陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教学设计 北师大版选修2-2

陕西省石泉县高中数学第四章定积分4.3.1平面图形的面积教学设计北师大版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容教材：北师大版选修2-2

章节：第四章定积分4.3.1平面图形的面积

内容：本节课主要讲解定积分在求解平面图形面积中的应用，包括三角形、矩形、梯形等基本图形的面积计算，以及利用定积分求解复杂图形的面积。通过实例分析，让学生掌握利用定积分求解平面图形面积的方法。核心素养目标1.培养学生运用数学语言表达几何图形面积问题的能力。

2.增强学生利用定积分解决实际问题的意识，提高解决问题的能力。

3.培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力，提升数学建模素养。重点难点及解决办法重点：

1.理解定积分在求解平面图形面积中的应用原理。

2.掌握利用定积分计算基本图形面积的方法。

难点：

1.将实际问题转化为定积分问题的建模能力。

2.复杂图形面积计算中的积分技巧。

解决办法：

1.通过实例演示，引导学生理解定积分在面积计算中的应用。

2.采用小组讨论和合作学习，培养学生的建模能力。

3.针对复杂图形，提供多种积分方法，如换元法、分部积分法等，并辅以练习巩固。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有北师大版选修2-2教材。

2.辅助材料：准备相关图形的图片、图表和视频，辅助学生直观理解。

3.实验器材：准备计算器等工具，用于学生练习定积分计算。

4.教室布置：设置小组讨论区域，确保学生有足够的空间进行互动和实验操作。教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们之前学习了定积分的概念，知道定积分可以用来求解函数在一定区间上的累积变化量。那么，定积分除了这个用途之外，还有其他的应用吗？

2.学生回答，老师总结：是的，定积分还可以用来求解平面图形的面积。今天，我们就来探究如何利用定积分计算平面图形的面积。

二、新课讲授

1.老师讲解：首先，我们来回顾一下三角形的面积公式。三角形的面积等于底乘以高除以2，即S=1/2*b*h。

2.学生跟随老师回顾，并尝试用公式计算一个简单三角形的面积。

3.老师提问：如果我们要用定积分来计算三角形的面积，应该如何进行呢？

4.学生思考后回答，老师总结：我们可以将三角形的底边看作是积分的区间，将三角形的斜边看作是积分的函数。那么，三角形的面积就可以表示为定积分的形式：S=∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)表示斜边函数，[a,b]表示积分区间。

5.老师演示如何将一个三角形的面积问题转化为定积分问题，并计算面积。

6.学生跟随老师练习，尝试将其他基本图形的面积问题转化为定积分问题。

三、实例分析

1.老师展示一个矩形面积的计算问题，引导学生运用定积分方法进行计算。

2.学生尝试独立完成，老师点评并讲解计算过程。

3.老师再展示一个梯形面积的计算问题，引导学生运用定积分方法进行计算。

4.学生尝试独立完成，老师点评并讲解计算过程。

四、小组合作探究

1.老师将学生分成若干小组，每组发放一个复杂图形，要求学生利用定积分计算该图形的面积。

2.学生在小组内讨论、分析，尝试将复杂图形分解为基本图形，并计算面积。

3.各小组汇报成果，老师点评并总结。

五、课堂小结

1.老师总结本节课的学习内容：我们学习了如何利用定积分计算平面图形的面积，包括三角形、矩形、梯形等基本图形，以及复杂图形的面积计算。

2.老师强调重点：掌握将实际问题转化为定积分问题的方法，以及运用定积分计算面积的计算技巧。

3.老师布置课后作业，要求学生独立完成，巩固所学知识。

六、教学反思

1.老师反思：本节课通过实例演示、小组合作探究等方式，让学生掌握了利用定积分计算平面图形面积的方法。在教学过程中，要注意引导学生将实际问题转化为定积分问题，提高学生的应用能力。

2.老师总结：通过本节课的学习，学生应该能够熟练运用定积分计算基本图形和复杂图形的面积，为后续学习打下基础。知识点梳理1.定积分的概念：

-定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，表示为∫[a,b]f(x)dx，是函数在该区间上所有小矩形的面积之和的极限。

-定积分的几何意义：定积分可以用来计算函数在某一区间上的累积变化量，如面积、体积等。

2.定积分的性质：

-线性性质：定积分具有线性性质，即k∫[a,b]f(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx，其中k为常数。

-可加性：定积分具有可加性，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。

-积分上限的可加性：∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx，其中a≤c≤b。

3.定积分的计算方法：

-原函数法：利用原函数求定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C是积分常数。

-分部积分法：适用于含有乘积形式的函数的积分，公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。

-三角换元法：适用于含有三角函数的积分，通过换元将三角函数转化为有理函数进行积分。

4.定积分在几何中的应用：

-平面图形的面积：利用定积分可以计算三角形、矩形、梯形等基本图形的面积，以及复杂图形的面积。

-立体图形的体积：利用定积分可以计算旋转体、柱体等立体图形的体积。

5.定积分在实际问题中的应用：

-经济学：计算总成本、总收入等经济指标。

-物理学：计算功、能量等物理量。

-工程学：计算曲线下的面积、体积等工程量。

6.定积分的极限表示：

-定积分的极限表示为∫[a,b]f(x)dx=lim(Δx→0)Σf(x_i)Δx，其中Δx为分割区间的长度，x_i为分割点。

7.定积分的近似计算方法：

-左端点法：将积分区间[a,b]等分为n个小区间，计算每个小区间的左端点函数值乘以小区间长度，求和后除以n。

-右端点法：将积分区间[a,b]等分为n个小区间，计算每个小区间的右端点函数值乘以小区间长度，求和后除以n。

-中点法：将积分区间[a,b]等分为n个小区间，计算每个小区间的中点函数值乘以小区间长度，求和后除以n。板书设计①定积分的概念

-定积分的定义：∫[a,b]f(x)dx

-几何意义：函数f(x)在区间[a,b]上的累积变化量

②定积分的性质

-线性性质：k∫[a,b]f(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx

-可加性：∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx

-积分上限的可加性：∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

③定积分的计算方法

-原函数法：∫f(x)dx=F(x)+C

-分部积分法：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx

-三角换元法：适用于含有三角函数的积分

④定积分在几何中的应用

-平面图形的面积：S=∫[a,b]f(x)dx

-立体图形的体积：V=∫[a,b]f(x)dx

⑤定积分在实际问题中的应用

-经济学：计算总成本、总收入等

-物理学：计算功、能量等

-工程学：计算曲线下的面积、体积等

⑥定积分的极限表示

-定积分的极限表示：∫[a,b]f(x)dx=lim(Δx→0)Σf(x_i)Δx

⑦定积分的近似计算方法

-左端点法

-右端点法

-中点法课后作业1.作业题目：计算函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分，并解释其几何意义。

解答：∫[0,2]x^2dx=[1/3*x^3]from0to2=(1/3*2^3)-(1/3*0^3)=8/3

几何意义：该定积分表示曲线y=x^2与x轴在区间[0,2]上围成的平面图形的面积。

2.作业题目：计算由曲线y=2x和直线x=1所围成的平面图形的面积。

解答：由于图形是一个直角三角形，其底边为1，高为2，所以面积为1/2*1*2=1。

3.作业题目：计算由曲线y=x^2和直线y=x所围成的平面图形的面积。

解答：首先找到交点，解方程x^2=x，得到x=0和x=1。计算定积分∫[0,1](x-x^2)dx=[1/2*x^2-1/3*x^3]from0to1=(1/2-1/3)=1/6。

4.作业题目：计算由曲线y=1/x和直线y=x在区间[1,2]上所围成的平面图形的面积。

解答：由于曲线和直线在区间[1,2]上不相交，所以面积可以通过计算定积分∫[1,2](1/x-x)dx=[ln|x|-1/2*x^2]from1to2=(ln2-1/2*2^2)-(ln1-1/2*1^2)=ln2-2。

5.作业题目：计算由曲线y=e^x和直线y=x在区间[0,1]上所围成的平面图形的面积。

解答：首先找到交点，解方程e^x=x，得到x=0和x=1。计算定积分∫[0,1](e^x-x)dx=[e^x-1/2*x^2]from0to1=(e-1/2)-(1-0)=e-1/2。教学反思教学反思

今天这节课，我带领同学们一起探讨了定积分在求解平面图形面积中的应用。在回顾了定积分的概念和性质后，我们通过实例分析和小组合作探究，让学生们掌握了如何利用定积分计算基本图形和复杂图形的面积。

回顾课堂，我觉得有几个方面做得还不错：

1.实例教学，贴近实际。我选取了生活中常见的图形，如三角形、矩形、梯形等，让学生们更容易理解和接受。通过这些实例，学生们能够将理论知识与实际应用相结合，提高了学习的兴趣和效果。

2.小组合作，激发思维。我让学生们分成小组，共同探讨复杂图形的面积计算问题。在这个过程中，学生们互相交流、分享心得，不仅提高了他们的团队协作能力，还激发了他们的创新思维。

3.突出重点，突破难点。在讲解定积分在求解面积中的应用时，我重点讲解了如何将实际问题转化为定积分问题，以及如何运用定积分计算面积。对于复杂图形的面积计算，我提供了多种积分方法，如换元法、分部积分法等，并辅以练习巩固。

然而，在教学过程中，我也发现了一些不足之处：

1.学生对定积分的理解还不够深入。有些学生在计算面积时，对于积分区间的划分和积分函数的选择不够准确，这说明他们对定积分的基本概念和性质掌握得还不够牢固。

2.小组合作的时间分配不够合理。在小组合作环节，有些小组讨论过于热烈，导致其他小组的讨论受到影响。这