贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊数学试卷（含答案）

第第页贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，∁UA=x|x<1，B=A．x|x≥1 B．x|x>3 C．x|1<x≤3 D．x|1≤x≤32．抛物线x2A．(−1,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,−1)3．已知曲线y=x2−3lnx的一条切线方程为y=−x+mA．−2 B．−1 C．1 D．24．在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=π3，则A．73 B．213 C．25．已知点O为△ABC的重心，AC=λOA+μA．−3 B．−2 C．1 D．66．已知直线ax−y+2=0与圆x−12+y2=4A．43 B．1 C．−37．定义在R上的奇函数fx，满足fx+3=f1−x，x∈0,2A．e+1 B．e−1 C．1−e D．−e8．已知aea=π，blnb=πA．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数fx=sinωx+φω>0,|φ|<π2，若函数f(x)A．ω=2B．φ=−C．点π3,0是函数D．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后所得函数的图象关于y10．（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1BA．△PBC1的面积为22 B．三棱锥C．存在点P，使得BP⊥PC1 D．存在点P，使得A11．（多选）设O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:xA．若PF1=3，则PF2=1 C．若线段PF1的中点在y轴上，则PF2=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若复数z是方程x2+2x+2=0的根，则复数z的模为13．诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为14,114．已知正四面体的棱长为23，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知an为等差数列，且a5＝（1）求an（2）若2n16．某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计X=3时的概率.附：①若随机变量ξ的分布列为Pξ=k②设η~Bn,p，当p≤0.05且n≥20时，二项分布可近似看成泊松分布．即Pη=k=③泊松分布表（局部）表中列出了Pξ=k=λkλk…0.50.60.7…0…0.6065310.5488120.496585…1…0.3032650.3292870.347610…2…0.0758160.0987860.121663…3…0.0126360.0197570.028388…4…0.0015800.0029640.004968…5…0.0001580.0003560.000696…6…0.0000130.0000360.000081…7…0.0000010.0000030.000008…17．已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AA1（1）证明：PQ//平面ABB（2）求二面角Q−A18．在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且|AB|=3,动点P满足（1）求C的方程；（2）设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求k119．若函数fx在a,b上有定义，且对于任意不同的x1,x2∈a,b（1）若fx=x2，判断（2）若fx=2（3）若fx为1,2上的“2类函数”且f1=f2，证明：∀x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由全集U=R，∁UA=x|x<1，可知A=x|x≥1，

所以A∩B=x|1≤x≤32．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知，p=2，则p2=1，

故抛物线x2故选：D.【分析】根据抛物线的性质写出焦点坐标即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为y=x2−3lnx(x>0)，所以y'因为切线y=−x+m，所以切线斜率为-1，所以y'解得x0代入曲线y=x2−3lnx所以切点为1,1代入切线方程可得1=−1+m，解得m=2.故选：D.【分析】先对y=x2−3lnx进行求导，根据切线的斜率的几何意义可知y4．【答案】B【解析】【解答】解：由余弦定理可得：BC=A设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得：2R=BCsinA故选：B．【分析】先由余弦定理BC=AB2+AC2−4AB⋅AC5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，连接AO，交BC于点F；连接BO，交AC于点E；连接CO，交AB于点D

因为点O为△ABC的重心，所以D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，

由题可知，AC=因为F为BC中点，所以BC又因为点O为△ABC的重心，所以OF=所以BC⃗所以AC⃗又因为AC=λOA+μOB，所以故选：A.【分析】作出图形，将OA,OB作为基底，根据平面向量的线性运算用OA,OB,BC表示AC，再将BC也用OA,6．【答案】C【解析】【解答】解：由题可知，圆x−12+y2=4的圆心为(1，0)，半径为r=2，

因为圆心1,0由垂径定理AB=2r2−d2，可得d2故选：C．【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，进而利用垂径定理建立等量关系式，求出a的值即可．7．【答案】C【解析】【解答】解：因为fx是定义在R上的奇函数，x∈0,2时，fx=mex−1，

所以f0=m−1=0，解得m=1，

所以当x∈所以f=−f1−所以fx的周期为8所以f31故选：C．【分析】由已知结合奇函数性质先求出m的值，进而写出x∈0,2时，函数fx的解析式，然后结合奇偶性及周期性求出函数8．【答案】A【解析】【解答】解：因为aea=π，blnb=π，c=π，所以ea作出函数y=ex，y=lnx，y=x，结合图像可知：a<c<b．故选：A．【分析】将aea=π，blnb=π，c=π转化为ea=πa，lnb=πb，c=πc，作出函数y=ex，9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由函数f(x)图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，可知T=π，

所以ω=2B、因为直线x=−π6为函数所以−π6×2+φ=π2+kπ，又因为φ<π2C、所以f(x)=sin(2x−π6)，所以f(D、将函数f(x)的图象向左平移π3y=sin2(x+π故选：ABD.【分析】利用已知条件结合周期先求出ω的值，可判断选项A；由对称性求出φ的值，可判断选项B；求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质可判断选项C；求出函数f(x)的图象向左平移π310．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、在棱长为1的正方体ABCD−A点P是线段A1D上的动点，当点P与A1重合时，△PB所以△PBC1的面积为B、用ℎp表示点P到平面B1BC1的距离，所以ℎpC、在正方体ABCD−A1B1C则直线A1D与该球面没有公共点，故不存在点P，使得BP⊥D、取BC当P为A1D的中点时，即P为因为D1C1//AB，D1又因为D1P=C1M因为D1C1⊥平面ADD1因为A1D⊂平面ADD又因为在正方体中，A1D⊥BC1，PM∩BC故选：BD．【分析】当点P与A1重合，△PBC1为边长是2的等边三角形，求出三角形面积，即可判断选项A；利用等体积转化法求解即可判断选项B；以B11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知，渐近线方程为bx±ay=0，因为e=ca=2，焦点c,0到渐近线的距离为bcb2+a2=A、||PF1|−|PF2B、记∠F1P由S△PF1F2=bC、因为PF1的中点M在y轴上，所以MF2=D、如图所示，取点P在双曲线的右支上，

|PF又因为|F1A|+|AF2所以切点A是双曲线的右顶点，所以内切圆圆心的横坐标为1，故选项D正确．故选：BCD．【分析】由离心率公式和点到直线的距离公式以及c2=a12．【答案】2【解析】【解答】解：设复数z=a+bi,a,b∈R，

因为复数z是方程x2所以a+bi2+2所以a2若b=0，则a2+2a+2=0，因为Δ=所以b≠0，解得a=−1,b=±1，所以复数z=−1±i，所以复数z的模|z|=−12故答案为：2.【分析】先设复数z=a+bi,a,b∈R，再代入方程x2+2x+2=0中，根据复数的运算及复数相等概念列方程组解a,b的值，进而求出复数z的表达式，再求出复数13．【答案】7【解析】【解答】解：由题意可知，甲、乙两队抢到该题的概率均为12所以该题被答对的概率为12故答案为：724【分析】分甲抢到题且答对和乙抢到题且答对两种情况，利用互斥事件的加法公式和相互独立事件的乘法公式计算即可求出该题被答对的概率．14．【答案】5π【解析】【解答】解：以点A为球心的球，其球面与正四面体的四个面都相交，所得交线分成两类：一类交线与三个侧面ABD,ABC,ACD的交线，

如图所示，设与侧面ABC交线为MN，则MN在过球心的大圆上，且与BC交于中点P，正四面体ABCD中每个面都是等边三角形，且AB=AC=AD=CD=BC=BD=23，AM=3又因为∠BAC=60∘，所以根据对称性可知：与侧面ABD，ACD的交线长与MN长相等，另一类交线是与底面BCD的交线，过A作AO⊥平面BCD，则OD=2AO=AAP=3故与底面BCD刚好相交于底面BCD各边中点处，形成的交线此时是底面BCD的内切圆，内切圆半径为OP=13DP=所以该球球面与正四面体ABCD的表面相交所得到的交线长度之和为3π+2π=5π．故答案为：5π．【分析】将球面与正四面体的四个面所得交线分成两类，一类与侧面的交线，一类与底面的交线，结合球的截面性质分别求出两类交线，进而求出所得球面与该正四面体表面的交线长之和．15．【答案】（1）解：设数列an的公差为d，

由题意可知，a1+4d=3a13a1+17d=a1（2）解：由（1）可知Sn又因为2n⋅λ≥a设fn=n当n＝1时，f2当n≥2时，−n2−n+4≤−2，所以f(n+1)−f所以fnmax=f(2)所以实数λ的取值范围为[5【解析】【分析】（1）根据题意建立方程组，解方程组求出等差数列的首项与公差，即可求出等差数列的通项公式；（2）根据(1)先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题进行参变分离，令fn（1）设数列an的公差为d，则根据题意可得a解得a1=4d=2（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到Sn又2n⋅λ≥a设fn=n当n＝1时，f2当n≥2时，−n2−n+4≤−2，则f(n+1)−f则fnmax=f(2)故实数λ的取值范围为[516．【答案】（1）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，所以pξ=0=C33所以ξ的分布列为：ξ012P133所以ξ的期望为Eξ（2）解：由题意可得X~B20,0.03，则E因为0.03<0.05,20≥20，所以λ=EX所以PX=3所以X=3时的概率估计值为0.019757．【解析】【分析】（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，列出ξ的分布列，再结合数学期望公式求出ξ的数学期望E(X)即可；（2）由题意可知X~B20,0.03，求出E(X)的值，此时二项分布可近似看成泊松分布，即可知λ的值，再利用泊松分布的概率公式求出X=3（1）解：（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，则pξ=0=C33所以ξ的分布列为：ξ012P133所以ξ的期望为Eξ（2）依题题意，得X~B20,0.03，则E所以PX=3因为0.03<0.05,20≥20，所以λ=EX于是PX=3所以X=3时的概率估计值为0.019757．17．【答案】（1）证明：取AA1的中点为M，连结MP，MB

因为P为DD1中点，所以因为BQ=3QC，BC=4，所以BQ=3

又因为AD//BQ所以MP//BQ，MP=BQ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以PQ//MB，因为MB⊂平面ABB1A1，所以PQ//平面ABB（2）解：在△A1D在△A1AD中，A因为平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A所以AA1⊥故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以P0,3,32，所以PA1=设平面A1PQ的一个法向量为m=x,y,z，

则−3y+32z=04x−3易知平面A1PD设二面角Q−A1P−D1所以cosθ=−所以sinθ=故二面角Q−A1P−【解析】【分析】（1）取AA1的中点为M，连结MP，MB，结合已知条件可证得四边形BMPQ是平行四边形，进而可证PQ//MB，再由线面平行的判定定理，即可证得PQ//平面（2）结合余弦定理求出A1D的值，再由勾股定理可证AA1⊥AD，利用面面垂直的性质定理可证得AA1⊥平面ABCD，进而可以（1）证明：取AA1的中点为M，连结MP，因为P为则MP=A1D因为AD//BQ，BQ=3QC，BC=4，所以BQ=3所以MP//BQ，MP=BQ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以PQ//MB，因为MB⊂平面ABB1A1，所以PQ//平面ABB（2）在△A1D1D在△A1AD中，A因为平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A所以AA1⊥故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P0,3,32，所以PA1=设平面A1PQ的法向量为m=令z=8，得x=3，y=4，所以m=易知平面A1PD设二面角Q−A1P−D1所以cosθ=−所以sinθ=故二面角Q−A1P−18．【答案】（1）解：设Px,y因为AB=3，所以因为3OP→=2OA→+OB→，所以3x,y=2将x0=3x2，y所以动点P的轨迹C的方程为x2​​​​​​（2）解：由（1）知A1联立x=my+1x24由韦达定理得，y1所以y1+y因为k1=y1所以k1【解析】【分析】（1）设Px,y,Ax0,0,B0,y0，结合两点的距离公式可知x（2）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可知y1+y2=−（1）解：设Px,y因为AB=3，所以由3OP→=