2025年中考数学二轮复习-专题9三角形、四边形的相关计算【课件】

专题九三角形、四边形的相关计算

类型一利用勾股定理求线段长

在图形中遇到求线段的长时，有时可以利用图形中的直角三角形

（或通过作垂线将待求线段放入某个直角三角形中），通过勾股定理

来解决问题.

2.

[2024·达州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，

且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是

⁠.

3.

如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，将

△ABE沿BE折叠得到△FBE，EG∥DC，交BF于点G，则EG的长

为

⁠.

4.

如图①，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝

∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图②，将△ABC固定，将

△CEF绕点C顺时针旋转，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求

OF的长.

5.

如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD

上，BE＝3，∠EAF＝45°，求DF的长.

类型二利用相似求线段长或线段比

在图形中遇到求线段长或线段比时，有时可以利用图形中的相似

三角形，通过相似三角形的性质得到线段比或建立待求线段的相似比

方程来解决问题.若图形中没有相似三角形，有时还需要通过作平行线

或垂线构造与待求线段相关的相似三角形.

3.

[2024·宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对

角线AC的长是

⁠.

5.

如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，P为AB边上一点，M为CP

的中点，若∠PBM＝∠ACP，求BP的长.

6.

如图，在等边三角形ABC中，AB＝3，D是CB延长线上一点，且

BD＝1.点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，求AE的长.解：分以下两种情况讨论.

7.

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点.

类型三构造全等三角形求线段长

在图形中遇到求线段长时，有时通过作垂线或平行线的方法构造

全等三角形，利用全等三角形的性质达到与已知线段长的等量转换，

再结合勾股定理、相似三角形等相关知识求解.1.

如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，且E为对角

线BD的中点，∠DAE＝30°，∠BCE＝120°.若CE＝1，BC＝2，求

AC的长.解：如图，过点D作DM∥BC，交AC于点M.

易得△DEM≌△BEC

（ASA或AAS），∴DM＝BC＝2，ME＝CE＝1，∠DME＝∠BCE＝120°，∴∠AMD

＝60°.又∵∠DAE＝30°，∴∠ADM＝90°，∴AM＝2DM＝4，∴AC＝

AM＋MC＝4＋2＝6.2.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为△ABC内一

点，连接AP，BP，CP，其中CP的延长线交AB于点E，若∠CBP＝

∠PCB＝15°，求AP的长.解：如图，过点A作AM⊥CE于点M，过点B作BN⊥CE，交CE的延长线于点N.

易得△ACM≌△CBN（AAS）.设BN＝CM＝x.∵∠CBP＝∠PCB＝15°，∴∠BPN＝30°，∴CP＝BP＝2BN＝2x，∴PM＝CM＝x，∴AM为CP的垂直平分线，∴AP＝AC＝4.3.

如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，AC＝2，点P在边AB上，Q在

BC的延长线上，且PA＝QC，连接PQ交AC于点D，PE⊥AC于点

E，求DE的长.

4.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为AC的中

点，CH⊥BD于点H，O为AB的中点，连接OH，求OH的长.

类型四利用旋转变换求线段长

当遇到“从一点（O）呈放射状发射出三条线段（OA，OB，

OC），且其中有两条线段相等（OA＝OB，OA与OB的夹角为α）”

的几何图形，求某线段长时，往往可以以点O为旋转中心，将以OA

（或OB）为边的一个三角形旋转α度，使其与OB（或OA）重合，构

造出“手拉手模型”，实现线段的等量转换，图形重构.

2.

如图，E为菱形ABCD外一点，∠BEA＝∠ABC＝60°，AE＝3，

BE＝5，求DE的长.

4.

如图，B，C为△ADE的边DE上两点，∠BAC＝90°，AB＝AC.

若∠DAE＝135°，BD＝2，CE＝3，求AB的长.解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到

△ACF，连接DF.

易得△ACF≌△ABE，∴CF＝BE，AF＝AE，∠ACF＝∠ABE.

∵∠BAC

＝90°，AB＝AC，∴∠ACF＝∠ABE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝

90°，即△DCF为直角三角形.∵∠DAE＝135°，∠FAE＝90°