高中数学全一册学案湘教版选修2-2

2017-2018学年高中数学全一册学案湘教版选修2-2

4.1.1问题探索一一求自由落体的瞬时速度

声预习导学J挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.理解并掌握平均速度的概念.

2.通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程.

［知识链接］

1.一物体的位移s与时间t满足函数关系s=F,则在时间段［1,2］内的平均速度丁=

_22-I2

答案，=n=3.

2.质点运动规律s=5+3,则在时间(3,3+中中，相应的平均速度等于

+d2+3-32-3,

答案~+d-3-6+d

［预习导引］

1.伽利略通过实验得到的自由落体的下落距离s和时间才有近似的函数关系，其关系是三

4.9?.

2.瞬时速度

(1)在友时刻的瞬时速度即指在时刻t»+d,当d趋于0时，时间段［航益+H内的平均速度.

(2)若物体的运动方程为s=f1),则物体在任意时刻t的瞬时速度”£)就是平均速度v(t,

cb=/」+”―/一—在d趋于o时的极限.

歹课堂讲义J重点难点，个个击破___________________________________________________________

要点一求平均速度

例1已知一物体做自由落体运动，运动的方程为4位移单位：m,时间单位：s),求：

(1)物体在力。到必+d这段时间内的平均速度

(2)物体在i=10s到1=10.1s这段时间内的平均速度.

解⑴s(1+6—s(。=(g(£o+42—城

=gUd+-gcf,

在备到必+d这段时间内，物体平均速度为

,12

gtod~\~书d］

*£o,d)=------------=gU+~^gd.

(2)由(1)知:to=10s,d=0.1s,

平均速度为10吐;gXO.1=10.05g(m/s).

规律方法物体的运动方程是s(t),则从r=G到的平均速度是K(r,也=

S方2—S3

tL、t\,

跟踪演练1已知物体运动方程为sC)=2"+2力(位移单位：m,时间单位：s),求：

(1)物体在运动前3s内的平均速度；

(2)物体在2s到3s内的平均速度.

解(1)物体在前3s内的位移为：

s—s24

s(3)-s(0)=2X32+2X3-0=24(m),故前3s内的平均速度为:------------=彳=

OO

8(m/s).

(2)物体在2s到3s内的位移为

s(3)-s(2)=24-(2X22+2X2)=12(m).

c—S

故物体在2s到3s这段时间内的平均速度为1——=-----=12(m/s).

0-幺

要点二求瞬时速度

例2已知一物体做自由落体运动，s=ggd(位移单位：时间单位：s,

^=9.8m/s2).

(1)计算1从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段时间内平均速度；

(2)求£=3s时的瞬时速度.

解⑴当方在区间［3,3.1］时，rf=3.1-3=0.l(s),

s(3.1)—s(3)=^X3.I2—^X32=2.989(m),

-s-s2,989

］=­=29.89(m/s).

V~d-0.1

同理,当方在区间［3,3.01］时，v2=29.449(m/s),

2

当2在区间［3,3.001］时，v3=29.4049(m/s).

(2)物体在［3,3+M上的平均速度是：

\g+d2-1^X3~

s+d-s

~d~~-------------?-------------=/g(6+4

当d-C时，上式表达式值为3g,即物体在3s时的瞬时速度为3g=29.4(m/s).

规律方法平均速度即位移增量与时间增量之比

ctd—st

:,-----,而瞬时速度为平均速度在40时的极限值，二者有本质区别.

d

跟踪演练2枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0X10,m/l,枪

弹从枪口中射出时所用的时间为1.6X103s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

解运动方程为5=1ar.

1,1

5at+d2一谈

v[t,d)----------------

d

1£

-ad-\~atd

d~\~Qt.

=d3=7/7d

当，趋于0时，^ad+at的极限为at.

a=5.OX105m/s2,t=l.6XIO-3s,

，枪弹射出枪口时的瞬时速度为5X1()5XL6X1()Tm/s,

即800m/s.

歹当堂检测/当堂训练，体验成功___________________________________________________________

1.一质点的运动方程是s=4—2乙则在时间段［1,1+M内相应的平均速度为

()

A.2d+4B.-2d+4

C.2d—4D.—2d—4

答案D

+d2-4+2X/4d+2t/

解析K(1,d)'d=~2d-4.

2.已知物体位移s与时间力的函数关系为$=『1).下列叙述正确的是()

A.在时间段［友，友+M内的平均速度即是在,时刻的瞬时速度

B.在力=1.1,fe=1.01,益=1.001,tI=1.0001,这四个时刻的速度都与1=1时刻的速

度相等

C.在时间段M—d,词与to+M(心0)内当，趋于。时，两时间段的平均速度相等

D.以上三种说法都不正确

答案C

解析两时间段的平均速度都是在加时刻的瞬时速度.

3.已知s=：g/,从3秒到3.1秒的平均速度与=.

答案3.05g

11,

_5g.3.12一歹3-

解析v=Q-]Q=3.05g

3.1—3

4.如果质点"的运动方程是s=25—2,则在时间段[2,2+M内的平均速度是.

答案8+24

解析“2,小==~2~~-.....=8+24

a

课堂小结

1.平均速度与瞬时速度的区别与联系

平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物

体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这

个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于。时的“飞跃”.

2.求瞬时速度的一般步骤

设物体运动方程为s=g则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：

fd—ft

(1)从t到t+d这段时间内的平均速度为“，其中Ht+4一f(e)称为位移

的增量；

⑵对上式化简，并令，趋于0,得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速

度.

h分层训练1解疑纠偏，训练检测___________________________________________________________

一、基础达标

1.设物体的运动方程S=f(»,在计算从1到1+d这段时间内的平均速度时，其中时间的

增量"()

A.d>0B.点0

C.d=0D.

4

答案D

2.一物体运动的方程是s=2巴则从2s到（2+协s这段时间内位移的增量为

()

A.8B.8+2d

C.8d+2(fD.4d+24

答案C

解析As=2(2+<y)’-2X22=8d+2d.

3.一物体的运动方程为s=3+*则在时间段［2,2.1］内相应的平均速度为()

A.4.11B.4.01C,4.0D.4.1

答案D

—3+2.12-3-22

解析V==4.1.

0.1

4.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间I之间的方程为

s=9,则t=2时，此木块水平方向的瞬时速度为（）

O

11

A.2B.1C.-D.-

答案c

-+At2--X22

△S88Z111、

解析

△t------获-----=尹於上廿「°)•

5.质点运动规律s=2/+l,则从t=l到t=l+d时间段内运动距离对时间的变化率为

答案4+24

+2+l-2Xl2-l

解析=4+2d

l+d-l

6.已知某个物体走过的路程s（单位：m）是时间t（单位：s）的函数：s=—「+1.

（1）t—2到t—2.1；

⑵t=2到t=2.01；

（3）t—2到t—2.001.

则三个时间段内的平均速度分别为,,，估计该物体在力=2时的

瞬时速度为.

答案一4.1m/s—4.01m/s—4.001m/s

—4m/s

7.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2s内完成刹车，其位移

（单位：m）关于时间（单位：s）的函数为：

s(t)=—3t3+?+20,求：

(1)开始刹车后is内的平均速度；

(2)刹车1s到2s之间的平均速度；

(3)刹车1s时的瞬时速度.

解(1)刹车后1s内平均速度

—s-s-3X13+12+-20

=—2(m/s).

(2)刹车后1s到2s内的平均速度为:

—S—S_____

匕=2^1

—3X23+2?+——3x1+12+

1

=-18(m/s).

(3)从方=1s至I」1=(l+由s内平均速度为：

—s+d—s_____

八=万

一+d4+d2+20-TXl+R

=d

=-ld-8?Td=30)

a

即t=ls时的瞬时速度为一7m/s.

二、能力提升

8.质点材的运动方程为s=2—-2,则在时间段[2,2+△打内的平均速度为()

A.8+2△tB.4+2At

C.7+2AtD.-8+2At

答案A

.△S+△[2_2_2一

斛析=8+2△t.

9.自由落体运动的物体下降的距离力和时间力的关系式为则从t=0至Ur=l时间

段内的平均速度为,在t=l到t=l+△力时间段内的平均速度为________,在t=

1时刻的瞬时速度为.

答案5gg+^gAtg

6

I^xi2-^xo2

解析-----匚不----=]g

消+At2

—二吟gAt.

当AL0时，Q由△tfg.

10.自由落体运动的物体下降距离方和时间t的关系式为力=上^2,1=2时的瞬时速度为19.6,

则g=•

答案9.8

1,21c2

5g+△t---^X2]

解析----------t-------书&t.

当At-0时，2g+*Atf2g.

.*.2^=19.6,g=9.8.

11.求函数s=2/+力在区间⑵2+d]内的平均速度.

解,/As=2(2+d)2+(2+^-(2X22+2)=9d+2d,

△s

平均速度为=7=9+2d

a

12.甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②

所示.问：

(D甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？

(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设As为s的增量)？

①②

解(1)由题图①在(0,“时间段内，甲、乙跑过的路程S，P〈SS故有?〈年即在任一时间段

(0,句内，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快.

(2)由题图②知，在终点附近"一，力)时间段内，路程增量As乙》As%所以当然为即

aa

快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快.

三、探究与创新

13.质量为10kg的物体按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物

体的动能.

s—s

解

△t

t+2++4—2+4+

=3At+25,

△t

当At-0时，3A25-25.

即4秒时刻的瞬时速度为25.

.•.物质的动能为*/=310X252=3125(J)

4.1.2问题探索——求作抛物线的切线

h预习导学挑战自我，点点落实

［学习目标］

理解并掌握如何求抛物线的切线.

［知识链接］

1.设函数尸/Kx),当自变量x由加改变到x0+d时，函数的改变量为.

答案/■(*。+中一/Xx。)

2.函数在％=1处的切线斜率k=.

Ay+△x-—1"

答案—―——L=2+△L2(AL0).

Ax△x

［预习导引］

求曲线上点一处切线斜率的方法

设P(u,/Xu))是函数y=f(x)的曲线上的任一点，则求点。处切线斜率的方法是：

⑴在曲线上取不同于一的点0(u+d,/'(〃+中)，计算直线制的斜率k(u,d)=

fu+d—fu

d•

(2)在所求得的闾的斜率的表达式Hu,近中，让d趋于0,如果k(u,d)趋于确定的数值k⑺,

则以就是曲线在。处的切线斜率.

尹课堂讲义i重点难点，个个击破___________________________________________________________

要点一有关曲线的割线斜率的探索

8

例1点尸(3,9)为抛物线尸f上的一点，4(1,1),4(2,4),4(4,16),4(5,25)为抛物线

上另外四点.

⑴分别求割线9，PAz,PA„必$的斜率；

(2)若用刖，烯为曲线上异于〃的动点，当4逐渐向P趋近时，说明割线斜率的变化情

况.

1—94—9

解(1)*勺===4,*啊===5,

16-925-916

"啊=口"=7,4飞=缶=^=万=8.

⑵当力沿曲线趋近于2点时，施的值趋近于3,不妨设刖=3+"(40),当x°f3时，d/0,

2__9

则kpA—T=AO+3=(3+#+3=6+4

xo—3

当“一0时，56,表明随力点无限趋近于R割线用的斜率无限趋近于6.

规律方法割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程，也是d趋于0的过程，这一过程实

现了从割线到切线质的飞跃.

跟踪演练1已知点/(小，yi),B〈xz,㈤为函数曲线上两不同点.

(1)当小=1,及=2时，求七招

(2)求当汨=照，怒=xo+d时，力、占两点连线斜率左小

q,/、fx-i-fx\23—I3

解(1)岫=—*77~=7・

X2~Xi2—1

/c\zfX2-fX\

k=：

(2)Ali---------X-L--X--\------

照+dB—总

3x：d+3施4+/

d

=3x：+3xod+d.

要点二有关切线方程的探索

例2已知曲线方程为y=f(x)=f+2x,求曲线在点〃(1,3)处的切线方程.

解/、(照+d)-/、(照)=F(1+中一F(l)

=(l+^3+2(l+^-(l3+2Xl)

=3d+3/+/+2d

=5d+3/+/

则雇1,劣=网土"=5+3什/

d

当仆0时，XI)=5,

则切线方程为厂-3=5(x-l)即5x-y-2=0.

规律方法求曲线上点(用，㈤处切线方程的步骤：

(1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程.

跟踪演练2求y=F(x)=/-1在x=l处的切线斜率及切线方程.

解f(x«+d)—f(xo)=f(l+"-f(l)=(1+而2—1—(f—1)=4+2d,

(f+2d,、

j=d+2f2，

d

即在x=l处切线斜率为2.

；/W=0,

.••切线方程为y=2(x—1),

即2x—y—2=0.

要点三求切点坐标

例3在曲线了=4步上求一点尸使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件：

(1)平行于直线/=犬+1;

⑵垂直于直线2x—16y+1=0；

(3)倾斜角为135°.

解设/10=4x2且P点坐标为(u,〃力).在曲线上取另一点Hu+4)，计算直线

国的斜率

,..fu+d—fu

k{u,d)=--------------------------

在所求得的斜率表达式中让d趋于0,表达式趋于8u,所以。点处切线斜率为8u.

(1)因为切线与直线y=x+l平行，所以8u=l.

1.,1

即七*'

⑵因为切线与直线2x-16y+l=0垂直，

2

所以8〃・(一一7T)=-1,

-16

•J=-1.

o

.・・〃=—1,F(u)=4,即P(—1,4).

(3)因为切线倾斜角为135°,所以8u=tan135°=-1,

10

11

-/力

^7=

U=­0\

16

即*于m

规律方法解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜率与之密切相关.同时应注

意解析几何知识的应用，特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识.

跟踪演练3在抛物线上求一点只使点尸到直线5的距离最小.

解设一点坐标为(“，人力)，在抛物线上另取一点0(u+d,f(u+中).

直线产。的斜率

fu+d-fu

k(u,d)—

d

u+d2

'=2u+d,

在所求得的斜率表达式中让d趋于0,表达式趋于2u,

所求过户点处切线斜率为2u,当过。点的切线与直线y=4x—5平行时，一点到直线尸4%一

5的距离最小,

所以2u=4,u—2.

・"点在抛物线了=/上，••.f(u)=4,

二所求于点坐标为⑵4).

r当堂检测J当堂训练，体验成功

i.一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周4处时()

A.运动方向指向圆心。

B.运动方向所在直线与力垂直

C.速度与在圆周其他点处相同

D.不确定

答案B

2.若已知函数Ax)=2/-1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1+41+△_/),则学等于

d

()

A.1B.2+dC.4+2dD.4+d

答案C

△y+d"-1—

解析+=------------[-----------=4+2d

da

3.过曲线尸2'上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为

答案1

解析由平均变化率的几何意义知，衣=m=L

4.已知函数f(x)=-/+万的图象上一点(一1,—2)及邻近一点(-1+4-2+Ay),则：

a

解析△y=F(—1+中——1)

=一(-1+近2+(-1+初一(-2)

=—4+34

.Ay一7+34

・・~;=~d-v6.

da

答案一d+3

课堂小结

1.求曲线尸f(x)上一点(照,㈤处切线斜率的步骤

(1)作差求函数值增量Xy,即/"(而+"一〃刘).

(2)化简用M与d表示化简结果.

d

(3)令公0,求，的极限即所求切线的斜率.

2.过某点的曲线的切线方程

要正确区分曲线“在点(〃，，)处的切线方程”和“过点2,力的切线方程”.前者以点(小

。为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点.

3.曲线的割线与切线的区别与联系

曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间

升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实

现了由割线向切线质的飞跃.

#分层训练J解疑纠偏，训练检测___________________________________________________________

一、基础达标

1.已知曲线了=2£上一点4(1,2),则/处的切线斜率等于()

A.2B.4

C.6+6d+2dD.6

答案B

12

2.已知曲线2上的一点〃(1,-|),则过点尸的切线的倾斜角为()

A.30°B.45°

C.135°D.165°

答案B

3.如果曲线尸2V+x+iO的一条切线与直线尸5x+3平行，则切点坐标为

()

A.(-1,-8)B.(1,13)

C.(1,12)或(-1,8)D.(1,7)或(-1,-1)

答案B

4.曲线/二次刍在点尸(3,1)处的切线斜率为()

11

A.—~B.0C.D.1

答案C

解析+A.-V-2-VE2

△X

“△x+1-l1

当△%-*0时，/1——

[Ax+1+l2

5.若曲线y=f+l在曲线上某点处的斜率为2,则曲线上该切点的坐标为,

答案(1,2)

6.曲线y=f+2在点尸(1,3)处的切线方程为.

答案2A~7+1=0

当ALO时，Ax+2-2.

所以曲线y=x+2在点A1,3)处的切线斜率为2,其方程为了-3=2(>-1).

即为2x—y+l=O.

7.抛物线尸产在点月处的切线与直线2x—y+4=o平行,求点尸的坐标及切线方程.

解设点P(刘，珀，

f照+d-fXo施+d’—武

,——d\2Ab,

ad

0时，d+2x()f2照.

抛物线在点〃处的切线的斜率为2的，

由于切线平行于2x—y+4=0,・・.2照=2,照=1,

即一点坐标为（1,1）,

切线方程为y—1=2（*—1）,即为2x—y—1=0.

二、能力提升

8.曲线了=一：在点（1,一1）处的切线方程为（）

A.y=x~2B.y=x

C.y=x+2D.y=­x—2

答案A

------1----——1—1—1

Ax+11Ax+11

解析

△x△xAx+1

当“一0时，77+7-1.

曲线尸—：在点（1,—1）处的切线的斜率为1,切线方程为y+l=lX（x—1）,即y=x-2.

9.曲线/"（x）=x2+3x在点4（2,10）处的切线的斜率为.

答案7

+△x2++Ax-'+

当Ax-0时.，△x+7-7,

所以，/Xx）在/处的切线的斜率为7.

10.曲线/'（x）=f+3x在点力处的切线的斜率为7,则/点坐标为—

答案（2,10）

解析设｛点坐标为（新，必+3照）,

„.f%o+△X—fXQ

则--------------------

照+△x'+施+△x——+3十

卜X

=△矛+（2册+3）,

当Ax-＞。时，Ax+（2施+3）f2照+3,

，2弱+3=7,・・・施=2.

/+3照=10./点坐标为（2,10）.

11.已知抛物线尸V+i,求过点以0,0）的曲线的切线方程.

解设抛物线过点〃的切线的切点为。（照，/+1）.

14

XQ+△X2+1—■+

则.—△X+2XQ.

bx

△xf0时，△x+2x°f2xo.

.总+1—0

=2施,・•.施=1或照=—1.

Ab—0

即切点为（1,2）或（一1,2）.

所以，过AO,0）的切线方程为y=2x或y=-2x.即2x一尸=0或2%+尸0.

三、探究与创新

12.直线/：y=x+a（aW0）和曲线Gy=f-/+］相切，求切点的坐标及8的值.

解设切点力（即，㈤，

Ab+dAb+d"+1-Ab-总+

d

3总d+3的d(f—2x()d-(f

d

=3右—2照+(3选—1)d+/f3/一2照(d~*0).

故曲线上点A处切线斜率为3/-2照，・・・3'一2胸=1,

.,.Ab=l或Xo=—代入。的方程得

o

1

照=1,为=一不

或代入直线7,

Jb=123

|/。=近

1

施=1,32

当时，a=0（舍去）,当《时，a=—,

乂）=123

即切点坐标为（一；，a=||.

力乙/乙/

4.1.3导数的概念和几何意义

，预习导学J挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点上的导数的方法.

2.理解导数的几何意义.

［知识链接］

曲线y=F（x）在点P（x。,以施））的切线与导数的关系.

答函数/Xx）在点刖处有导数，则在该点处函数/"（X）的曲线必有切线，且导数值是该切线

的斜率；但函数Hx）的曲线在点X。处有切线，而函数f（x）在该点处不一定可导，如f{x）=,

在x=0处有切线，但它不可导.即若曲线y=f（x）在点。（粉f（刘））处的导数f（扬）不存

在，但有切线，则切线与x轴垂直.若产（施）存在，且F（旗）＞0,则切线与x轴正向夹角

为锐角；f'UXO,切线与x轴正向夹角为钝角；f（的）=0,切线与x轴平行.

［预习导引］

1.函数在自变量的某个区间上的平均变化率

函数Ax）在x=〃处步长为d的差分为f（〃+中一代力，差商为/”+♦”一♦U，它表示

函数在自变量的某个区间上的平均变化率,它反映了自变量在某个范围内变化时，函数值变

化的总体的快慢.

2.导数的概念

设函数f（x）在包含刖的某个区间上有定义，如果比值/刘+”丁刘在d趋于0时（小0）

趋于确定的极限值,则称此极限值为函数/'（王）在入=而处的导数或微通，记作f（加,上述

定义可简述为/照+d_/x。__y（荀）（.0）,

d

当刘是f（x）的定义区间中的任意一点，所以也可以就是X,而f（x）也是X的函数，叫作

/Xx）的导函数或一阶导数.

limfx+d_fx

有时也可记作f(%)=df()~d

3.导数的几何意义

函数Hx）在照处的导数（围）的几何意义是曲线Mx）在点（照，Hx。））处的切线的斜率.

声课堂讲义J重点难点，个个击破

要点一导数的概念

例1设函数/"（x）（xeR）可导，则当d趋于0时，~乜F——趋于（）

3（7

A.f（1）B.3r（1）C.（1）D.f（3）

o

答案c

解析原式「——，当d趋于OB寸，f+"»―,'——趋于F（l）.

oda

16

故原式趋于(1),故选c.

规律方法在利用导数定义求函数在某点处导数值时，往往采用凑项的方法凑成定义的形式

再解决.

跟踪演练1已知/'(x)在XGR时处处可导，若F(1)=1,则M0时，工~——

a

的值为()

A.1B.2C.f(2)D.f(1)

答案B

耍点二求函数某一点处的导数

例2已知f{x)求f(1).

X

1___

1+d1—-d—1

AZ,f+d

解--------T~~d-+drf=T+?

-1

由于…。时;故f(1)=-1.

1-ra

规律方法差分式化成分子和分母极限都在的情形(但分母极限不能为0),如果分母极限为

0,则从分母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去，便可得出正确结论.

跟踪演练2己知f(x)=F(x>0),求F(1).

f+d_fW+d-1________d1

dddyjl+d+'yjl+d+1'

当公。时'/瓦rT故F⑴+

要点三求函数的导函数

4

例3求函数“*)="7的导函数/(x),并求/(2).

X

44

fx+d-fx______x+d-I_4dx+d_—x+d

dd殳x+d2/x+d

d

x+d

当公0时,

x+d

o

即/(x)=--3.：.f'(2)=-l.

x

规律方法求某一点刘处的导数值一(加)，可先求出导函数F(*),再赋值求解£(刘).

跟踪演练3求函数4)=出的导函数/(x)及尸(1).

-7~x+d—~~X

x-\~ax

=d

—d,

xx+d1

d1xx+d'

当d-*0时，1--------1—3,

xx+dx

:(x)=l-:・f(1)=1—p=0.

要点四利用导数求切线方程

例4已知曲线Gy=x,

⑴求曲线C在点(1,1)处的切线方程，

⑵求过点(1,0)且与曲线。相切的直线的方程.

,、fx+d-fxx+d=殳八

解⑴--------7------------=---------7--------=2才+d.

aa

当d-0时，2x+M2x,

：.f(x)=2x,f(1)=2,

・・・曲线尸?在(i,i)处的切线方程为

p—l=2(x—1),即2x—y—1=0.

(2)点(1,0)不在曲线上.

设过点(1,0)与曲线C相切的直线其切点为(照，者)，

则切点处的斜率为2照.切线方程为y—/=2照(王一照)(*)

又因为此切线过点(1,0).

*'•-Ao=2Ab(1—Ab)>解得旗=0或即=2,

代入(*)式得过点(1,0)与曲线c：p=V相切的直线方程为尸：0或4x—y—4=0.

规律方法本题主要考查了导数的几何意义以及直线方程的知识，若求某点处的切线方程，

此点即为切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，不论点是否在曲线上，均需设出

切点.

9

跟踪演练4求曲线f(x)=-在点(-2,—1)处的切线的方程.

x

9

解由于点(一2,—1)恰好在曲线/'(x)=-上，

x

18

2

所以曲线在点(一2,—1)处的切线的斜率就等于函数/*(x)=］在点(-2,—1)处的导数.

2

lim-2+产limii

=""d—=""-2+-=~29

故曲线在点(一2,—1)处的切线方程为y+l=-](x+2),

整理得x+2y+4=0.

歹当堂检测I当堂训练，体验成功___________________________________________________________

1.f(x)在x=x。处可导,则融//'"()

A.与施、方都有关

B.仅与及有关，而与//无关

C.仅与人有关，而与的无关

D.与施、均无关

答案B

2.若/'(xo)一『(加一"=2扬"+(/,下列选项正确的是()

A.f(x)=2B.f(x)=2x°

C.f'(屈)=2加D.f(x°)=d+2的

答案C

3.己知函数『/"(x)图象如图,则/(必)与f(弱)的大小关系是()

A.f(xi)>f(xtf)

B.f(x^<f(x)

C.f3=f(XB)

D.不能确定

答案A

4.在曲线Ax)=f+x上取一点P(l,2),则在区间［1,1+M上的平均变化率为—

在点以1,2)处的导数f(1)=.

答案3+d3

课堂小结

1.求导数的步骤主要有三步:

(1)求函数值的增量：△旷=汽加+中一”和)；

Ayf-+d-f蜀

⑵求平均变化率:

lim△Y

⑶取极限:f(加)=，…w

2.导数的几何意义

(D对于函数y=f(x)在X。处的导数是表示在的处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为

在*=加处的切线的斜率.

(2)/(x)是指随x变化，过曲线上的点(x,/"(X))的切线斜率与自变量x之间的函数.

h分层训练1解疑纠偏，训练检测__________________________________________________

一、基础达标

1.设f(选)=0,则曲线y=f(x)在点(施，F(x。))处的切线()

A.不存在B.与x轴平行或重合

C.与x轴垂直D.与x轴斜交

答案B

2.己知函数尸f(x)的图象如图，则£(的)与F(X,)的大小关系是()

XBXAX

(^)>/(a)B.f(x〃)

C.f(Xl)=f(xjD.不能确定

答案B

解析分别作出/、8两点的切线，由题图可知即，(炀＞£(也).

3.已知曲线了=2/上一点加2,8),则在点4处的切线斜率为()

A.4B.16C.8D.2

解析在点｛处的切线的斜率即为曲线y=2f在x=2时的导数，由导数定义可求V=4x,

：.f(2)=8.

答案C

4.已知函数/Xx)在x=l处的导数为3,则/'(x)的解析式可能为()

A.f(x)=(x—l)'+3(x—1)

B.f(x)=2(x—1)

C.Ax)=2(x-1)2

20

D.f{x)=x~1

答案A

解析分别求四个选项的导函数分别为，(x)=2(x-l)+3；f(x)=2；f(入)=45—1)；

f(x)=L

5.抛物线尸f+x+2上点(1,4)处的切线的斜率是,该切线方程为..

答案33LF+1=0

解析△/=(1+由'+(1+功+2—(1'+1+2)=3d+d,故y'L=i=lijjo-

lrfi-*mO(3+1=3.

・・・切线的方程为y-4=3(x-l),

即3x—y+1=0.

6.若曲线尸步一1的一条切线平行于直线p=4x—3,则这条切线方程为.

答案4x—y—5=0

2

,/、limyx+d-fxlimx+d-l-

解析t(x)=d>>'-----------------=d*0----------------------

lin12xd+dlim,k

=d>0---;—=d>0(2x+a)=2x.

d

设切点坐标为(旗，㈤，则由题意知/(照)=4,即2照=4,・，.照=2,代入曲线方程得为=3,

故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y-3=4(x—2),即4%-y-5=0.

7.求曲线在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

limf+d—f

解・・"，(3)=八。--_--

lim+，3-3：ilim*,、

=d------------=d,(/+9