数学九年级上册2 用配方法求解一元二次方程教案配套

数学九年级上册2用配方法求解一元二次方程教案配套课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容教材章节：数学九年级上册第二章《一元二次方程》

内容：本节课主要讲解利用配方法求解一元二次方程。通过实例分析，让学生掌握配方法的基本步骤和注意事项，能够熟练运用配方法求解一元二次方程。具体内容包括：一元二次方程的标准形式、配方法的基本步骤、配方法的应用实例。二、核心素养目标1.发展数学抽象能力，通过配方法理解一元二次方程的解法本质。

2.培养逻辑推理能力，学会从方程的结构特征推导出解的表达式。

3.提升数学建模能力，将实际问题转化为数学模型，并求解。

4.增强数学运算能力，熟练运用配方法进行计算，提高运算效率。三、教学难点与重点1.教学重点

①理解并掌握配方法的基本步骤，能够将一元二次方程转化为完全平方形式。

②学会通过配方法求解一元二次方程，并能识别方程的根的情况（有实数根、重根或无实数根）。

③应用配方法解决实际问题，将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。

2.教学难点

①掌握配方法中的系数调整技巧，确保方程两边平衡。

②正确识别并处理方程中的常数项，确保配方法的应用正确无误。

③在求解过程中，灵活运用配方法，解决不同类型的一元二次方程。

④理解配方法在解决一元二次方程中的应用原理，并能将配方法与其他解法进行对比分析。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有数学九年级上册教材，包括相关章节的习题和示例。

2.辅助材料：准备一元二次方程配方法的演示图表、相关例题解析视频以及配方法的应用实例图片。

3.教学工具：准备黑板或电子白板，用于板书关键步骤和方程配方法的应用。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生合作学习，并确保教室环境安静、光线充足。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习一元二次方程的标准形式和配方法的基本概念。

设计预习问题：围绕一元二次方程的配方法，设计问题如“如何将一般的一元二次方程转化为完全平方形式？”引导学生自主思考。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。例如，通过预习报告或课堂提问了解学生预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照预习要求，阅读预习资料，理解一元二次方程配方法的基本概念。

思考预习问题：学生针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。例如，思考配方法在解决不同类型方程中的应用。

提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示一元二次方程的实际应用案例，引出配方法这一课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解配方法的基本步骤和注意事项，如如何找到合适的常数项来完成平方。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生尝试将几个一元二次方程通过配方法求解，并分享解题思路。

解答疑问：针对学生在小组讨论中提出的问题，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，体验配方法在解决方程中的应用。

提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置一些需要运用配方法求解的一元二次方程的作业，巩固学生对配方法的理解。

提供拓展资源：提供一些与一元二次方程配方法相关的拓展题目或文献，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的错误给予反馈和指导。

学生活动：

完成作业：学生认真完成作业，巩固所学知识。

拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考，如尝试解决更复杂的方程。

反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。例如，思考如何更有效地应用配方法求解不同类型的方程。六、知识点梳理一、一元二次方程的定义

1.一元二次方程的标准形式：ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，a≠0。

2.一元二次方程的系数：a、b、c分别称为方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次方程的解法

1.直接开平法：适用于方程可化为(x+m)²=n的形式。

2.配方法：通过添加和减去同一个数，将方程转化为完全平方形式，再开平方求解。

3.因式分解法：将一元二次方程左边因式分解，使其成为两个一次因式的乘积，再求解。

4.求根公式法：利用公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求解一元二次方程。

三、一元二次方程的根的情况

1.判别式：Δ=b²-4ac，根据判别式的值，判断一元二次方程的根的情况。

-Δ>0：方程有两个不相等的实数根。

-Δ=0：方程有两个相等的实数根（重根）。

-Δ<0：方程无实数根，有两个共轭复数根。

四、一元二次方程的应用

1.解决实际问题：将实际问题转化为数学模型，运用一元二次方程求解。

2.图像与方程：一元二次方程的图像是抛物线，通过图像可以直观地了解方程的根的情况。

五、配方法求解一元二次方程

1.配方法的基本步骤：

（1）将方程的二次项系数化为1。

（2）将一次项系数的一半平方后加到常数项上，同时从方程两边减去这个数。

（3）将方程左边化为完全平方形式，右边化为常数。

（4）开平方，得到方程的解。

2.配方法的注意事项：

（1）在进行配方操作时，要确保方程两边平衡。

（2）在求解过程中，要注意根的取舍，避免出现错误。

六、一元二次方程的图像

1.抛物线的开口方向：根据二次项系数a的符号确定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

2.抛物线的顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)。

3.抛物线的对称轴：对称轴为直线x=-b/2a。

七、一元二次方程的应用实例

1.求解实际问题：如计算物体的运动轨迹、求解经济问题等。

2.图像与方程：通过抛物线图像了解方程的根的情况，如根的个数、根的位置等。

八、一元二次方程的拓展

1.一元二次方程的根与系数的关系：根的和与系数的关系为x₁+x₂=-b/a，根的积与系数的关系为x₁x₂=c/a。

2.一元二次方程的解法比较：比较不同解法的适用范围和优缺点，提高解题能力。

3.一元二次方程在实际生活中的应用：了解一元二次方程在各个领域的应用，拓宽知识面。

九、一元二次方程的练习题

1.求解一元二次方程。

2.判断一元二次方程的根的情况。

3.利用一元二次方程解决实际问题。

4.分析一元二次方程的图像，了解根的情况。七、板书设计1.一元二次方程的定义

①一元二次方程：ax²+bx+c=0(a≠0)

②标准形式：二次项系数a、一次项系数b、常数项c

2.配方法求解一元二次方程

①配方步骤：

②将方程两边同时除以a，化为标准形式。

③将一次项系数的一半平方后加到常数项上，同时从方程两边减去这个数。

④将方程左边化为完全平方形式，右边化为常数。

⑤开平方，得到方程的解。

3.判别式与根的情况

①判别式：Δ=b²-4ac

②Δ>0：两个不相等的实数根

③Δ=0：两个相等的实数根（重根）

④Δ<0：无实数根，两个共轭复数根

4.一元二次方程的图像

①抛物线：y=ax²+bx+c(a≠0)

②开口方向：a>0时向上，a<0时向下

③顶点坐标：(-b/2a,c-b²/4a)

④对称轴：x=-b/2a

5.一元二次方程的根与系数的关系

①根的和：x₁+x₂=-b/a

②根的积：x₁x₂=c/a八、作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本上的练习题，包括以下几部分：

①应用配方法求解一元二次方程的练习题，如方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求解。

②判别式Δ=b²-4ac的应用练习题，判断根的情况。

③一元二次方程图像与实际问题的结合练习题，如抛物线与x轴的交点问题。

2.自主设计一个一元二次方程问题，并尝试使用配方法求解。问题应具有一定的挑战性，能够锻炼学生的思维能力和解决问题的能力。

3.选择至少两个课本中的例题，分析其解题思路，并总结配方法在解决一元二次方程中的应用特点。

作业反馈：

1.批改作业时，首先检查学生是否完成了所有的作业内容，确保学生掌握了本节课的教学目标。

2.对学生的配方法应用进行评估，关注以下几点：

①学生是否能正确地将一元二次方程转化为完全平方形式。

②学生在配方法过程中是否注意到了方程两边的平衡。

③学生是否能正确地开平方，得到方程的解。

3.对于判别式的应用，检查学生是否能够正确判断根的情况，并能够根据判别式的值选择合适的解法。

4.在图像与实际问题的结合练习中，评估学生是否能够将一元二次方程的图像与实际问题联系起来，并能够运用所学知识解决实际问题。

5.对学生的自主设计问题进行评估，关注学生的创新能力和问题解决能力。

6.针对学生在作业中存在的问题，给出以下反馈和建议：

-如果学生在配方法的应用上存在困难，建议学生回顾课堂讲解，重点理解配方法的步骤和注意事项。

-如果学生在判别式的应用上出现错误，建议学生加强对判别式与根的关系的理解，并练习不同情况下的判断。

-对于图像与实际问题的结合练习，如果学生未能将理论知识与实际问题有效结合，建议学生多练习类似的题目，提高实际问题解决能力。

7.对于表现优秀的作业，给予表扬，并鼓励学生继续努力，争取在今后的学习中取得更好的成绩。

8.定期与学生交流作业情况，了解学生的学习进度和遇到的困难，提供个性化的辅导和帮助。

9.通过作业反馈，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力，并为下一节课的学习做好准备。典型例题讲解例题1：

解方程：2x²-4x-3=0

解答：

1.首先将方程化为标准形式：2x²-4x-3=0。

2.然后使用配方法：

-将方程两边同时除以2，得到x²-2x-1.5=0。

-找到一次项系数的一半，即-2/2=-1，平方后得到1。

-将1加到常数项上，同时从方程两边减去1，得到x²-2x+1=2.5。

-方程左边化为完全平方形式，右边化为常数。

3.开平方，得到(x-1)²=2.5。

4.解得x-1=±√2.5。

5.得到两个解：x₁=1+√2.5，x₂=1-√2.5。

例题2：

解方程：x²-6x+9=0

解答：

1.方程已经是完全平方形式，可以直接开平方。

2.x²-6x+9=(x-3)²=0。

3.解得x-3=0，得到x₁=x₂=3。

例题3：

解方程：3x²-12x+9=0

解答：

1.将方程化为标准形式：3x²-12x+9=0。

2.使用配方法：

-将方程两边同时除以3，得到x²-4x+3=0。

-找到一次项系数的一半，即-4/2=-2，平方后得到4。

-将4加到常数项上，同时从方程两边减去4，得到x²-4x+4=-1。

-方程左边化为完全平方形式，右边化为常数。

3.开平方，得到(x-2)²=-1。

4.由于判别式Δ=(-4)²-4*1*3=16-12=4>0，方程有两个不相等的实数根。

5.解得x-2=±√(-1)，即x-2=±i，其中i是虚数单位。

6.得到两个解：x₁=2+i，x₂=2-i。

例题4：

解方程：4x²-20x+25=0

解答：

1.方程已经是完全平方形式，可以直接开平方。

2.4x²-20x+25=(2x-5)²=0。

3.解得2x-5=0，得到x=2.5。

例题5：

解方程：5x²-10x-15=0

解答：

1.将方程化为标准形式：5x²-10x-15=0。

2.使用配方法：

-将方程两边同时除以5，得到x²-2x-3=0。

-找到一次项系数的一半，即-2/2=-1，平方后得到1。

-将1加到常数项上，同时从方程两边减去1，得到x²-2x+1=4。

-方程左边化为完全平方形式，右边化为常数。

3.开平方，得到(x-1)²=4。

4.解得x-1=±2，得到两个解：x₁=1+2=3，x₂=1-2=-1。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合实际案例：在教学过程中，我尝试将一元二次方程的应用与实际生活中的案例相结合，如物理学中的抛物线运动、经济学中的供需关系等，让学生更加直观地理解数学知识的应用价值。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体技术，如