的中点，BE与CF（1）证明：AN⊥平面BCEF；（2）求直线MD和平面ACF所成角的大小.18．已知函数fx=lnx+m（1）若函数fx在点1,f1处的切线与直线2y−3x=0垂直，求（2）当m≤2时，证明：fx的图象恒在g19．1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根（n≥1）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.对于n次复系数多项式fx=xn+an−1xn−1+⋅⋅⋅+a1x+a（1）在复数域内解方程x2（2）若三次方程x3+ax2+bx+c=0的三个根分别是x1=1−i，x2=1+i，x（3）在n≥4的多项式fx=xn+an−1xn−1+⋅⋅⋅+a1x+

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：对于A：因为a1对于B：因为a2对于C：因为a2对于D：检验可知对n=1,2,3,4,5均成立，故D正确.故答案为：D.【分析】利用归纳推理的方法和排除法，再结合取特值检验法，从而找出数列的通项公式.2．【答案】A【解析】【解答】解：由双曲线x2−y24所以渐近线方程为y=±2x.故答案为：A.【分析】由双曲线方程可得x2−y243．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：x=0为函数fx则−π3+φ=kπ,k∈Z对于A：令φ=kπ+π3=对于B：令φ=kπ+π3=对于C：令φ=kπ+π3=π对于D：令φ=kπ+π3=故答案为：B.【分析】由题意结合偶函数的图象的对称性可知x=0为函数fx的对称轴，再结合余弦型函数的图象的对称性，从而找出满足条件的φ4．【答案】C【解析】【解答】解：把数值从小到大排列为15,17,19,20,20,21,22,23，由8×70%故答案为：C.【分析】把数据从小到大排列后计算数据的百分位数求解方法，从而求出这组数据的第70百分位数.5．【答案】D【解析】【解答】解：联立y=x+2ky=−x，解得y=kx=−k，即点−k,k在圆则−k2+k故答案为：D.【分析】联立两直线方程可得交点坐标，再由该点在圆的内部的位置关系判断方法，从而计算可得实数k的取值范围.6．【答案】C【解析】【解答】解：设圆台的上底面半径为rcm，下底面半径为Rcm，母线长为lcm，高为ℎcm，由题意可得：2πr=12×2π×2所以，该圆台的高为ℎ=l故答案为：C.【分析】根据圆台的侧面展开图求得r=1R=27．【答案】B【解析】【解答】解：因为13=12C故1314除以12的余数为1，故1314+1除以12故1314+1年后是马年.【分析】利用二项式的展开式结合求余的方法，从而得出从今年起的13148．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知：圆x2+y2=b2设椭圆E的右焦点为F2，连接A因为OA+OF=2OQ，可知点Q为AF的中点，且点O为FF2的中点，

则由椭圆定义可知：AF=2a−因为Q为切点，可知OQ⊥AF，则AF可得AF22解得2a=3b，即ba所以椭圆E的离心率e=c故答案为：A.【分析】根据题意分析可知：AF2⊥AF，AF29．【答案】C,D【解析】【解答】解：因为M⊆N⊆P对于A：可知M∪P=P，故A错误；对于B：因为P∩M=M，所以P∩M为N的真子集，故B错误；对于C：可知∁RP为对于D：因为∁RN为∁R所以M∩∁故答案为：CD.【分析】根据真子集的定义结合集合间的运算，从而逐项判断找出正确的选项.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因为fx+2=−fx对于A：令x=1，可得f3对于C：因为函数fx是定义域为R的奇函数，则f则fx+2=−fx=f−x对于B：因为fx+2=f−x则fx+2即fx+2+f−x+2=0，所以对于D：因为fx+2令x=0，可得2f2令x=1，可得f3又因为fx+2=−fx可知4为fx的周期，可得f2+f因为2024=4×506，所以f1故答案为：ABC.【分析】根据fx+2=−fx，赋值令x=1，可得函数的值，则判断出选项A；根据fx+2=−fx结合奇函数定义可得fx+2=f−x11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A：由题意可得12acsin即有12acsin由B∈(0,π2)，故B：则A∈(0,π2)，C：由正弦定理可得2R=bsinBD：若a=3，则S=由正弦定理可得asinA=即S==3由A∈(π6,π2故答案为：ABD.【分析】直接利用三角形的面积公式与余弦定理进行计算可推出tanB=3，据此反推出角B，判断A选项；利用锐角三角形定义和三角形内角和公式进行计算可求出A的取值范围，判断B选项；直接利用正弦定理进行计算可求出△ABC的外接圆的半径，判断C选项；直接利用正弦定理，再结合面积公式可将三角形的面积表示为：S=312．【答案】22【解析】【解答】解：因为2+i的实部为2，2i+1的虚部为2，由题意可知：z=2+2i，则z=2−2i所以z的共轭复数的模长为z=故答案为：22【分析】根据复数的实部、虚部的概念可得复数z，再结合共轭复数的定义和模长公式，从而得出复数z的共轭复数的模长.13．【答案】423【解析】【解答】解：因为∠BDC=π2且可得AC=AB2所以四面体A−BCD的体积为VA−BCD取AC的中点O，如图：因为四面体A−BCD的四个面都为直角三角形，

则OA=OB=OC=OD=1可知四面体A−BCD的外接球的球心即为点O，半径R=2，所以其外接球的表面积为4πR故答案为：423；【分析】根据题意求出AC,BD的长，结合锥体的体积公式求出四面体A−BCD的体积；取AC的中点O，分析可知四面体A−BCD的外接球的球心为点O，再根据球的半径和球的表面积公式得出四面体A−BCD的外接球的表面积.14．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可得an=3×2当n≥2时，φa则φa故答案为：2100【分析】利用已知条件计算出等比数列的通项公式后，再结合欧拉函数φn和代入法，则由等比数列的前n项和公式得出φ15．【答案】（1）解：由题意可知：抛物线E的焦点Fp2,0设Dx0,y0,x可得p2=1，解得所以，抛物线E的方程为y2​​​​​​（2）解：由题意可知：直线l与抛物线E必相交（斜率不为0），设Ax1,y1直线l过点C−1,−2和F则直线l的方程y−0−2−0=x−1联立方程x=y+1y2=4x则y1+y将yM=2代入x=y+1，可得所以线段AB的中点的坐标为3,2.【解析】【分析】（1）设Dx0,（2）由题意可得直线l过点C−1,−2和F1,0，根据两点式求出直线（1）由题意可知：抛物线E的焦点Fp2,0设Dx0,y0可得p2=1，解得所以抛物线E的方程为y2（2）由题意可知：直线l与抛物线E必相交（斜率不为0），设Ax1,y1且直线l过点C−1,−2和F则直线l的方程y−0−2−0=x−1联立方程x=y+1y2=4x则y1+y将yM=2代入x=y+1可得所以线段AB的中点的坐标为3,2.16．【答案】（1）解：设“甲抢到问题A”为事件M，“问题A被回答正确”为事件N，

由题意可知：PM=PM=12,PN|M=（2）解：由题意可知：X的可能取值有：0，1，2，

则PX=0PX=1PX=2所以X的分布列为X012P151则数学期望EX【解析】【分析】（1）根据题意设出相应的事件，再结合全概率公式得出问题A被回答正确的概率.（2）由题意可知随机变量X的可能取值，结合独立事件求概率公式求出相应的概率，从而可得随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.（1）设“甲抢到问题A”为事件M，“问题A被回答正确”为事件N，由题意可知：PM由全概率公式可得PN所以问题A被回答正确的概率为1724（2）由题意可知：X的可能取值有：0，1，2，则有：PX=0PX=1PX=2所以X的分布列为X012P151期望EX17．【答案】（1）证明：因为AF⊥平面ABCD，且AC,AD⊂平面ABCD，

则AF⊥AC,AF⊥AD且AB⊥AD，AF,AB⊂平面ABF，

可得AD⊥平面ABF，由AN⊂平面ABF，则AD⊥AN且AD∥BC，

可得BC⊥AN，又因为AC=22，AF=即AB=AF且N是BF的中点，

可得AN⊥BF且BC∩BF=B，BC,BF⊂平面BCEF，所以AN⊥平面BCEF.（2）解：以A为坐标原点，AB,AD,AF为x,y,z轴所在直线，

建立空间直角坐标系，则A0,0,0可得AC=设平面ACF的法向量为n=x,y,z，则令x=1，则y=−1,z=0，可得n=因为EF//AD，则FMMC=EF则DM=可得cosDM设直线MD和平面ACF所成角为θ∈0,π2，

则sin所以直线MD和平面ACF所成角为π4【解析】【分析】（1）根据题意可证AD⊥平面ABF，结合平行关系可得BC⊥AN，则根据长度关系可知AB=AF，从而可得AN⊥BF，再由线线垂直证出线面垂直，即可证出线AN⊥平面BCEF.（2）利用已知条件建系，从而求出点的坐标和向量的坐标，根据平面的法向量和两直线平行对应边成比例，从而得出两向量共线，再根据向量共线的坐标表示和三角形法则以及数量积求向量夹角公式，从而得出直线MD和平面ACF所成角的余弦值，由直线MD和平面ACF所成角为θ∈0,π2和同角三角函数基本关系式以及三角函数的定义，从而得出直线MD（1）因为AF⊥平面ABCD，且AC,AD⊂平面ABCD，则AF⊥AC,AF⊥AD，且AB⊥AD，AF,AB⊂平面ABF，可得AD⊥平面ABF，由AN⊂平面ABF，则AD⊥AN，且AD∥BC，可得BC⊥AN，又因为AC=22，AF=即AB=AF，且N是BF的中点，可得AN⊥BF，且BC∩BF=B，BC,BF⊂平面BCEF，所以AN⊥平面BCEF.（2）以A为坐标原点，AB,AD,AF为x,y,z轴所在直线，建立空间直角坐标系，则A0,0,0可得AC=设平面ACF的法向量为n=x,y,z，则令x=1，则y=−1,z=0，可得n=因为EF//AD，则FMMC=EF则DM=可得cosDM设直线MD和平面ACF所成角为θ∈0,π2，则sin所以直线MD和平面ACF所成角为π418．【答案】（1）解：因为fx=lnx+m−x的定义域为−m,+∞，

则f由题意可得：−m<1f'1此时fx=lnx+2−x的定义域为−2,+令f'x>0，解得−2<x<−1；令f所以fx的单调递增区间为−2,−1，单调递减区间为−1,+∞，

极大值为（2）证明：构建Fx=e因为y=ex,y=−1x+2在−2,+∞内单调递增，

可知则F'x在−2,+∞当−2<x<x0，则F'x<0可知Fx在−2,x0则Fx又因为F'x0则Fx0=即Fx>0，可得若m≤2，可得lnx+m≤ln可得lnx+m−x<e所以fx的图象恒在g【解析】【分析】（1）根据导数的几何意和两直线垂直斜率之积等于-1可得m的值，代入原函数得出函