对坐标的曲线积分课件

对坐标的曲线积分上页下页铃结束返回首页一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功

质点在变力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B

求变力F(x

y)所作的功

下页P(

i

i)

xi

Q(

i

i)

yi

,[]提示

把L分成n个小弧段

L1

L2

Ln

求功的过程

变力在Li上所作的功的近似值为

变力在L上所作的功的近似值为

变力在L上所作的功的精确值为

其中

是各小弧段长度的最大值

F在Li上所作的功Wi

F(

i

i)

si

>>>光滑曲线对坐标的曲线积分下页设函数P(x

y)、Q(x

y)在有向光滑曲线弧L上有界

把L分成n个有向小弧段L1

L2

Ln

其中Li是从(xi

1

yi

1)到(xi

yi)的小弧段

记

xi

xi

xi

1

yi

yi

yi

1

在小弧段Li上任取一点(

i

)

令

为各小弧段长度的最大值

如果极限总存在

则称此极限为函数P(x

y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分

记作

如果极限总存在

则称此极限为函数Q(x

y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分

记作

下页对坐标的曲线积分在积分中P(x

y)、Q(x

y)叫做被积函数

L叫做积分弧段

说明

对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

对坐标的曲线积分说明

设

为空间内一条光滑有向曲线弧

函数P(x

y

z)、Q(x

y

z)、R(x

y

z)在

上有定义

我们定义下页对坐标的曲线积分的简写形式

在应用上经常出现的是上式可记为其中F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j

dr

dxi

dyj

类似地

有其中A

P(x

y

z)i

Q(x

y

z)j

R(x

y

z)k

dr

dxi

dyj

dzk

下页对坐标的曲线积分的性质性质1

设

、

为常数

则性质2

若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2

性质3

设L是有向光滑曲线弧

L

是L的反向曲线弧

则则首页提示

二、对坐标的曲线积分的计算下页

质点在变力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为

另一方面

在L上任取一小段有向弧

其起点和终点对应的参数分别为t和t

dt

得功元素

F[

(t)

(t)]

dr

dr(dx

dy)(

(t)dt

(t)dt)

dW

设光滑有向曲线弧L的参数方程为x

(t)

y

(t)

且L的起点和终点所对应的参数分别为

和

>>>图形

F[

(t)

(t)](P[

(t)

(t)]

Q[

(t)

(t)])

二、对坐标的曲线积分的计算下页

质点在变力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为

另一方面

在L上任取一小段有向弧

其起点和终点对应的参数分别为t和t

dt

得功元素

F[

(t)

(t)]

dr

P[

(t)

(t)]

(t)dt

Q[

(t)

(t)]

(t)dt

dW

于是

设光滑有向曲线弧L的参数方程为x

(t)

y

(t)

且L的起点和终点所对应的参数分别为

和

二、对坐标的曲线积分的计算下页

质点在变力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为

设光滑有向曲线弧L的参数方程为x

(t)

y

(t)

且L的起点和终点所对应的参数分别为

和

这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算

下页定理(对坐标的曲线积分的计算公式)

存在

并且则曲线积分

设P(x

y)、Q(x

y)在有向光滑曲线弧L上有定义且连续

L的参数方程为x

(t)

y

(t)

L的起点和终点对应的参数分别为

和

应注意的问题

下限a对应于L的起点

上限

对应于L的终点

不一定小于

下页设L由x

(t)

y

(t)给出

L以t

为起点以t

为终点

则

设空间曲线

由x

(t)

y

(t)

z

(t)给出

以t

为起点以t

为终点

问讨论

提示

下页设L由x

(t)

y

(t)给出

L以t

为起点以t

为终点

则上从点A(1

1)到点B(1

1)的一段弧

解

L分为AO和OB两部分

第一种方法

以x为积分变量

设L由x

(t)

y

(t)给出

L以t

为起点以t

为终点

则上从点A(1

1)到点B(1

1)的一段弧

解第二种方法

以y为积分变量

在L上

x

y2

y从

1变到1

因此下页下页

解

(1)L的参数方程为x

acos

y

asin

从0变到

因此

(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2

y2

a2

(2)从点A(a

0)沿x轴到点B(

a

0)的直线段

(2)L的方程为y

0

x从a变到

a

因此下页

(1)抛物线y

x2上从O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(2)抛物线x

y2上从O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(3)从O(0

0)到A(1

0)

再到B(1

1)的有向折线OAB

(1)L

y

x2

x从0变到1

所以

解

(2)L

x

y2

y从0变到1

所以(3)OA

y

0

x从0变到1

AB

x

1

y从0变到1

下页

(1)抛物线y

x2上从O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(2)抛物线x

y2上从O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(3)从O(0

0)到A(1

0)

再到B(1

1)的有向折线OAB

解

0

1

1

下页

解

到点B(0

0

0)的直线段

直线段AB的方程是化为参数方程得x

3t

y

2t

z

t

t从1变到0

所以提示

下页按逆时针方向移动到点B(0

b)

F的大小与质点到原点的距离成正比

方向恒指向原点

求力F所作的功W

解

椭圆的参数方程为x

acost

y

bsint

t从0变到

质点在点M(x

y)处所受到的力为按逆时针方向移动到点B(0

b)

F的大小与质点到原点的距离成正比

方向恒指向原点

求力F所作的功W

解

质点在点M(x

y)处所受到的力为首页三、两类曲线积分之间的联系

说明

指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量

设

(cos

cos

)为光滑有向曲线弧L上点(x

y)处的单位切向量

L的参数方程为x

(t)

y

(t)

L的起点和终点所对应的参数分别为a和b

则下页三、两类曲线积分之间的联系

设

(cos

cos

)为光滑有向曲线弧L上点(x

y)处的单位切向量

L的参数方程为x

(t)

y

(t)

L的起点和终点所对应的参数分别为a和b