广东省深圳市2024届高三下学期三模数学试题（含答案）

第第页广东省深圳市2024届高三下学期三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1,2,A．∅ B．{4} C．{5} D．{12．若复数z的实部大于0，且z(z+1)=203+iA．1−2i B．−1−2i C．−1+2i D．1+2i3．已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且AB=e1A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线4．已知数列{an}满足：a1=A．10 B．40 C．100 D．1035．如图，已知长方体ABCD−A1B1C1DA．724V B．717V C．6．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线A．12 B．22 C．637．某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种8．设函数f(x)=sinx+3cosx+1．若实数a、b、φ使得af(x)+bf(x−φ)=1对任意x∈R恒成立，则A．−1 B．0 C．1 D．±1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A．0 B．4 C．8 D．1610．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+t(ω>0,−π2<φ<π2A．ω=π B．ω=53π C．f(9)=111．如图，三棱台ABC−A1B1C1的底面ABC为锐角三角形，点D，H，E分别为棱AA1，BC，C1A．该三棱台的体积最小值为74 B．C．VE−ADH=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．写出函数f(x)=x2−13．两个连续随机变量X，Y满足X+2Y=3，且X∼N(3,σ2)，若P(X+1≤0)=014．双曲线C:x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．数列{an}中，a1=1（1）求数列{a（2）数列{bn}的前n项和为Sn，且满足bn16．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为p(0<p<1)．（1）当p=12时，求（2）记3s后质点的位置对应的数为X，若随机变量X的期望EX>0，求17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=5，点M在PD上，点N为BC的中点，且PB//平面MAC（1）证明：CM//平面PAN；（2）若PC=3，求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值．18．已知双曲线C1:x2−y2b2=1经过椭圆C2:x2a（1）求C1，C（2）设P为C1上一点，且在第一象限内，若直线PF1与C2交于A，B两点，直线PF2与C2交于C，D两点，设AB，CD的中点分别为M，N，记直线MN19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当fx在x=0处的nn∈N∗阶导数都存在时，fx=f0+f'0x+f（1）根据该公式估算sin1（2）由该公式可得：cosx=1−x22!+x44!（3）设n∈N∗，证明：

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：画出Venn图如图所示，如图，集合M∩N={1,故答案为：C.【分析】根据Venn图求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：设z=a+bi，a>0,b∈R，则z=a−bi，代入z(z+1)=203+i，

可得a所以z=1+2i.故答案为：D.【分析】设z=a+bi,a>0,3．【答案】C【解析】【解答】解：A、因为AB=e1+2e2，BC=−3e1+2eB、因为AB=e1+2e2，DA=3e1−6eC、因为AC=AB+BC=−2e1+4e2，D、因为BC=−3e1+2e2，DB⃗=DA⃗+故选：C.【分析】根据a=λbλ∈R4．【答案】D【解析】【解答】解：设数列{nan}的公差为d，则d=3a9故答案为：D.【分析】设数列{nan}的公差为d，根据等差数列的性质求得5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，取DD1的中点F，连接EF，易知EF//DC1//AB1，所以平面A设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则V=abc.平面ABVF−A故选：A.【分析】根据题意，取DD1的中点F，可知F为平面AB1E6．【答案】B【解析】【解答】解：设Ax1,y设AB中点为M，所以OA+由题意可知，AB中点M是直线l与直线y=−1由y=x−cy=−12x，解得联立x2a2易知Δ>0，由韦达定理得x1+所以a2=2a2−故选：B.【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，由题意可知AB中点M是直线l与直线y=−7．【答案】B【解析】【解答】解：先考虑两对混双的组合有2C余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有2C故答案为：B.【分析】根据已知条件，根据分步乘法计数原理计算即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=sinx+3依题意，2asin(x+π即2asin(x+π因此2(a+bcosφ)则a+bcosφ=0bsinφ=0a+b−1=0，显然b≠0，否则a=0且则sinφ=0，显然cosφ≠1，否则a+b=0且从而cosφ=−1，解得a=b=所以a−bcosφ=1.故答案为：C.【分析】先利用辅助角公式化简函数f(9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为平行六面体的各个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边形中的矩形个数可能为0,2,故答案为：ACD.【分析】根据平行六面体的性质判断即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：因为−π2<φ<π2，f(0)=2sinφ+t=1，所以t∈(1−2当t=0时，sinφ=22，−π2<φ<π2，故φ=π34ω+π4=kπ故T=2πω≥1，ω≤2π，故ω=π当x∈(4,当t=1时，sinφ=0，−π2sin(34ω)=−ω=83kπ+5π3,k∈N或ω=83kπ+7π3,k∈N故答案为：BC．【分析】根据已知条件，确定t∈(1−2,2]，t∈Z，故t=0或t=1，当t=0时，不满足单调性，排除；当11．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、由AC+AB=4，BC=2，可得点A的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，如图所示则椭圆方程为x24+y2又因为△ABC为锐角三角形，所以0°<∠ABC<90°且0°<∠ACB<90°，所以32<y所以S△ABCmax=12设S=S△A'B则VABC−因为该三棱台的体积最大值为736，Smax由于S,ℎ无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故选项A不正确；B、因为三棱台ABC−A1B所以如图所示，以H为原点，在平面ABC上作Hx⊥面BCC1B1，在面BCC则H0,0,0设Ax,y,0，则A1x2,所以DH=9由于x∈0,1，ℎ∈0,2，所以DH∈33D、同理，EH=1又32C、如图所示，将三棱台补成三棱锥P−ABC，设点C到平面PAH的距离为d，则VABC−又VE−ADH=1故选：BD.【分析】根据题意结合椭圆的定义可得点A的轨迹为椭圆，由椭圆的几何性质从而可确定A的坐标范围，设三棱台的高为ℎ，由三棱台的体积最大值确定ℎ的范围，从而可判断选项A；建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据两点之间的距离公式求解DH,EH的取值范围，从而可判断选项B，D；将三棱台补成三棱锥，根据棱锥与棱台的体积关系即可判断选项C.12．【答案】y=x−2【解析】【解答】解：函数f(x)=x2−xe取定义域内的一点(2,f(2))作为切点，则切线的斜率为k=f则切线的方程为：y−1+2e+ln2=故答案为：y=x−2【分析】先求定义域，根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的一点作切点，求斜率与切点坐标，利用点斜式写切线方程即可.13．【答案】0.86【解析】【解答】解：因为X+2Y=3，所以X+1=4−2Y，又因为P(X+1≤0)=0.14，所以P(4−2Y≤0)=0.因为X+2Y=3，所以Y=−12X+32，所以E(Y)=−所以P(Y+2>0)=P(Y>−2)=1−P(Y<−2)=1−P(Y>2)=1−0.故答案为：0.86.【分析】根据题意，利用期望和方差的性质可得Y∼N(0,14．【答案】2【解析】【解答】解：AF1与渐近线OB的交点记为tan∠BOF2=b则在△BOF2中，设|OB|=x，又|BF2|=c，由余弦定理可得：cos在△BOE中，cos∠BOE=|OE||OB|=a又左焦点(−c,0)到直线y=b即|F1H|=b，又|OF1|=c，故|OH|=c2−显然△AHO≅△AEO，则∠AOH=∠EOA，又∠AOH+∠EOA+∠BOE=π，又∠BOE=π故可得∠AOH=π3，根据对称性，∠BOy=1故O,E,F2此时显然有ba=tan故答案为：2.【分析】先根据几何关系证明点E必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.15．【答案】（1）解：因为an+2+a所以数列{an+1−an则an+1==⋅⋅⋅=a（2）解：由（1）问知，an=(2n−1)又bnbn+1<0，则bn+1bn+2<0，两式相乘得因为b1b2<0，所以当b1当n为奇数时，Snn为偶数时，Sn当b1=−1时，b2当n为奇数时，Snn为偶数时，Sn综上，在b1=1时，Sn=(−1)【解析】【分析】（1）由题意可得：an+2−an+1=（2）由（1）可得bn=±(2n−1)，由bnbn+1<0，得到16．【答案】（1）解：5s后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所以所求概率为：C5所以，5s后质点移动到点0的位置的概率为516（2）解：由题意可知，X所有可能的取值为−2,0,2,4，而PX=−2PX=0PX=2PX=4因为EX>0，所以−2(1−p)又因为0<p<1，故p的取值范围为13​​​​​​【解析】【分析】（1）5s后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，利用独立重复实验的概率求得5s后质点移动到点0的位置的概率；（2）写出随机变量可能值，进而求出对应的概率，再利用期望大于0，解不等式求得p的取值范围.（1）5s后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所求概率为：C5（2）X所有可能的取值为−2,0,2,4，且PX=−2PX=0PX=2PX=4由EX=−2(1−p)又因为0<p<1，故p的取值范围为1317．【答案】（1）证明：连接BD交AC与点O，连接OM，取PA的中点E，连接EM,EN，

易知平面PBD与平面MAC的交线为OM，因为PB//平面MAC，PB⊂平面PBD，所以PB//OM，又因为O为BD的中点，所以点M为PD的中点，因为点E,M分别为PA,PD的中点，所以EM//AD且EM=1因为四边形ABCD是正方形，N为BC的中点，所以CN//AD且CN=1所以EM//CN且EM=CN，所以四边形EMCN为平行四边形，所以CM//EN，又因为CM⊄平面PAN，且EN⊂平面PAN，所以CM//平面PAN．（2）解：取AB的中点S，连结PS,CS，因为PA=PB=5，可得PS⊥AB，且PS=又因为SC=BC2所以PC2=P又因为AB∩SC=S，且AB,SC⊂平面ABCD，所以PS⊥平面ABCD，以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S−xyz，

所以A−1,0,0,B1,0,0所以AP=设平面PAN的法向量为m=x1令x=2，则y=−4,z=−1，所以m=设平面MAC的法向量为n=x2令x=2，则y=−2,z=1，所以n=设平面PAN与平面MAC的夹角为θ，则cosθ=m所以，平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为1121​​​​​​​【解析】【分析】（1）连接BD交AC与点O，连接OM，取PA的中点E，连接EM,EN，根据线面平行的性质可知PB//OM，进而可知点M为PD的中点，根据题意证得EM//CN且EM=CN，得到四边形EMCN为平行四边形，得出CM//EN，结合线面平行的判定定理，即可证得CM//平面PAN；（2）取AB的中点S，证得PS⊥平面ABCD，以S为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAN和平面MAC的法向量m=2,−4,−1和n=2,−2,1，结合向量法求出平面（1）证明：连接BD交AC与点O，连接OM，可得平面PBD与平面MAC的交线为OM，因为PB//平面MAC，PB⊂平面PBD，所以PB//OM，又因为O为BD的中点，所以点M为PD的中点，取PA的中点E，连接EM,EN，可得EM//AD且EM=1又因为N为BC的中点，可得CN//AD且CN=1所以EM//CN且EM=CN，所以四边形EMCN为平行四边形，所以CM//EN，又因为CM⊄平面PAN，且EN⊂平面PAN，所以CM//平面PAN．（2）解：取AB的中点S，连结PS,CS，因为PA=PB=5，可得PS⊥AB，且PS=又因为SC=BC2所以PC2=P又因为AB∩SC=S，且AB,SC⊂平面ABCD，所以PS⊥平面ABCD，以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S−xyz，可得A−1,0,0因为M为PD的中点，N为BC的中点，可得M−则AP=设m=x1,y取x=2，可得y=−4,z=−1，所以m=设n=x2,y取x=2，可得y=−2,z=1，所以n=设平面PAN与平面MAC的夹角为θ，则cosθ=m即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为112118．【答案】（1）解：依题意可得a2−1=1，得由e1e2=6故C1的方程为x2−y2（2）解：易知F1(−1设P(x0,y0)，直线P则k1=y0x0在C1:x可得k1设直线PF1的方程为：y=可得(2k设A(x1,y1可求得M(−2设直线PF2的方程为：y=k2同理可得N(2则k=−=−由k1k2点P在第一象限内，故k2k=−当且仅当24k1+而k1即当k取最小值时，k1+k可解得k1故PF1的方程为：y=(3−1)(x+1)，联立可解得x=3y=2，即有另外可以分别设直线方程x=t1y−1此时：M(−2t12k=−也可以直接通过P(x此时：M(−2yk=−【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系.

（1）根