贵州省遵义市凤冈县第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月） 数学试题（含解析）

凤冈县第二中学2024至2025学年度第二学期高一数学学科第一次月考试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题，则命题的否定是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题直接可得其否定.【详解】由命题，则，故选：D.2.已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出扇形半径，再根据扇形面积公式即可代入求值.【详解】扇形的半径，所以扇形的面积为，故选：D.3.已知平面向量，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量性质.4.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理直接判断.【详解】由已知可知在R上单调递增，，，，，，所以，所以的零点所在区间为，故选：C.5.集合，则间的关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求解两个集合，再判断集合关系.详解】，得，则，，得，则，所以.故选：B6.新高考选科要求，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（）A.事件C与事件D互斥 B. C.事件A与事件B对立 D.【答案】C【解析】【分析】写出试验的样本空间，判断是古典概型，利用古典概型的概率公式计算概率可判断B、D，根据互斥和对立的定义可判断A、C.【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物，则样本空间，共有个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型对于A，事件，所以事件C与事件D不互斥，故A错误；对于B，因为，所以，则，故B错误；对于C，，，则，且，所以事件A与事件B对立，故C正确；对于D，，则，所以，故D错误；故选：C.7.已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质及对数函数的单调性，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.【详解】因为，所以，所以，由，得，即，因为不等式在上恒成立，所以，即可.由，得，即，所以的取值范围为.故选：A.8.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：注意到，，，从而有；因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，所以有，而，，所以有，故选Ａ．考点：１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题正确的有（）A.函数且过定点B.函数的定义域为，则的定义域为C.不等式的解集为或D.函数的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质可判断，对于B，由抽象函数的定义域求解方法可判断，对于C，分类讨论去掉绝对值符号，求解即可；对于D，由基本不等式等号成立的条件即可判断.【详解】对于A，由指数函数的图象与性质可知，时，，则图象过定点，故A正确；对于B，由函数的定义域为，得，则，所以，解得，即函数的定义域为，故B错误；对于C，由，得或，解得或，故C正确；对于D，因为，所以由基本不等式可得：，由，解得无解，则等号不成立，即函数的最小值不是，故D错误.故选：AC.10.某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表：场次123456小明得分30152333178小张得分22203110349则下列说法正确的是A.小明得分的极差小于小张得分的极差B.小明得分的中位数小于小张得分的中位数C.小明得分的平均数大于小张得分的平均数D.小明的成绩比小张的稳定【答案】BD【解析】【分析】根据极差,中位数与平均数的方法求解即可.【详解】对A,小明得分的极差为,小张得分的极差为.故A错误.对B,小明得分的中位数为.小张得分的中位数为.故B正确.对C,小明得分的平均数为.小张得分的平均数为.故C错误.对D,计算可得小明和小张平均分相等,但小明分数相对集中,更稳定,故D正确.【点睛】本题主要考查了数据中的极差,平均值与中位数的算法等.属于基础题型.11.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】当时，则由求得的值，进而根据各选项的要求逐项判断.【详解】由题意，代入，即，整理得，即，解得或，因为，所以，于是，故B正确.因为，所以，故A正确；，故C错误；，故D正确；故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______．【答案】【解析】【分析】利用共线向量定理，结合平面向量基本定理列式计算得解.【详解】向量，不共线，则不零向量，由与共线，得，即因此，解得，所以.故答案为：13.已知，求与向量方向相同的单位向量为__________.【答案】【解析】【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量.【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是.故答案为：14.设函数，若存在最小值，则的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，，当时，，又时，，存在最小值，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得：，；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，不等式无解；综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的存在最值求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是.（1）求及的值；（2）求的值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求解即可；（2）由诱导公式化简并结合（1）即可求解；【小问1详解】因为角的终边上一点的坐标是，由三角函数的定义可得，，.【小问2详解】原式.16.已知非空集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解；（2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围．【小问1详解】已知集合，.当时，，或，又，.【小问2详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，又，，所以，解得，当时，是Q的真子集；当时，也满足是Q的真子集，综上所述：实数的取值范围为.17.某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；（3）在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率.【答案】（1）8.3千元（2）9.7（3）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计平均数.（2）利用频率分布直方图求出第70百分位数.（3）首先要明确分层抽样确定各区间抽取家庭数，然后根据古典概型概率公式计算概率.【小问1详解】估计这100个家庭的旅游支出的平均值为：（千元）.【小问2详解】由频率分布直方图知，旅游支出在千元的频率为，在千元的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数，则，解得，所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7.【小问3详解】以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在千元内的概率为，千元内的概率为，则按分层抽样的方法抽取5个家庭，千元内抽取家庭数之比为,所以千元内抽取2个家庭,千元内抽取3个家庭,设旅游支出在千元的2个家庭记为，在千元的3个家庭记为从这5个家庭中抽取2个家庭的所有可能情况有：，共10种.至少有1个家庭旅游支出在千元内的情况有：共7种.所以至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率.18.如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.（1）用和表示；（2）设，求的值；（3）设，证明：.【答案】（1），（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量的加法运算并根据线段的比例关系可得结论；（2）由共线定理根据三点共线可得结果；（3）根据向量等式得出的表达式，再由二次函数性质可证明结论.【小问1详解】因为，，.【小问2详解】由（1）得，因为三点共线，所以，解得.【小问3详解】由（1）得，设，则又不共线，所以，即.由，得.因为函数在上单调递增，所以当时，，故.19.欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.（1）判断函数是不是倒函数，并说明理由；（2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由.【答案】（1）函数是倒函数，理由见解析（2）（3）有，【解析】【分析】（1）根据倒函数的定义