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文档简介
对坐标的曲线积分上页下页铃结束返回首页一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功
质点在变力F(x
y)
P(x
y)i
Q(x
y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B
求变力F(x
y)所作的功
下页P(
i
i)
xi
Q(
i
i)
yi
,[]提示
把L分成n个小弧段
L1
L2
Ln
求功的过程
变力在Li上所作的功的近似值为
变力在L上所作的功的近似值为
变力在L上所作的功的精确值为
其中
是各小弧段长度的最大值
F在Li上所作的功Wi
F(
i
i)
si
>>>光滑曲线对坐标的曲线积分下页设函数P(x
y)、Q(x
y)在有向光滑曲线弧L上有界
把L分成n个有向小弧段L1
L2
Ln
其中Li是从(xi
1
yi
1)到(xi
yi)的小弧段
记
xi
xi
xi
1
yi
yi
yi
1
在小弧段Li上任取一点(
i
)
令
为各小弧段长度的最大值
如果极限总存在
则称此极限为函数P(x
y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分
记作
如果极限总存在
则称此极限为函数Q(x
y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分
记作
下页对坐标的曲线积分在积分中P(x
y)、Q(x
y)叫做被积函数
L叫做积分弧段
说明
对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分
对坐标的曲线积分说明
设
为空间内一条光滑有向曲线弧
函数P(x
y
z)、Q(x
y
z)、R(x
y
z)在
上有定义
我们定义下页对坐标的曲线积分的简写形式
在应用上经常出现的是上式可记为其中F(x
y)
P(x
y)i
Q(x
y)j
dr
dxi
dyj
类似地
有其中A
P(x
y
z)i
Q(x
y
z)j
R(x
y
z)k
dr
dxi
dyj
dzk
下页对坐标的曲线积分的性质性质1
设
、
为常数
则性质2
若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2
性质3
设L是有向光滑曲线弧
L
是L的反向曲线弧
则则首页提示
二、对坐标的曲线积分的计算下页
质点在变力F(x
y)
P(x
y)i
Q(x
y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为
另一方面
在L上任取一小段有向弧
其起点和终点对应的参数分别为t和t
dt
得功元素
F[
(t)
(t)]
dr
dr(dx
dy)(
(t)dt
(t)dt)
dW
设光滑有向曲线弧L的参数方程为x
(t)
y
(t)
且L的起点和终点所对应的参数分别为
和
>>>图形
F[
(t)
(t)](P[
(t)
(t)]
Q[
(t)
(t)])
二、对坐标的曲线积分的计算下页
质点在变力F(x
y)
P(x
y)i
Q(x
y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为
另一方面
在L上任取一小段有向弧
其起点和终点对应的参数分别为t和t
dt
得功元素
F[
(t)
(t)]
dr
P[
(t)
(t)]
(t)dt
Q[
(t)
(t)]
(t)dt
dW
于是
设光滑有向曲线弧L的参数方程为x
(t)
y
(t)
且L的起点和终点所对应的参数分别为
和
二、对坐标的曲线积分的计算下页
质点在变力F(x
y)
P(x
y)i
Q(x
y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为
设光滑有向曲线弧L的参数方程为x
(t)
y
(t)
且L的起点和终点所对应的参数分别为
和
这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算
下页定理(对坐标的曲线积分的计算公式)
存在
并且则曲线积分
设P(x
y)、Q(x
y)在有向光滑曲线弧L上有定义且连续
L的参数方程为x
(t)
y
(t)
L的起点和终点对应的参数分别为
和
应注意的问题
下限a对应于L的起点
上限
对应于L的终点
不一定小于
下页设L由x
(t)
y
(t)给出
L以t
为起点以t
为终点
则
设空间曲线
由x
(t)
y
(t)
z
(t)给出
以t
为起点以t
为终点
问讨论
提示
下页设L由x
(t)
y
(t)给出
L以t
为起点以t
为终点
则上从点A(1
1)到点B(1
1)的一段弧
解
L分为AO和OB两部分
第一种方法
以x为积分变量
设L由x
(t)
y
(t)给出
L以t
为起点以t
为终点
则上从点A(1
1)到点B(1
1)的一段弧
解第二种方法
以y为积分变量
在L上
x
y2
y从
1变到1
因此下页下页
解
(1)L的参数方程为x
acos
y
asin
从0变到
因此
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2
y2
a2
(2)从点A(a
0)沿x轴到点B(
a
0)的直线段
(2)L的方程为y
0
x从a变到
a
因此下页
(1)抛物线y
x2上从O(0
0)到B(1
1)的一段弧
(2)抛物线x
y2上从O(0
0)到B(1
1)的一段弧
(3)从O(0
0)到A(1
0)
再到B(1
1)的有向折线OAB
(1)L
y
x2
x从0变到1
所以
解
(2)L
x
y2
y从0变到1
所以(3)OA
y
0
x从0变到1
AB
x
1
y从0变到1
下页
(1)抛物线y
x2上从O(0
0)到B(1
1)的一段弧
(2)抛物线x
y2上从O(0
0)到B(1
1)的一段弧
(3)从O(0
0)到A(1
0)
再到B(1
1)的有向折线OAB
解
0
1
1
下页
解
到点B(0
0
0)的直线段
直线段AB的方程是化为参数方程得x
3t
y
2t
z
t
t从1变到0
所以提示
下页按逆时针方向移动到点B(0
b)
F的大小与质点到原点的距离成正比
方向恒指向原点
求力F所作的功W
解
椭圆的参数方程为x
acost
y
bsint
t从0变到
质点在点M(x
y)处所受到的力为按逆时针方向移动到点B(0
b)
F的大小与质点到原点的距离成正比
方向恒指向原点
求力F所作的功W
解
质点在点M(x
y)处所受到的力为首页三、两类曲线积分之间的联系
说明
指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量
设
(cos
cos
)为光滑有向曲线弧L上点(x
y)处的单位切向量
L的参数方程为x
(t)
y
(t)
L的起点和终点所对应的参数分别为a和b
则下页三、两类曲线积分之间的联系
设
(cos
cos
)为光滑有向曲线弧L上点(x
y)处的单位切向量
L的参数方程为x
(t)
y
(t)
L的起点和终点所对应的参数分别为a和b
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