贵州省毕节市2024届高三第三次诊断性考试数学试题（含答案）

第第页贵州省毕节市2024届高三第三次诊断性考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若复数z满足(1+i2+A．1 B．5 C．7 D．252．随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，若A．0.66 B．0.34 C．0.17 D．0.163．已知点(1,2)在抛物线A．x=−12 B．x=−18 C．4．已知函数f(x)=ex−aA．1 B．−1 C．±1 D．05．某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（）A．110 B．15 C．256．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2π3，若点D满足AD⋅AB=0A．12 B．2 C．147．在正四棱台ABCD−A1BA．100π B．128π C．144π D．192π8．已知函数f(x)的图象在x轴上方，对∀x∈R，都有f(x+2)⋅f(xA．3 B．4 C．5 D．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的有（）A．已知a,b∈R，则“a>b”的必要不充分条件是“B．函数f(C．集合A，B是实数集R的子集，若A⊆B，则A∩∁RBD．若集合B={x∣x2−2x−3=0}，则满足∅⫋A⫋B10．已知等差数列{an}的前n项和为SA．aB．SC．数列{1anaD．数列{an+211．函数f(x)A．∃b∈R，使得g(B．若a=−1,−1<b<0，则方程C．若0<a≤1,b=1，则方程D．若a≥1，b<1，则方程g(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数f(x)=2sinπ3−2ωx(ω>0)的最小正周期为π13．已知直线l1:x+ty−5=0，直线l2:tx−y−3t+2=0，l1与l14．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段BC1上的一个动点，记异面直线四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本，根据调查结果得到如下列联表：学生群体关注度合计关注不关注大学生3n

2n高中生

合计3n

（1）完成上述列联表；依据小概率值α=0．05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值；（2）用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望．附：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n16．（1）证明：当π2<x<π时，（2）已知函数f(x)=2ax−tanx在17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD=PC=BD=12AD=2，AB=23.点E，F分别在DC和DP上，且DE=1（1）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（2）证明：MN//平面BEF；（3）求平面FMN与平面ABCD所成角的正弦值.18．在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，A(−1,0),B(1,（1）求曲线Γ的方程；（2）过点C(1,1)的直线l与曲线Γ在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D19．在无穷数列{an}中，若对任意的n∈N∗，都存在m∈N∗，使得an+an+2m=2an+m，则称{a（1）若数列{bn}为1阶等比数列，b1+b2（2）若数列{lncn}为m阶等差数列，求证：（3）若数列{lncn}既是m阶等差数列，又是

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：复数z满足(1+i2+即z=3−4ii=故答案为：B.【分析】根据复数的乘法和除法运算化简求得复数z=−4−3i，再根据复数的模长公式求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：由随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，P(故答案为：D.【分析】根据正态分布对称性求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为点(1,2)在抛物线C:即抛物线C的标准方程为x2=12y故答案为：D.【分析】将点(1,24．【答案】B【解析】【解答】解：因为函数f(x)=ex−aex+a是奇函数，即f(-x)=-f(x)，又因为f(x)=e所以当a>0时，函数f(x)为增函数，当a<0时，函数f(x)为减函数，因为f(2023)>f(2024)，所以a<0，故a=−1.故选：B.

【分析】结合函数奇偶性的定义与结合函数的单调性即可求得a的值.5．【答案】C【解析】【解答】解：设Ai为“第i次按对密码”（i=1则事件A“不超过2次就按对”可表示为A=A记“密码的最后一位数字是奇数”为事件B，由条件概率的性质可得P(故答案为：C.【分析】由题意，根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质求解即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵AD=45AC+15AB，

∴5AD设S△ACD,SABD∵AD⋅AB=0，∴AD⊥AB∵A=2π3，∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=2π3−∴S△ACDS△ABD故选：A.

【分析】由AD=45AC+15AB变形可得4CD7．【答案】A【解析】【解答】解：连接AC，A1C1，记其中点分别为O设设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为r1,r2，

因为AB=42,A1B设球心到上下底面的距离分别为d1,d则d1=R2−即R2−9+R2则球的表面积为S=4πR故答案为：A.【分析】连接AC，A1C1，求得上、下底面所在圆的半径r1=3,r8．【答案】C【解析】【解答】解：因为y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即函数因为∀x∈R，都有f(x+2)所以f(x+2)⋅f(所以f(x)≠0，所以当x=1，可得f(3)当x=−1，可得f(−1+2)⋅f(所以f(故答案为：C.【分析】由函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，推出函数是偶函数，即f(−x)=f9．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、取a=2,b=1，满足a>b，但不满足若a>b+1，即a−b>1>0，所以a>b，故“a>b”的充分不必要条件是“a>b+1”，故A错误；B、f(令t=x2+4(t≥2)，由双勾函数的性质知：y=t+1t在C、集合A，B是实数集R的子集，若A⊆B，则A∩∁RD、B={x∣x2−2x−3=0}={−1,3}，∅⫋A⫋B故答案为：CD.【分析】由充分条件和必要条件的定义即可判断A；由双勾函数的性质即可判断B；由子集的定义即可判断C；由真子集的定义即可判断D.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、设等差数列{an}因为S4=4S2，所以又因为a2n=2an+1，所以a所以anB、由A可得SnC、由A可得1anan+1=1(2n−1)(2n+1)D、令bn则数列{an+2=n(1+2n−1)故答案为：ABD.【分析】由等差数列的性质和前n项和公式可求出d=2,a1=1即可判断A；由等差数列11．【答案】A,B【解析】【解答】解：画出函数f(由图可知函数f(x)为奇函数；

A、当b=0时，g(x)=af(xB、若a=−1，−1<b<0，则g(x)=−f(由图象可知：若y=f(x)与y=bC、若0<a≤1,b=1，则由y=f(x)图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍可得y=af(x由图象可知：若y=af(x)与y=−bD、当a=1，b=−3时，由g(x)由图象可得：y=f(x)与y=−b故答案为：AB.【分析】作出图象，由图可知函数f(x)为奇函数，当b=0时，g(x)=af(x)为奇函数即可判断A；由已知可得g(x)=−f(12．【答案】x=5π12（答案不唯一，符合【解析】【解答】解：由题可知，2π2ω=π且ω>0，解得ω=1，

所以令π3−2x=π令k=1，则x=5π12.

所以函数f(x)图象的一条对称轴方程为故填：x=5π12（答案不唯一，符合x=kπ2−13．【答案】(【解析】【解答】解：因为l1:x+ty−5=0，即ty+x−5=0直线l2:t(x−3)−y+2=0，即tx−3+因为1⋅t+t⋅(−1)=0，所以l1⊥l所以AC⋅AB=0所以(5−x)(3−x)−y(2−y)=0，化简可得(x−4故答案为：(x−4【分析】设A(x,y)，先求出直线l1和l2恒过的定点C(5,0)，14．【答案】3【解析】【解答】解：连接CP，如图所示：

在正方体ABCD−A1B所以∠PDC（或其补角）是异面直线DP与A1在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可得所以CD⊥CP，所以tan∠PDC=CPCD当CP最小时，tanθ最小，此时θ当CP⊥BC1时，令CD=1，可得(CP)min=2故答案为：33【分析】连接CP，由题意可得∠PDC是异面直线DP与A1B1所成的角，由tan∠PDC=CPCD，可知CP最小时，15．【答案】（1）解：列联表如下：学生群体关注度合计关注不关注大学生3nn2n高中生3n3n3n合计3n2nnχ2因为依据小概率值α=0．05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，所以χ2由题可知，n是10的倍数，所以n的最小值为70；（2）解：由（1）可知n=70，所以不关注的人数为25用频率估计概率，所以不关注的概率为P=28X的所有可能取值为0，1，2，3，P(P(所以X的分布列为X0123P2754368因为X~B(3,【解析】【分析】（1）由题意，完成列联表，再计算χ2，结合独立性检验即可求出n（2）由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得解.16．【答案】解：（1）证明：令ℎ(x)=cosxsinx−π2+x，

当π2<x<π时，ℎ'(x)=1−1sin2x<0

∴ℎ(x)在π2,π上单调递减，

∴ℎ(x)<ℎπ2=0，∴cosxsinx−π2+x<0，即cosxsinx<π2−x，

又令g(x)=π2−x−cosx，

当π2<x<π时，g'(x)=sinx−1<0

∴g(x)在π2,π上单调递减，

∴g(x)<gπ2=0，∴π2−x−cosx<0，即π2【解析】【分析】（1）令ℎ(x)=cosxsinx−π2+x，利用导数求得该函数的单调性，最大值，可知（2）函数f(x)=2ax−tanx在x∈−π2,π17．【答案】（1）证明：由平行四边形的性质可知BC=AD=4，DC=AB=23∴BC2=DC∵DE=1∴EF=23,DF=23，

又∵∴BF2=BD2+DF2，∴BD⊥DP，

∵∴BD⊥平面PDC，

又∵BD⊂平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD.（2）证明：如图所示，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

∴D(0,0,0),C(0,23,0),B(2,0,0),E0,233,0设N为(x，y，z)，BN=λBC，

即(x-2，y，z)=λ(−2，23，0)，解得x=2−2λ,y=23λ,z=0，∵DN⊥BE，∴DN⋅BE=0，即−2(2−2λ)+23λ×233=0，解得λ=12，

∴N(1,3,0)，∴NM∴MN//平面BEF.（3）解：设平面FMN的一个法向量n1∵NF=−1,−233令y=3，得x=−1,z=3，

∴平面FMN的一个法向量n又∵平面ABCD的一个法向量n2=(0,0,1)，

设平面FMN与平面ABCD所成角为θ，∴∴sinθ=∴平面FMN与平面ABCD所成角的正弦值213​​​​​【解析】【分析】（1）结合已知条件以及平行四边形的性质与勾股定理可证得BD⊥DC，BD⊥DP，进而利用线面垂直的判定定理证得BD⊥平面PDC，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面PDC⊥平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，结合点N在BC上与DN⊥BE先求得N(1,3,0)，从而由EF=23（3）先求出两个平面的法向量，进而求得平面FMN与平面ABCD所成角的余弦值，再求得平面FMN与平面ABCD所成角的正弦值即可.（1）由平行四边形的性质有BC=AD=4，DC=AB=23所以BC2=D又因为DE=1所以EF=23,DF=23，又因为BF=所以BF2=BD2DP∩DC=D，又DP，DC⊂平面PDC，所以BD⊥平面PDC，而BD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.（2）如图以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则D(0,0,0),C(0,23设BN=λBC，则N(2−2λ,23因为DN⊥BE，所以DN⋅BE=0，解得λ=所以NM=0,−32,所以NM∥EF，又因为NM⊂平面BEF，EF⊂所以MN//平面BEF.（3）设平面FMN的一个法向量n1因为NF=−1,−2令y=3，得x=−1,z=3，故平面FMN的一个法向量n又平面ABCD的一个法向量n2=(0,0,1)，所以设平面FMN与平面ABCD所成角为θ，所以sinθ=所以平面FMN与平面ABCD所成角的正弦值21318．