二重积分的概念与性质课件1

二重积分的概念与性质上页下页铃结束返回首页一、二重积分的概念下页1

曲顶柱体的体积

设一立体的底是xOy面上的闭区域D

它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面

它的顶是曲面z

f(x

y)

这里f(x

y)

0且在D上连续

这种立体叫做曲顶柱体

提示

相应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.提示

其中l为各小区域直径的最大值.用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积Vi

V

f(

i

i)

i

用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积

将分割加细

取极限

求得曲顶柱体体积的精确值

si(xi,hi)下页一、二重积分的概念1

曲顶柱体的体积用曲线网把D分成小区域

1

2

n

2

平面薄片的质量

下页一、二重积分的概念

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

它在点(x

y)处的面密度为

(x

y)

这里

(x

y)

0且在D上连续

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

r(x

i

,h

i)

s

i

把各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

将分割加细

取极限

得到平面薄片质量的精确值

si(xi,hi)提示

其中l为各小区域直径的最大值.一、二重积分的概念2

平面薄片的质量

用曲线网把D分成小区域

1

2

n

下页二重积分的定义

设f(x

y)是有界闭区域D上的有界函数

将闭区域D任意分成n个小闭区域

1

2

n

其中

i表示第i个小闭区域

也表示它的面积

在每个小闭区域

i上任取一点(

i

i)

作和

设

为各小闭区域的直径中的最大值

如果当

0时这和式的极限总存在

则称此极限为函数f(x

y)在闭区域D上的二重积分

记为下页———积分号

下页二重积分的定义积分中各部分的名称

f(x

y)——被积函数

f(x

y)d—被积表达式

d———面积元素

x

y———积分变量

D————积分区域

——积分和

提示

在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,则除边界上的小区域外,内部小区域都是矩形区域.

设矩形区域

si的边长为

xi和

yi,则

si

xi

yi.

因此在直角坐标系中,面积元素ds记作dxdy.直角坐标系中的二重积分下页二重积分的定义其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.说明

二重积分的存在性

当f(x

y)在闭区域D上连续时

积分和的极限是存在的

也就是说函数f(x

y)在D上的二重积分必定存在

我们总假定函数f(x

y)在闭区域D上连续

所以f(x

y)在D上的二重积分都是存在的

直角坐标系中的二重积分二重积分的定义其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.下页二重积分的几何意义直角坐标系中的二重积分二重积分的定义其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.

如果f(x

y)

0

则二重积分在几何上表示以闭区域D为底

以曲面z

f(x

y)为顶的曲顶柱体的体积

如果f(x

y)

0

则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积

但二重积分的值是负的

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二、二重积分的性质下页性质1设c1、c2为常数

则性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则注

二、二重积分的性质下页性质1设c1、c2为常数

则

如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域

则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和

性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则下页

二、二重积分的性质性质1设c1、c2为常数

则性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则性质3结束性质4

如果在D上

f(x

y)

g(x

y)

则有不等式

特殊地有性质5

设M、m分别是f(x

y