江西省宜春市宜丰县宜丰中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

2024-2025（下）高一年级第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案.【详解】由题意得，．故选：C．2.函数的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象及其值域即可得出结果.【详解】易知当时，函数取得最大值为3.故选：C3.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象横坐标缩短到原来的

倍，就是变为原来的2倍进行变换，即可得到答案．【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：.故选：D.4.一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解.【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为，因为，所以，由题有，解得，故选：B.5.在中，为边上的中线，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】如图，故选：C.6.已知，且三点共线，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，即若向量，则当时，有，即可求解.【详解】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：A.7.已知向量，满足，，与的夹角为，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个向量共线反向可求.【详解】因为与的夹角为，故，故，故选：D.8.设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，即，解得.故选：C【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.二、多选题（每小题6分，共18分）9.（多选）下列结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据向量线性运算的知识来求得正确答案.【详解】对于A：，故选项A不正确；对于B：，故选项B正确；对于C：，故选项C正确；对于D：，故选项D正确.故选：BCD10.下列各式正确是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据诱导公式逐个选项判断即可.【详解】根据诱导公式四，，A正确；对于B，，B正确；根据诱导公式五，，C错；根据诱导公式三，，D正确.故选：ABD11.如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（）A.设，，若，则B.设，，若，则C.设，则D.设，，若与的夹角为，则【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量平行的坐标表示可得B正确；由向量模长的定义可得C错误；由向量数量积的定义可得D正确.【详解】对于A，若，则，，故A错误；对于B，若，则，则，所以，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，，即，解得，所以，故D正确．故选：BD.【点睛】思路点睛：关于新定义题思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.三、填空题（每小题5分，共15分）12.的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得边长.【详解】在中，，，，，则，由正弦定理，即，解得，故答案为：.13.如图所示，在四边形中，，则___________.【答案】【解析】【分析】利用向量数量积的运算即可得解.【详解】因为在四边形中，，所以.故答案为：.14.已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解.【详解】等价于在上投影，如图1，在单位圆圆上任取两点、，则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小，作于点，设，取中点，有，则，，则，由，故；如图2，在单位圆圆上任取两点、，则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大，作于点，设，取中点，有，则，，则，由，故；综上所述，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题.四、解答题（77分）15.若角的终边经过点，求角的正弦值、余弦值以及正切值.【答案】.【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得，，.16.函数的部分图象如图：（1）求解析式；（2）写出函数在上的单调递减区间.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数的图象求出相关参数，即可得解析式；（2）由正弦型函数的性质求区间内的单调递减区间即可.【小问1详解】由题设，可得，且，所以，又，所以，且，可得，则；【小问2详解】在上，则上单调递减，所以，可得，所以在上的单调递减区间为.17.已知向量.（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.【小问1详解】由题意可得，，若向量与共线，可得，解得.【小问2详解】若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，即可得，解得且，即实数的取值范围为且18.已知的夹角为，，，，（1）若，求实数t的取值范围；（2）是否存在实数t，使得，若存在，求实数t.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由列式求得值；（2）利用共线向量定理列式求解即可.【小问1详解】，的夹角为，且，，.由，得，解得；【小问2详解】由，得，即，解得所以存在实数，使得.19.如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.（1）若，当k为何值时，与垂直？（2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求最小值.（3）若的最小值为1，求的值.【答案】（1）（2）2（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果；（2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算；（3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可.【小问1详解】因为，所以由余弦定理得，即，所以.若与垂直，则，所以，所以，解得，即时，与垂直；【小问2详解】因为为的重心，所以，又因为，所以，由于三点共线，所以存在实数使