高中数学新课程创新教学设计

第一部分高中数学新课程创新教学设计的基本观点

新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化，要实现数学课程改革的目标,

教师是关键.教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程

改革中的角色和作用.教师不仅是课程的实施者，而且是课程的研究、建设和资源开发的重

要力量.教师不仅是知识的传授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者.为了更好

地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质.

数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中学

生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段引导学生积

极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们体现的数学思想方法，发展应用意

识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发

展和进一步学习打好基础.

一、高中数学新课程实施的基本理念

新的课程理念要求数学教师与时俱进，切实更新教育理念，在课程的实施、研究、建设

上做出成绩，成为开发课程资源的生力军.

(-)正确认识数学教学的本质，建立与新课程相适应的教育理念

建立与新课程相适应的教育理念，首先是对新时期的教育要有正确的认识.教育本应是

“心灵的导向和人格的塑造”的过程，也是促进人的健康成长的过程，但现代教育追逐物质

效益而忽视精神文化的开创和弘扬，使人们陷于狭隘而片面的发展，这应是教育者值得深思

的课题.从某种意义上来说，教育是一代人走向历史，历史进入下一代人的方式，同时教育

解释历史，使历史意义彰显出来.教育使受教育者理解历史，使历史进入人的精神世界，使

个体在历史中创造历史，使历史成为运动的，发展的.教育不仅是对生活的准备，而且是涵

盖人生的.人类自从有生命开始，就在生活着，就在进行理解着，就在成长着，就在学习人

类的语言，接纳社会的传统.教育不在生活之外，与其说教育是生活的准备，不如说教育是

人展现自身的一种必然方式.

数学教师要认识到新的时期人们对数学的理解有了新的进展.每一名数学教师都是按照

自身对数学的理解来讲课的.我们应将数学理解为关于模式的严格而生动的科学，将数学作

为探索性的、动态的、进展的科学，而不是作为僵死的、绝对的、封闭的,组组难以记住的

定理去学习.也就是说，将数学看作一门科学，而不是教规.数学是研究关系的科学，是研

究关于客观世界模式和秩序的科学.数、形、关系、可能性、最大值或最小值、数据处理等,

是人类对客观世界进行数学把握的最基本的反映.数学对象没有任何实物和能量的特征，它

们都处于一定的相互关系之中，处于数量关系、空间关系等类似于这些关系的关系之中.数

学思想体现了对一定质的量和一定量的质以及相互转化关系的把握.数学作为普遍的技术，

可以帮助人们在搜索、整理、描述、探索和创造中建立模型，研究模型，从而解决问题，作

出判断，它为人们交流信息提供了一种有效的简洁手段.数学是研究方法的科学，它是在人

们对客观世界定性把握和定量刻画的基础匕逐步抽象，概括，形成模型、方法和理论的过

程.这一过程充满着探索和创造.如今，观察、实验、猜测、调控等学习模式，已成为人们

发展数学，应用数学的重要策略.

数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生之间互动的过程，是

师生共同发展的过程.数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动.从

建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动.在数学活动中，学生与

教材及教师间产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感和思维能力.在数

学教学过程中，教师与学生是人格平等的主体，教学过程是师生进行平等对话和交流的过

程.教师与学生之间、学生与学生之间开展动态的交流对话活动，其内容包括知识信息、情

感、态度、行为规范和价值观等方面.在这个活动中，学生应当成为学习活动的主体，而教

师是学生参与学习活动的组织者和引导者，是共同的参与者.教师引导学生开展观察、操作、

比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生掌握基本的数学知识和技能，产

生学习数学的愿望和兴趣.

在数学教学过程中，教师促进了学生的发展，本身也得到了完善.学生在新课程标准的

指导下，在学校除了学习相应的知识之外，更重要的是要做到“成长、发展和完善”.首先

学生要做到健康地“成长”，必需身体健康和心理健康（通常表现为认知功能正常、情绪反

应适当、意志品质健全、自我意识正确、个性结构完整、人际关系协调、人生态度积极、社

会适应能力良好、行为表现规范和行为与年龄相符等），特别是学习心理健康，这样才能学

好他所需求的那部分数学.数学不应成为学生学习的沉重负担，而应成为学生人生道路上

成长的“泵”.其次是“发展”，学生在学校里学习，智力、能力、个性、特长和爱好都应

得到全面和长期的发展.最后是人格得到“完善”，成为具有健全人格的人.同时，新课程

标准对教师提出了明确的要求，要求教师做到“关注、尊重和理解”关注”即关注学生

的成长，关注学生的感受，关注学生的需要,关注学生的学习方式，而不是只关心他的分数.也

就是说，要关注学生们的全面和长期的发展.对学生的关注来源于“尊重”.“尊重”有着

上分广泛的内容，即要求教师在实施新课程中做到尊重自己，强调自立自强；尊重他人，强

调平等；尊重社会，强调规则；尊重自然，强调和谐；尊重知识，突出探索，突出应用（只

有那些有用的、会用的知识才能成为力量）；尊重被教育的对象，突出以人为本，教师教的

是人，塑造的是人才.“尊重”来源于“理解”，即教师自我对人生的理解、对教育事业的

理解、对所教的这门学科的理解、对认知心理学和学生学习心理学的理解，以及对教学对象

的理解.

教学过程是实现课程目标的重要途径，必须突出对学生创新意识和实践能力的培养，优

化教学过程.

教师是教学过程的组织者和引导者.教师在设计教学目标、选择课程资源、组织教学活

动、运用现代教育技术和参与研制开发学校课程等方面，都应以实施素质教育为己任，面向

全体学生，因材施教，创造性地进行教学.教师应学习、探索和积极运用先进的教学方法，

不断提高师德素养和专业水平.

学生是教学过程的主体，学生的发展是教学活动的出发点和归宿，学习应是发展学生心

智、形成健全人格的重要途径.在教学过程中，要根据不同学习内容，掌握和接受探究、模

仿、体验等学习方式，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程.教材是教学内容

的重要载体，教师在教学过程中应依据课程标准，灵活地、创造性地使用教材，充分利用包

括教科书在内的多样化课程资源，拓展学生发展空间.

加强师生相互沟通和交流是教学过程的核心要素，新的教育理念倡导教学民主，建立平

等合作的师生关系，营造同学之间合作学习的良好氛围，为学生的全面发展和健康成长创造

有利的条件.

（-）以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

《数学课程标准》指出：为了体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不

同学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展……教学中，要鼓励学生根据国家规定的

课程方案和要求，以及各自的潜能和兴趣爱好，制定数学学习计划J,自主选择数学课程；还

要根据学生的基础、水平和发展方向，指导学生选择适合自己的学习内容，安排学习顺序.对

不同系列的内容，应采用不同的教学方式.

新课程为学生提供了若干模块的选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿

望进行选择.教师应适时依据学生的志向与自身条件的不同，帮助他们针对不同高校、不同

专业对学生数学方面的要求的不同，指导学生选择不同的课程组合.以下提供课程组合的几

种基本建议.

(1)学生完成10学分的必修课，即可达到高中毕业的最低数学要求，他们还可以任意

选修其他的数学课程.

(2)学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课中任选1个模块获得2学分，即可

达到多数高职、艺术、体育类的高等院校的最低数学要求.

(3)学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课程中选修Bl,B2,获得4学分，

在其他选修课程中选修1个模块获得2学分，总共取得16个数学学分，即可达到人文社会科学

类高等院校的最低数学要求.

(4)在(3)的基础上，对数学有兴趣并希望获得较高数学素养的学生，在E,F中选

修3个模块获得6学分，可以申请获得数学高级水准证书，成为升学或其他需要的依据和参考.

(5)学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课程中选修Cl,C2,C3,获得6学

分，在其他选修课程中选修2个模块获得4学分(其中在D课程中只能获得2学分)，总共取得

20个数学学分，即可达到理工、经济类高等院校的最低数学要求.

(6)在(5)的基础上，对数学有兴趣并希望获得较高数学素养的学生，在E,F中选

修3个模块获得6学分，可以申请获得数学高级水准证书，成为升学或其他需要的依据和参考.

课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换.学生作出选择之后，可以根

据自己的意愿和条件向学校申请调整.教师根据选修课模块的逻辑顺序，帮助他们进行调整

和转换.

(三)帮助学生打好基础，发展能力

在新课程下，教师应帮助学生理解和掌握基本数学知识，基本技能，发展能力.数学能

力包含于一般的能力之中，但又有着自身的特征，其核心部分是数学思维能力.它体现了数

学思维中对客观事物一定质的量和一定量的质及其相互转化关系的把握.数学的思维意识具

有独特的形态：它的思维对象力求形式化，思维意识力求抽象化，思维背景力求形象化，思

维过程力求逻辑化，思维结果力求应用化，并以此体现数学特有的教育价值.数学思维技能

的形成过程是智能与技术的统•体,是学生的数学能力在掌握数学知识的过程中进行数学活

动的具体表现.要获得一定数量的知识，就必须具备相应的技术手段，否则学习这些知识就

是没有用的.

在技能和能力的关系上，可进行如下的分析：学生自动地完成最简单的基本活动就叫技

巧，而借助技巧完成的活动自身也就变成了一个操作.技巧在形成时，它努力使自己成为「

个自觉的自动化的活动，然后，它以一个完成活动的自动化方法来发挥作用.当学生要完成

比较复杂的活动时，就应该掌握运用知识和技巧的本领，这种用主体具有的知识和技巧，掌

握对于合理调节活动必须的心理活动，进而实施活动的能力，就叫技能，而能力是作为一个

人区别于另一个人的个人心理特点，是与顺利完成某种活动有关的特点，决定某一活动或许

多活动实现的可能性和成功的程度的特点.在分析能力时，指的是进行某一活动的人的品质

和特点.在分析技能和技巧时，指的是人进行的活动的性质和特点.技能和技巧反映学生解

决问题的实际可能性，而能力反映的是潜在的可能性，是迅速、灵活和深刻掌握解决新的类

型习题的主要条件.

任何一门科学的一个十分重要的特征，就是它的逻辑结构.通常认为，科学的逻辑结构

的要素是：原理、法则、基本概念、理论和思想.在数学中，这些要素具有稍微特殊的形式,

其中基本概念是数学逻辑结构的第•个要素；公理体系连同数学中运用的逻辑证明的法则，

构成了数学的第二要素-----数学基础，常采用定理、运算法则、公式等形式；数学的逻辑

结构的个最重要的要素是第三要素-----数学思想.学校数学课程的整个结构基础应当是

现代数学的思想和方法，如集合和映射的思想、比较和分类的思想、数形结合的思想等.学

生对这种现代数学的思想和方法的接受和熏陶，是高中其他任何•门学科不能替代的.最好

能让学生知道这些思想和方法，同时这些思想和方法应当以明显的形式列入教学内容，并且

对它们的掌握应当成为学生学习活动的直接目的.思想和方法最初以不展开的形式教给学

生，但是随着学生年龄的增长，随着教学向前推进，它们与学生一起增长.这些思想和方法

组成数学全部教学内容的核心，学校数学课程的其他内容，应当是这些思想和方法的具体化

和运用，是这些思想和方法的展开.这些思想和方法的形成和发展是学生由基本技能上升为

基本能力的基础.

《数学课程标准》对学生的能力目标是：提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求

解、数据处理等基本能力；提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能

力，发展独立获取数学知识的能力；发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵

的一些数学模式进行思考和作出判断.

（四）注重联系，提高对数学整体的认识

在新课程中，数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力.在高中数学的教学中，要

注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与11常生活的联系，数学与其他学科的联

系.最近二三十年来，数学的性质及其应用的领域与途径发生了巨大变化，不仅发展了许多

新的数学领域，而且应用数学的范围大大扩充了.最显著的是，计算机的发展和计算机应用

的爆炸性增长，它们绝大多数都要求发展新的数学.同样，与广泛应用相联系的几个主要数

学分支，产生了大量的思想财富.学生必须学习这些应用数学，进而利用应用数学解决实际

问题.数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有了变化.数学是一门科学，观察、实验、

发现、猜想等科学方法在数学研究中有着重要的作用，尝试和纠错、假设和调研以及度量和

分类是数学家常用的一些技巧，学校应当教.实验作业和实习作业对于理解数学是什么及其

如何使用不但是适宜的，而且是必须的.像生物是有机体的科学、物理是物和能的科学一样，

数学是模式的科学.通过它们的所有表现形式-----数，数据，形，序，甚至模式本身来划

分、解释和描述模式，使数学在科学家遇到的任何模式中都可以在某处解释为数学实践的组

成部分.数学也是一种交流形式.数学不仅是一门科学，而且是一种语言.数学科学现在是

自然科学、社会科学和行为科学的基础.山于计算机和世界范围内的数学式交流的支持，商

业和工业都越来越依靠现代数学的分析方法.数学可以作为商业和科学的语言，是因为数学

是描述模式的语言.数学语言是交流关系和描述模式的通用工具，是一种每人都必须学习、

使用的语言.一个学习数学的人，他搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想.数学

是一种创造性的、活跃的过程，和被动地掌握概念与程序很不相同.事实、公式和信息有多

大价值，只看它在多大程度上支持有效的数学活动.虽然有些基础的概念和程序所有学生都

必须知道，但是学数学要追求理解和交流，而不仅仅是把它当作工具.

（五）注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力

《数学课程标准》指出：高中数学课程应讲清一些基本内容的实际背景和应用价值，开

展“数学建模”的学习活动，设立一些反映数学应用的专题课程.即把数学应用教学当作数

学教学的重要组成部分，把数学的应用自然地融合在平常的教学中.教学中应体现知识的来

龙去脉，适当介绍数学学科与其他学科、日常生活的联系；通过数学学习、实验、研究性学

习等活动引导学生亲自利用数学解决一些实际问题：拓宽学生的视野，增长见识.

（六）关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成

《数学课程标准》指出：数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也

是推动社会发展的动力.教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作

用，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，开阔视野，探寻数学发展的历史轨迹，受

到优秀文化的熏陶，提高文化素养，养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而

不舍的追求真理精神.注重学生情感、态度、价值观的培养，这一点在传统数学教育中没有

得到充分的重视.课程实施中应把情感、态度的培养作为一个基本理念融入到课程目标、内

容与要求、说明与建议等中.

数学和其他任何学科不同，它几乎是任何科学不可缺少的.克莱因指出：“数学是形成

现代文化的主要力量，也是这种文化极其重要的因素.”首先，它追求一种完全确定、完全

可靠的知识，是一种寻求公理的思想方式.数学使人全面地、完整地、合乎逻辑地、有条有

理地认识事物，完善了自身的人格.进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求，实用的、

科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成.数学作为人类文化组成部分的另一

个特点，是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根据，它鼓励人

们按照最深刻的内在规律来考虑事物.数学的另一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且研

究它自己.在发挥自己力量的同时，研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思、

不断批判自己，并以此开辟自己前进的道路.数学影响着人类的精神生活，它促进了人类思

想解放，提高与丰富了人类的整个精神水平.从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰

富、更有力的人.齐民友先生在《数学与文化》一书中高度评价了数学在促进人类思想解放、

使人类摆脱封建迷信等方面的历史功绩，认为它最根本的特征是“表达了一种探索精神”，

并把数学提高到文化兴衰、氏族兴亡的高度来认识.

在课程实施中，应结合教学内容介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，用

以反映数学在人类社会进步、人类文化建设中的作用，同时反映社会发展对数学发展的促进

作用.止匕外，初等数学本身为学生人文精神的形成和发展提供了许多有趣的素材.数学曲线

和几何图形具有平衡和对称的特点，它们像艺术品那样令人赏心悦目，从简单的直线到复杂

的摆线，从黄金分割到钟摆模型，都具有平衡性和对称性，它们作为一种基本图形，广泛应

用于艺术、建筑和商品广告等方面.在自然界的奇妙结构中，到处会碰到数学，从雪花的六

角形对称结构到蜜蜂的六角形蜂房，从蜗牛壳的螺线、向日葵花盘的圆的渐开线到行星的椭

圆形轨道，数学曲线和几何结构普遍存在于自然界中，教师应在适当的时候提醒学生注意，

用以激发他们天赋的感官，从而引起学生学习数学的兴趣.

数学的精髓在于探索和创新,在数学学习和研究的过程中，应该做到不断地发现新问题、

获取新信息、提出新观点、探求新方法和得出新结构，关注数学的人文价值，促使学生科学

观的形成，坚持“创新”的价值取向.教育的目标任务在于提高人的素质，而创新素质既是

个体发展的最高表现，又是当今社会特别重视的素质.培养创新素质理当成为现代教育最重

要、最明确的目标追求，成为教育成败得失的最高标准.现实教育的目标追求指向是知识学

习和技能训练，创新素质的培养很少得到关注，正是由于教育目标上的偏差，导致整个教育

格局中的“创新”的失落.因此，教育创新首先要调整目标，坚定创新的价值取向，把培养

创新素质作为教育最重要、最根本的任务加以确认.针对目前过分注重知识和技能而忽视创

新的状况，在实施中可考虑教材压缩一些、难度降低一些、教师少讲一些、学生多动一些、

课程丰富一些和考试办法多样一些等方式.

（七）改善教与学的方式，使学生主动地学习

丰富学生的学习方式、改进学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念.学生的数

学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动

手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式.在高中数学教学中，教师的讲授

仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动.高中数学

课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战.在教学中，

教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中

学生数学学习的教学方式.

1.正确认识教师在课程改革中的作用和角色的转变

在师生关系匕新课程要求教师应该从知识的传授者转变为学生学习的促进者，重心转

化为促进学生个性和谐，身心健康，全面发展.教师应成为学生学习能力的培养者，成为学

生学习的激发者，辅导者，帮助学生“学会学习”.教师应成为学生人生的引路人，不断地

在他们成长的道路上设置不同的路标，引导他们不断地向更高目标前进.

在教学与研究的关系上，新课程要求教师应该是教育教学的研究者.新课程增加了新的

内容，对原有内容的编排和要求也有了新的变化，这给教师提出了挑战.新课程蕴涵的新理

念，新方法，以及新课程实施过程中出现的各种新问题，都是过去的经验和理论难以解释和

应付的，教师不能被动地等待着别人把研究成果和教学经验送上门，进而不假思索地应用到

教学中去.教师应成为研究者，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问

题，对自己的行为进行反思，对出现的问题进行探索，对积累的经验进行总结，使其形成规

律性的认识.

在教学与课程的关系上，新课程要求教师应该是课程的建设者和开发者.在传统的教学

中，教师的任务只是教学，只要按照教科书、教学参考资料、考试试卷和标准答案去讲课就

行了，而新课程倡导民主、开放、科学的课程理念，同时确立了国家课程、地方课程、校本

课程的三级课程管理政策，这就要求课程必须与教学互相整合，教师必须在课程改革中发挥

主体性作用.教师要不断提高课程的建设能力，使国家课程、地方课程在课堂教学实施中得

到不断丰富和完善.

2.“师生互动，共同参与”的教学方式

学生学习的内在需要表现为学习兴趣.兴趣有直接和间接之分，直接兴趣指向过程本身，

间接兴趣指向活动的结果.有了学生对学习活动的积极参与，对学生来说，学习就不再成为

负担，学习的效果就会事半功倍.学生积极的参与获得了学习的体验，体验使学生学习进入

生命领域.因为有了体验，知识的学习不再仅仅属于认知、理性范畴，它已扩展到情感、生

理和人格等领域，从而使学习过程不仅是知识增长的过程，也是身心和人格健全与发展的过

程.数学教学的过程是“师生互动、共同参与”的过程.在这个过程中，特别强调学生的参

与，即强调活动、操作实践、考察、探究、交流等亲身经历的学习活动.通过这个“活动”，

调动学生掌握的个人知识和直接经验，并把它们都看成重要的课程资源.

3.突出数学本质，避免过分形式化

形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但

是，数学教学不能过度地形式化，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋

里.数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的，在数学教学中应该“返璞归真”，努

力揭示数学的本质.数学课程“要讲推理，更要讲道理”，即通过对典型例子的分析，使学

生理解数学概念、结论、方法和思想，追寻数学发展的历史足迹，把形式化数学的学术形态

适当地转化为学生易于接受的教育形态.

4.注重学生非智力因素的培养

教师对学生应该有真诚的期待，帮助学生树立学好数学的信心，创造良好的学习氛围，

使数学学习成为他们内心的需要；教师要全面了解学生，在了解学生的认知结构、思维方式、

认知水平、相关知识、技能技巧、语言表达的同时，还要了解他们的学习心理，引导学生的

个性意识倾向，帮助他们形成独立自主的数学学习方式：教师要进行适当的启发，促使学生

积极参与学习，在学习过程中积极思考，认真交流，由“要我学”到“我要学”，进一步达

到“我能学”，“我会学”，使学生真正成为数学学习的主人.

（A）恰当运用现代信息技术，提高教学质量

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影

响.信息技术在课程教学中的使用是时代的要求，如何在教学中恰当地使用信息技术是一个

挑战.在教学中，不仅应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容，更

应重视信息技术与课程内容的有机整合，通过信息技术，开发与利用课程资源.在教学中，

应尽可能使用科学型计算器，计算机及软件，互联网，以及各种数学教育技术平台，加强数

学教学与信息技术的结合.

信息技术与数学教学的整合，是教育面向现代化、面向世界、面向未来的必然发展.实

施信息技术与数学教学的整合是改进数学教育方法、全面提高教学质量的重要手段.

1.高科技的飞速发展改变了数学知识的结构和课程目标

数学教学要使学生具有开阔的数学视野,发展学生的数学意识，深刻揭示数学本质，“要

讲推理，更要讲道理”，突出算法在数学发展中的独特作用，力求把算法融入到数学课程的

各相关部分.传统的教学方式显然不能对这些源于技术的变化应付自如，这一切的实施必须

有现代教育技术的支撑，在教学中运用现代教育技术已成为现代教育理念的一部分.

2.信息技术进入数学教学课程是国际趋势

我国在2002年发行的《全日制普通高级中学数学教学大纲》中明确提出：“在教学过程

中，应有意识地利用计算机和网络等现代信息技术，认识计算机的智能画图、快速计算、机

器证明、自动求解及人机交互等功能在数学教学中的巨大潜力，努力探索在现代信息技术支

持下的教学方法和教学模式.”

美国面向21世纪数学课程标准指出：“数学教学应使用技术帮助所有学生理解数学，并

为科技化的社会中应用数学作好准备.”英国国家数学课程标准指出：“提供适当机会来发

展应用信息技术学习数学的能力.”法国新的课程标准中提出技术要真正整合到数学中去，

并且声明这种整合是必要的.自1996年，几何软件已作为中学教学内容的一部分，并要求高

中阶段使用计算器和计算机.日本课程标准提出：在处理课程内容时，要注意，对于各门课

程，灵活运用计算机等教学仪器，以提高教学效果；在进行数的计算时，可以根据需要让学

生使用计算器、计算机等仪器，以提高学习效率.德国数学课程标准中提出：要使用计算机

表示曲线族，用计算机模拟概率，建立程序考查序列，解决线性最优问题与线性方程组以及

微分方程的迭代算法，并开设“信息学”的必修课程.信息技术引入数学教学已成为数学教

育发展的必然趋势.

3.信息技术对数学教学的影响

（1）信息技术的应用给数学实验提供了可能.G.波利亚提出：“数学有两个侧面，•

方面，它是欧几里得式的严谨科学.从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学.另一方面，

它是在创造过程中建立起来的科学.从这个方面看，数学更像一门实验性的归纳科学.”数

学的创新教育，更需要数学实验和猜想.在数学实验中，通过观察、分析、对比、归纳建立

关系，处理数据，发现规律.信息技术的应用给数学实验提供了可能.

（2）信息技术可以方便地实现数学对象的多重表示.信息技术使数学概念、理论及数

学问题容易用数字、图形、符号、语言等多种不同的方式来表示.信息技术使数学思维成为

动态的和“可视”的.信息技术传递动态信息的特点使思维“可视”，为帮助学生理解数学

提供了“直觉”材料，使学生掌握了多种表达方式，进而使学生既可以在这些表示法之间进

行自由转换，又可以用计算机或计算器的数据处理分析功能、作图功能、可视性与动态显示

效果，还可以通过图形的方法或数值的方法来摸索数学，使“多重表示与表示的互相转换”

这一重要的学习理论的实现成为实际.

(3)信息技术融入数学教学使教师为学生进一步展示数学知识的发生、发展过程提供

了可能.

信息技术的融入有利于创设新颖的教学环境,教学模式将从以教师讲授为主转为以学生

动脑动手自主研究、小组学习讨论交流为主.信息技术可以把数学课堂转为“数学实验室”，

学生可以通过自己的活动得出结论，使创新精神与能力得到发展.

(4)信息技术可以发展学生思维，帮助学生形成更高级的概念理解能力，进而学生可

以达到传统途径下无法实现的领悟层次，为提高数学能力提供了必要的感性准备.

(5)信息技术可以实现历代教育家梦寐以求的理想目标-个别化数学.由于多媒

体课件的出现，计算机可以利用自己强大的处理数据的能力，实现内容的切换和选择.多媒

体课件既可以被用来在同一数学内容的不同教学设计间切换和选择,也可以被用来在同一•数

学对象的不同结构侧面间切换和选择,还可以被用来在同•数学问题的不同解法思路间进行

切换和选择.也就是说，教师可以利用计算机的这种快速切换和灵活选择的功能，设计出多

种授课方式，满足各类学生的需要.

(6)信息技术可以帮助教师实现特色教学.可供教师选择的大量的教学资源库和丰富

的教学素材(案例、动画、课件、多媒体等)可使教师按自己的个性特征、教学习惯、教学

特点灵活选择，实现特色教学.

教师应恰当使用信息技术，改善教学方式和学生的学习方式，引导学生借助信息技术学

习有关数学内容，探索、研究一些有意义、有价值的数学问题，但应注意技术不能代替学生

的思考，也不能代替教师的作用.

二、高中数学新课程创新教学设计的特点及基本要求

(-)新课程理念下高中数学教学设计的特点

新的课程理念只有在教学上得以“物化”，才能真正发挥作用.在新课程实施中，新理

念指导下的高中数学教学设计具有如下突出特点：

1.问题情境体现文化底蕴通

过联系现实生活中的应用实例，体现数学在实践中的巨大作用；通过深层次的历史文化

背景的展示，体现数学学习对自然、历史文化及人类自身的关注和热爱；通过数学故事或数

学史的讲述，培养学生对数学学习的兴趣；通过对科学研究，特别是数学研究工作中的伟大

人物介绍，帮助学生形成坚强的个性；通过揭示数学知识结构内在的魅力，让学生从中体验

到数学的美、严谨对称、逻辑性等.问题情境的展示，可以充分体现数学教师深厚的人文底

蕴，对形成学生终身受益的认知结构、学生人格的塑造、学生综合素养的形成和发展都有着

巨大的作用.

2教学设计体现现代教育教学观念

教学观念是带有普遍性的、最基本的、可以作为其他教育规律的基础规律和基本观点.在

反映数学教学观念的案例中，执教者抓住其中能说明问题的“亮点”展开，并加以分析，进

行教学设计.实际上，这个“亮点”完全可以反映出执教者的教育教学观念，并展现出他的

教学设计水平.教师在激起认知动因、安排认知方法、组织认知内容和利用认知结果等方面

采用的策略，应突出地展现出现代数学教学的一个或几个基本教学观念.

3.学习过程的设计体现自主精神

在教学过程的设计中，教师应给予学生充分的选择机会和自主发展的空间，使学生通过

能动的、创造性的学习活动，实现自主精神的充分发挥，改变传统教学过程的“讲------学

一练”模式，强化通过问题解决来学习的“学-----讲-------练”方法，使学生“学会

学习”.事实上，学生的自主精神是通过课堂上的交流活动来体现的，可采用实验、尝试、

猜测、讨论等方式进行.交流活动是通过“会话”来实现的，交流的对象除师生交流外，要

重视学生之间的交流活动.交流的内容是广泛的，可以交流知识、交流方法、交流信息、交

流体会等，让学生在课堂上有充分的活动空间和时间，形成学生自我寻求发展的愿望，充分

发挥他们的自主精神.

4.知识建构体现渐进过程

建构主义的知识观认为：知识只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，它不

是问题的最终答案，它必将随着人们的认识程度的深入，不断地变革、升华和改写，出现新

的解释和假设.知识并不能绝对准确无误地概括世界的法则，提供对任何活动或问题解决都

适用的方法.在具体的问题解决中，应针对具体问题的情境对原有知识进行再加工和再创

造.真正的理解只能通过学习者自身基于自己的经验、背景而建构起来，取决于特定情境下

的学习活动过程，否则就不叫理解，而叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式学习.在教

学过程的设计中，应依据实际情况安排好学生的认知过程，支持、帮助学生逐步地建构知识

的意义.因此，这个过程的安排必须适合学生的认知规律，并通过反馈和调控的操作来安排

好这一过程.

5.课件制作体现动态交互

一般的演示课件只能按事先设计好的数据、过程向学生作出展示，学生仍是被动接受课

件的演示结果，更有甚者是，学生的思维始终跟着计算机的演示走，计算机课件反而成为学

生思维活动的障碍.在新理念下，计算机课件制作除了要求使用新的技术，体现真实、美观、

动感外，特别强调它的交互性，所用数据可以修改，使课堂成为实验室；学生可上机设计并

操作，还留有课后进一步实验、探索、研究的余地.

（二）高中数学新课程教学设计的基本要求

众所周知，与以往的课程相比，新的高中数学课程改革从改革理念、课程内容到课程实

施，都有较大变化.要实现数学教育教学改革的目标，教师是关键，教学实施是主渠道，而

教学设计是实现课程目标、实施教学的前提和重要基础.

为此，在高中数学教学设计中，必须充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，

以及不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地

学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及数学思想方法，发展应用意识和创新意识，形成

积极的情感态度，提高数学素养，使学生对数学形成较为全面的认识，为未来发展和进一步

学习打好基础.

新的课程理念对高中数学教学设计提出了一系列要求，这些要求集中体现为如下几个方

面.

1.教学内容的设计要注意体现数学的文化价值和人文精神，关注具体数学内容的特点

一方面，在高中数学教学内容的设计和编写中，应将数学的文化价值渗透在各部分内容

之中，并采取多种形式，如与具体数学内容相结合或单独设置栏目作专题介绍；列出课外阅

读的参考书目及相关资料来源，以便学生自己查阅、收集整理.

另一方面，要注意新理念、新内容在高中数学教学素材编写上的特殊处理.例如，算法

是高中数学课程中的新内容之一.在设计教学素材时，要注意突出算法的思想，提供实例，

使学生经历模仿、探索、程序框图设计、操作等过程，从而体会算法思想的本质，而不应将

算法内容单纯处理成程序语言的学习和程序设计.同时，教学素材的设计还要注意在能够与

算法结合的课程内容中，融入用算法解决问题的练习，不断加深学生对算法的认识.例如，

可以在求一元二次不等式解的内容中融入算法的内容.

此外，应把“数学探究”、“数学建模”和“数学文化”等新的学习活动恰当地穿插安

排在有关的教学内容中，并注意提供相关的推荐课题、背景材料和示范案例，帮助学生设计

自己的学习活动，完成课题作业或专题总结报告.

2.教学内容的选取要帮助学生打好基础，发展能力

在教学设计时，既要关注学生在数学情感态度和科学价值观方面的发展，也要帮助学生

理解和掌握数学基础知识和基本技能，发展能力.

（1）强调对基本概念和基本思想的理解和掌握.教学中应强调对基本概念和基本思想

的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、

导数、统计、随机观念、算法等）要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.由

于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历从具体实

例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质.

（2）重视基本技能的训练.熟练掌握一些基本技能，对学好数学非常重要.在高中数

学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练，但

应注意避免过于繁杂和技巧性过程的训练.

（3）与时俱进地审视基础知识与基本技能.随着科技的进步、时代的发展和数学研究

的不断深化，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学要与时俱进地审视基础知

识和基本技能.例如，统计、概率、导数、向量、算法等内容已经成为高中数学的基础知识.对

原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学.例如，立体几何的教学可从不同视角展开

一从整体到局部，从局部到整体，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方

法（代数方法）处理有关问题；不等式的教学要关注它的几何背景和应用；三角恒等变形的

教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明.又如，口头、书面的数学表达是学好数

学的基本功，在教学中也应予以关注.同时，应删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分

强调细枝末节的内容，克服''双基异化”的倾向.

3.教学素材的选取应注意体现数学的本质，关注与实际的联系，关注学生的现实，注

意适度的弹性

教学设计中的素材选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的

认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平.素材应具有

基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性.

事实上，高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识，这些内容是学生进行

高中的数学学习的基本出发点,,在教学设计中，选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相

关的素材，现实世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学的概念，结论，体现数学的

思想，方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在身边，数学的应用无处不在.例如，通

过行星运动的轨迹、凸凹镜等说明圆锥曲线的意义和应用；选择具有丰富生活背景的统计案

例，可以展示统计思想和方法的广泛应用；通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、

密度等大量丰富的现实背景引入导数的概念.

此外，在教学素材的编写时，内容的设计要具有一定的弹性.例如，根据学生特点和兴

趣，可以在高中数学教学的相关内容中安排•些引申的内容，这些内容可能是一些具有探索

性的问题，也可能是一些拓展的数学内容，或一些重要的数学思想方法.选择和安排这些内

容，要注意思想性、反映数学的本质.

4.进行教学内容组织的设计，要关注相关数学内容之间的联系，帮助学生全面地理解

和认识数学

数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的数学学习是循序渐进、逐步发展的.教

学素材编写时，应充分注意这些问题，不要因为高中数学课程内容划分成了若干模块，而忽

视相关内容的联系.

为了培养学生对数学内容联系的认识，在教学设计中，须要将不同的数学教学内容相互

沟通，以加深学生对数学的认识和本质的理解.例如，可以借助二次函数的图像，比较和研

究一元二次方程、不等式的解；比较等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的图像，发

现它们之间的联系等.

新的高中数学教学内容是根据学生的不同需要，分不同的系列和层次展开的.对此，必

须引起教学设计的足够关注.同时，处理这些内容时，还要注意明确相关内容在不同模块中

的要求及其前后联系，注意使学生在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高.例如，统计的

内容，在必修系列课程中主要是通过尽可能多的实例，使学生在义务教育阶段的基础匕体

会随机抽样、用样本估计总体的统计思想，并学习一些处理数据的方法；在选修课中则是通

过各种不同的案例，使学生进一步学习一些常用的统计方法，加深对统计思想及统计在社会

生产生活中的作用的认识.

5.教学内容的呈现应关注知识的发生、发展过程，促进学生的自主探索

在高中数学教学设计中，呈现教学内容应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规

律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则.例如，在引入函数的•般概念时，应从学生已

学过的具体函数（一次函数、二次函数）和生活中常见的函数关系（如气温的变化、出租车

的计价）等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概念：立体几何内

容，可以用长方体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、

线、面的位置关系.

在教学设计中，应注意创设恰当的情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展

过程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙

去脉.

教学素材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实

验、猜测、推理、交流、反思等过程；还可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学

生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交

流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解.

6.教学设计要充分体现现代信息技术与数学教学内容、教学形式的整合

随着时代的发展，现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习

等方面产生深刻的影响.如何使现代信息技术为学生的数学学习提供更多的帮助，是教学设

计值得关注的问题.使用现代信息技术的原则是有利于对数学本质的理解.教学设计在处理

某些内容时，提倡使用计算器或计算机，帮助学生理解数学概念，探索数学结论，还应鼓励

学生使用现代技术手段处理繁杂的计算，解决实际问题，以取得更多的时间和精力去探索和

发现数学的规律，培养创新精神和实践能力.另一方面，现代信息技术不仅在改进学生的学

习方式上可以发挥巨大的潜力，而且可以渗透到数学的课程内容中来，教学素材应注意这些

资源的整合.例如，可以把算法融入有关数学课程内容中；也可以引导学生通过网络搜集资

料，研究数学的文化，体会数学的人文价值.此外，在教学设计中，也要注意恰当使用信息

技术，以便于改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容，探索、研究

一些有意义、有价值的数学问题.

三、高中数学新课程创新教学的特点

学校教育应当“以学生的发展为本”.那么，“学生的发展”在数学教育中该如何落实

呢？通过学习与研究，使学生掌握数学的基础知识和数学方法，学会“数学地思维”，获得

更高的数学素养，进而提高其数学思维能力，包括几何直观能力、分析概括能力、逻辑推理

能力、运算能力以及应用数学知识解决一些实际问题的能力等；培养其理性精神，形成求真

务实、认真严谨、独立思考、勇于探索等良好个性品质，为其终身发展奠定良好基础.总之,

通过数学教育，应当使学生在数学的知识、思维、方法以及理性精神等方面得到发展.这既

是数学教育的作用所在，也是数学教育的目的所在.

（-）讲背景，讲数学，讲应用

数学的产生和发展，始终与人类社会的生产、生活有着密不可分的联系.任何•个数学

概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要.因此，任何一个数学概念的引入，都应

强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展历史上的背景，这样才能使教学内容显得

自然和亲切，让学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人，从而有利于学生认识数学内

容的实际背景和应用的价值.

数学课堂教学的载体是数学知识，其中包括数学思维和数学方法.实际上，学生在数学

学习中所得到的任何发展，都取决于他所学到的数学知识的数量和质量.认知心理学的研究

已经表明，一个人不能“数学地”思考和解决问题的主要原因是缺乏必要的数学知识.另一

方面，数学知识的逻辑性很强，这是数学区别于其他学科的一个显著的特点.所以，数学必

须循序渐进地学，只有老老实实地打好基础，才能进入后续学习.因此，数学课堂教学应当

特别注意知识结构体系的合理性，保持数学思想方法的一致性，加强基础，对那些核心的数

学概念和重要的数学思想（如函数、算法、向量方法、统计思想、导数等）应当采取循序渐

进、螺旋上升式地讲解，让学生有反复接触的机会，以保证学生获得必须的数学基础知识:

在教学设计中，要把握好数学的本质，保证教学内容的科学性，通过展示数学概念、结论的

形成过程，促使学生领悟数学的本质；要对学生进行在数学形式下的思考和推理的训练，提

高他们的数学思维能力，使他们形成用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯.

数学应用与数学知识学习是相互促进、相辅相成的.在数学教学中，加强数学应用和联

系实际，不但有利于提高学生的数学学习兴趣，加强学生的应用意识，而且有利于学生理解

数学，提高学生的数学创造力.在数学教学中，进行数学应用的教学，其深层次目的在于使

学生更深刻地理解数学知识.因此，教学中应千方百计地开发数学应用的背景素材，通过解

决具有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用，数学与生活及其他学科的联系，发展应

用意识，提高实践能力.

（二）讲历史，讲思想，讲文化

数学是人类文明发展进程的标志之一，它是人类文明进步的重要推动力量.这种力量，

主要体现在数学作为一种人类思维方法的典范、普适性的科学语言、通用的科学工具以及对

完美形式与结构的追求精神，向人类文明的各个角落的渗透，并“正在走向前台”，进而对

人类社会进步产生直接的推动作用.数学内容应当体现数学的这种文化特征，表现出数学的

力量.因此，教学内容除了以数学的概念、公式、法则、定义、定理等组成“骨架”以外，

还应当有数学的思维方法、寻求一般性模式的思想和追求简洁与形式完美的精神等作为它的

灵魂.为了使教学内容更加丰满、生动和有趣，从而对学生产生强有力的吸引，教学中应当

通过展示数学发展的历史、重要数学思想的产生背景和条件、数学发展与人类社会发展的相

互作用等，使学生了解数学与科技进步和社会发展之间的关系，了解数学科学的思想体系和

数学的文化价值，培养他们的理性精神，逐步形成正确的数学观.

（三）改进学习方式和教学方式，培养创新意识

数学学习应当是一种创造性的思维活动，只有通过独立思考，搞清了数学知识的来龙去

脉，数学知识才能变为学生自己的东西.打好基础，应有积极主动的学习方式作保证.因此,

形成积极主动、独立思考的学习方式，是学生数学学习的内在要求.这就要求我们组织好教

学内容的结构体系，按学生的数学学习规律、数学知识的发展规律进行教学，强调为学生创

造恰当的自主思维空间，而且还应当遵循认知规律，关注学生的个性差异，提倡多样化的学

习方式，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间，从而促使学生主动探究，培养学生的

创新意识和应用意识.

（四）注重信息技术的应用

信息技术是一种有效的认知工具，能够为学生进行自主探究提供强有力的平台，从而帮

助学生更好地理解数学本质.在教学中，使用信息技术应当贯彻“必要性”、“平衡性”、

“广泛性”、“实践性”、“实效性”等原则，应当根据学习内容需要选择恰当的信息技术

工具.当前要倡导使用科学型计算器，同时要大力提倡各种数学软件的使用.在适当的数学

内容中，利用信息技术可以呈现以往教材和其他教学手段难以呈现的内容.实现信息技术与

数学课程内容的有机整合，可以使学生更好地理解数学本质，主动地探索和研究数学.

第二部分高中数学新课程创新教学设计案例

1集合的概念和表示方法

教材分析

集合概念的基本理论，称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基础.一方面，许多重要

的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在

集合理论的基础上.另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应

用.在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集

合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸.首

先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后

介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子.本节的

重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法-----列举法与描

述法正确表示一些简单的集合.

教学目标

1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法.

2.初步了解“属于"关系的意义，理解集合中元素的性质.

3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化

归、表达和处理问题的能力.

任务分析

这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念.介绍集合的概

念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受.在引出概念时，从实例

入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念.集合的表示

方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握.

教学设计

一、问题情境

1.在初中，我们学过哪些集合？

2.在初中，我们用集合描述过什么？

学生讨论得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，”负数的集合”；在学习一元一次不等式

时，说它的所有解为不等式的解集.

在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点

的集合.

3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？

学生讨论得出：

“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”......

4.请写出“小于10”的所有自然数.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这些可以构成一个集合.

5.什么是集合？

二、建立模型

1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）

（1）某种指定的对象集在•起就成为一个集合，简称集.

（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素.

（3）集合中的元素与集合的关系：

a是集合A中的元素，称a属于集合A,记作a^A；

a不是集合A中的元素，称a不属于集合A,记作aA.

例：设8=｛1,2,3｝,贝IJ16B,4cB.

2.集合中的元素具备的性质

（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合

的元素也就确定了.如上例，给出集合B,4不是集合的元素是可以确定的.

（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的.

例：若集合A=｛a,b）,则a与b是不同的两个元素.

（3）无序性：集合中的元素无顺序.

例：集合｛1,2｝与集合｛2,1｝表示同一集合.

3.常用的数集及其记法

全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N.

非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；

全体整数的集合简称整数集，记作Z；

全体有理数的集合简称有理数集，记作Q;

全体实数的集合简称实数集，记作R.

4.集合的表示方法

［问题］

如何表示方程x2—3x+2=0的所有解？

(1)列举法

列举法是把集合中的元素一•列举出来的方法.

例：x2—3x+2=0的解集可表示为{1,2}.

(2)描述法

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

例：①X?—3x+2=0的解集可表示为{xIX2—3x+2=0).

②不等式x-3>2的解集可表示为{xIx-3>2}.

③Venn图法

例：x2—3x+2=0的解集可以表示为(1,2).

5.集合的分类

(1)有限集：含有有限个元素的集合.例如，A={1,2}.

(2)无限集：含有无限个元素的集合.例如，N.

(3)空集：不含任何元素的集合，记作..例如，{xIx2+l=0,xGR}=0.

注：对于无限集，不宜采用列举法.

［例题］

1.用适当的方法表示下列集合.

(1)由1,2,3这三个数字抽出•部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数.

(2)平面内到一个定点0的距离等于定长1(1>0)的所有点P.

(3)在平面a内，线段AB的垂直平分线.

(4)不等式2x-8V2的解集.

2.用不同的方法表示下列集合.

(1){2,4,6,8).

(2){xIx2+x-l=0}.

(3){xENI3<x<7］.

3.已知A={x^NI66—xEN).试用列举法表示集合A.

(A={0,3,5})

4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合.

［练习］

1.用适当的方法表示下列集合.

(1)构成英语单词mathematics(数字)的全体字母.

(2)在自然集内，小于1000的奇数构成的集合.

(3)矩形构成的集合.

2.用描述法表示下列集合.

(1){3,9,27,81,

,1357.

(2)'T'-'T'T'

四、拓展延伸

把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述.

(1){(x>y)Iy=x?+l,xGR).

(2){yIy=x2+l,xGR}.

(3){(x>y)Iy=x)+l,xGR}.

(4){xIy=x?+l,yGN,}.

点评

这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问

题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表

示方法.非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点.这样做，通俗易懂，使学生便于学习

和掌握.例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益.拓

展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概

念的理解和认识.

2集合之间的关系

教材分析

集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁

和工具.这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念,

再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况.这节内容

的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.

教学目标

1.通过对■子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生

的抽象、概括能力.

2.了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的

理解能力.

3.通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程,

培养学生的科学思维方法.

任务分析

这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的

基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊

到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接

受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集(两集合相等)两种情况，这可

以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系.

教学设计

一、问题情境

1.元素与集合之间的关系是什么？

元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时,它们的关系为xGA.若

一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为x©A.

2.集合有哪些表示方法？

列举法，描述法，Venn图法.

数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看

下面两个集合：A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}.它们之间有什么关系呢？

二、建立模型

1.引导学生分析讨论

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.

集合B中的元素4,5不是集合A中的元素.

2.与学生共同归纳，明晰子集的定义

对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集.

子集：对于两个集合A,B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集

合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A=B(或B2A),就说集合A是集合B的

子集.

用符号语言可表示为：如果任意元素xGA,都有xGB,那么A=B.

规定：空集是任何集合的子集，即对于任意•个集合A,有0=A.

3.提出问题，组织学生讨论

给出三个集合：A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},C={1,2,3).

(1)A是B的子集吗？B是A的子集吗？

(2)A是C的子集吗？C是A的子集吗？

4.教师给出真子集与两集合相等的定义

上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A,这时，我们

就说集合A是集合B的真子集;集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相同,

这时，我们就说集合A与集合C相等.

真子集：如果集合A是集合B的子集，即A=B,并且B中至少有一个元素不属于集合

A,那么集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BmA.

A窿B的Venn图为图2-1

两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即A=B,反过来，集

合B的每一个元素也都是集合A中的元素，即B=A,那么就说集合A等于集合B,记作A

=B

A=B的Venn图为图2-2

思考：设A,B是两个集合，A=B,ASB,A=B三者之间的关系是怎样的？

5,子集、真子集的有关性质

由子集、真子集的定义可推知：

(1)对于集合A,B,C,如果A=B,B=C,那么A=C.

(2)对于集合A,B,C,如果AB,B麋C,那么A些C.

(3)A=A.

(4)空集是任何非空集合的真子集.

三、解释应用

［例题］

1.用适当的符号(G,W,=,军，企)填空.

(1)3{1,2,3).

(2)5__________{5}.

(3)4{5}.

(4){a}