2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷（江苏）含答案解析

高中PAGE1试题2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（江苏专用）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线：，：，若，则a的值为（

）A． B．3 C． D．3或2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（

）A．， B．，C．， D．，3．）若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（

）A． B． C． D．4．若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．6．等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．3 D．127．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知双曲线：，过的直线分别交双曲线左右两支为，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．圆和圆的交点为，则有（

）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为10．已知数列的前项和为，，则（

）A． B．C． D．的前项积11．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．抛物线的方程为C．D．点在以线段为直径的圆上第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为.13．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是.14．已知数列满足，，则；设数列的前项和为，则．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等．(1)求直线的倾斜角；(2)若直线过点，求直线的方程；(3)若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距．16．（15分）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)讨论方程（）解的个数.17．（15分）记为等差数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，求使取得最大值时的值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(3)求面积的最大值.19．（17分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（江苏专用）参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CDACDABA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BDABBCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13． 14．60，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）设直线，即， 2分则直线的斜率为，根据，可求得倾斜角为； 4分（2）将点的坐标代入，可得， 6分所以直线的方程为； 7分（3）因为直线与直线垂直，所以可设， 8分因为点到直线的距离， 9分所以， 11分解得， 12分则直线在轴上的截距为. 13分16．（15分）【解析】（1）的定义域为， 1分， 3分由f'x<0，可得，由，可得或x>0， 5分∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 7分（2）由（1）可知函数在，0,+∞上单调递增；函数在上单调递减，∴在时函数取极大值：；在时函数取极小值：，又∵，，∴， 9分可得函数的大致图象，

11分∴当时，有0个解； 12分当或时，有1个解； 13分当时，有3个解； 14分当时，有2个解. 15分17．（15分）【解析】（1）因为为等差数列，且，，所以当时，则有， 1分两式相减，得（为等差数列的公差），解得； 4分当时，则有，即，，解得， 6分所以； 7分（2）由（1）知，所以， 8分所以，当取得最大值时，则有，即， 11分整理得，解得，所以 13分又因为，解得，所以最大，且.所以当取得最大值时，. 15分18．（17分）【解析】（1）由题意知：， 2分又，解得. 3分椭圆的方程为：. 4分（2）设，为线段AB的中点，所以，因为A，B两点在椭圆上，所以，两式相减可得：，则，即， 7分而直线OM的斜率为，直线的斜率为，所以.故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值. 10分（3）因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：，由方程组可得：，可得， 12分， 13分设点到直线的距离为，则，即， 15分令，则，所以，当且仅当，即，则时取等，所以面积的最大值为. 17分19．（17分）【解析】（1）当时，，， 2分所以曲线在点处切线的斜率，又， 4分所以曲线在点处切线的方程为即. 6分（2）因为在区间上恒成立，即，对，即恒成立， 7分令，只需，，， 8分当时，有，则，在上单调递减，符合题意， 10分当时，令，其对应方程的判别式，若即时，有，即，在上单调递减，，符合题意， 12分若即时，，对称轴，又，方程的大于1的根为，，，即，，，即，所以函数在上单调递增，，不合题意. 15分综上，实数的取值范围为. 17分2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（江苏专用）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线：，：，若，则a的值为（

）A． B．3 C． D．3或【答案】C【解析】因为，则，解得或，当时，：，：，两直线重合，故舍去，当时，：，：，两直线平行，符合题意，综上所述，.故选：C.2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】设该等差数列的公差为d，则，则，.故选：D.3．）若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为椭圆的长半轴长等于其焦距，所以，解得.故选：A4．若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，故函数在点处切线的斜率为，即.故.故选：C.5．在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】直线，变形可得，所以该动直线过定点，则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，所以半径的最大值为，则半径最大的圆的标准方程为.故选:D.6．等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．3 D．12【答案】A【解析】设等比数列的公比为，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意，得：，解得：.故选：A7．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因为，所以，因为函数在区间上有极值，所以在区间上有变号根，即在区间上有变号根，令，则，令，得或（舍去），当时，，递减；当时，，递增；所以当时，取得极小值，又，，所以，则，又当时，，递增，无极值，所以实数的取值范围是，故选：B8．已知双曲线：，过的直线分别交双曲线左右两支为，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，记与轴的交点为，因为，所以，所以，即，因为都在双曲线上，所以，两式相减得，所以，所以，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．圆和圆的交点为，则有（

）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为【答案】BD【解析】把两圆化为标准方程，圆的圆心，半径，的圆心，半径，则有，即圆与圆相交，对于A，将方程与相减，得公共弦AB所在直线的方程为，即，A错误；对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为，而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确；对于C，点到直线的距离为，因此，C错误；对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为，因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确.故选：BD10．已知数列的前项和为，，则（

）A． B．C． D．的前项积【答案】AB【解析】A：令，则，对；B：由，若时，作差可得，又，所以是首项为，公比为2的等比数列，则，对；C：由B分析知，，错；D：由上知，，错.故选：AB11．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．抛物线的方程为C．D．点在以线段为直径的圆上【答案】BCD【解析】如图，过点作，垂足为，由抛物线的定义知，与全等，则，，，，，，则，直线的倾斜角为，故A错误；设直线与轴交于点，则，由上可知，，则为等腰直角三角形，，，得，所以抛物线方程为，故B正确；由上可知，直线的方程为，设，，，，联立，整理得，则，，则，，故C正确；设线段的中点为，则，直线PM的方程为，则，，由上可知，则，又，点在以线段为直径的圆上，故D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则，直线的的倾斜角为，设直线的斜率为，则，∵直线与轴的交点为，所以直线的方程：，即．原点到的距离为.故答案为：．13．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由有两个零点，故有两个实数根，记，则，当和时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，，作出函数的图象如图，由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点，故实数的取值范围故答案为：.14．已知数列满足，，则；设数列的前项和为，则．（第二个空结果用指数幂表示）【答案】60，【解析】由得，进而得；当为奇数时，，令，则，当为偶数时，，令，则，则，当时，，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即则当为奇数时，由，则，所以，当为偶数时，由，则，所以，所以，所以，所以，.故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等．(1)求直线的倾斜角；(2)若直线过点，求直线的方程；(3)若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距．【解析】（1）设直线，即， 2分则直线的斜率为，根据，可求得倾斜角为； 4分（2）将点的坐标代入，可得， 6分所以直线的方程为； 7分（3）因为直线与直线垂直，所以可设， 8分因为点到直线的距离， 9分所以， 11分解得， 12分则直线在轴上的截距为. 13分16．（15分）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)讨论方程（）解的个数.【解析】（1）的定义域为， 1分， 3分由f'x<0，可得，由，可得或x>0， 5分∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 7分（2）由（1）可知函数在，0,+∞上单调递增；函数在上单调递减，∴在时函数取极大值：；在时函数取极小值：，又∵，，∴， 9分可得函数的大致图象，

11分∴当时，有0个解； 12分当或时，有1个解； 13分当时，有3个解； 14分当时，有2个解. 15分17．（15分）记为等差数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，求使取得最大值时的值．【解析】（1）因为为等差数列，且，，所以当时，则有， 1分两式相减，得（为等差数列的公差），解得； 4分当时，则有，即，，解得， 6分所以； 7分（2）由（1）知，所以， 8分所以，当取得最大值时，则有，即， 11分整理得，解得，所以 13分