高中数学竞赛训练题集大全

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高中数学竞赛训练题一选择题

Y

1.当0<x<l时，f（x）=—,则下列大小关系正确的是（）

lgX

A.f2(x)<f(x2)<f(x)B.f(x2)<f2(x)<f(x)

C./(x)</(x2)</2(x)D./(x2)</(x)</2(x)

2.设/(x)在[0,1]上有定义,要使函数/(x—a)+/(x+a)有定义，则a的取值范围

为()

A.(-00,-^-)；B.C.(1,+00);D.(-00,-^-]u[^,+<»)

222222

3.已知P为三角形ABC内部任一点(不包括边界)，且满足

(PB-PA)(PB+PA-2PC)=0,则4ABC一定为()

A.直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形

4.已知/(力=》2+(/+〃一]卜+〃+2时—/?2是偶函数，则函数图象与),轴交点

的纵坐标的最大值是()

A.41B.2C.25/2D.4

5,已知函数/。)=/一4%+3,集合M={(x,y)|/(x)+/(y)40},集合

N={(x,y)|/(x)-/(y)>0}，则在平面直角坐标系内集合MDN所表示的区域的

面积是()

717tc

A.—B.—C.7TD.2兀

42

6.函数=G。+，12-3x的值域为()

A.[1,B.[1,司C.1,1D.[1,2]

7.设/(X)有反函数广lx),将y=/(2x-3)的图象向左平移2个单位，再关于X轴对

称后所得函数的反函数是()

A._/-'(-x)-lB._l-/-'(-x)C._l-r'WD.,

,v=-2—y=-vj—)'=——>=~2-

八包——cos4x+sin4x+sin2xcos2x电4/、

8.化简二角有理式------------------;.....-的值A为L()

sinx+cosx+2sin尤cosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

9.设£力为两个相互垂直的单位向量。已知丽=£,OQ=b,OR=rZ+k石.若△PQR

为等边三角形，则k,r的取值为（）

,-1+V3,1±V31±V3

A.k=r=----------B.k=--------,r=--------

222

,1±百,—1+>/3-1±G

C.k=r=--------D.k=------,r=-------

222

10.设｛a,｝,也｝分别为等差数列与等比数列，且％=4=4,%=仇=1，则以下结论

正确的是()

A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6

11.若则(1+2X>5的二项式展开式中系数最大的项为()

A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项

12.设/(x)=cos[a=/(log.-),b=/(log,-),c=/(log,-^),则下述关系式正

确的是()o

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

13.已知一1VC+/V3,且2Va一夕V4,则加+34的范围是()

,1317、c,711、八/713、r/913、

A.(——,—)B.(一一,—)C.(一一,—)D.(一一,—)

22222222

14.若函数y=log//一以+i)有最小值，则。的取值范围是().

A0<rz<lB0<Q<2,Cl<a<2Da>2

2,2

15.已知瓦。人=1,则9----的最小值是().

a-b

A2V2BV2C2D1

16.已知cosx+cosy=1,则sin龙一siny的取值范围是().

A[-1,1]B[-2,2]C[0,V3]D[-6

17.函数/(x)是(0,+o。)上的单调递增函数，当“eN*时，/(〃)eN*,且

/[/(«)]=3〃，则/(I)的值等于().A1B2C3D4

18.设集合用={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射了:MfN使得对任意的xeM,都

有x+f(x)+xf(x}是奇数，则这样的映射/的个数是

()

(A)45(B)27(C)15(D)11

19.设函数/(x)=lnx,g(x)=ax+2,它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则

x

当X>1时，/(X)与g(x)的大小关系是()

(A)/(X)>.?(x)(B)f(x)<g(x)(C)/(x)=g(x)(D)/(X)与g(x)的大小不

定

20.已知正方体ABCD—ABGD1,过顶点Ai在空间作直线/,使直线/与直线AC和BJ

所成的角都等于60。，这样的直线/可以作()

(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条

21.从1至169的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法

有()

A.89种B.90种C.91种D.92种

22.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的

两个

多面体的内切球的半径之比是一个最简分数丑，那么积，〃•〃等于()

n

A.3B.4C.6D.12

23.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形

所占的比为()

24.把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有()种.

A4B6C8D16

25.(4+5产田的小数表示中，小数点后至少连续有()

(A)2〃+1个零(B)2〃+2个零(C)2〃+3个零(D)2〃+4个零

26.设AB是椭圆Ca>b>0)的长轴，若把AB100等分，过每个分点作

AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、％、…、P99,F1为椭圆的左焦点，则

闺H+E片|+闺闱+…+闺&|+闺目的值是()

(A)98a(B)99a(C)10(h(D)101a

高中数学竞赛训练题一选择题答案

2/\2

1.解：当0<x<l时，/(%)=—<0,/C?)=二<0,f2(x)=\—>0。

lg-v1g厂[IgxJ

又因为竟一号所以小)＜小2)＜尸⑺。选j

2解：函数/(x—a)+/(x+a)的定义域为[a,l+a]n[-a,l-a]o当。20时，应有

Q,即—；当时，应有—a41+。，即QN—°因此，选B。

22

3解：因为而-序=在，而+而-2定=丽+瓦，所以已知条件可改写为

AB(CB+C4)=0o容易得到此三角形为等腰三角形。因此选Do

2

4解：由已知条件可知，/+1=o,函数图象与y轴交点的纵坐标为4+2ab-ho

☆a=cosa/?=sin。，则

。2+2。〃一〃=cos2e+2sinecose-sin2e=cos2e+sin2e<®。因此选A。

5.C提示：由已知可得游{(昌力|fG)+f("＜0}二

{(石力|(尸2)2+(厂2)2W2},居{(用力|f(⑼—f(力＞0)

={U,Z)I(尸力(广广4)20}.

则“仅平4+吐2)*2,

(x-y)(x+y-4)＞0

作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半,

即为」万(&)2=万，故应选C.

2

6.0.解：/(x)的定义域为3Wx<4,则OWx-341,令x—3=sii?a

则

/(X)-Jx-3+j3(4-x)

=sin6+J3(l-sin?=sin6+6cos8=2sin(6+g)

TTTT57r17TTT

因二4二，贝!I-<sin(^+-)<l,l<2sin(0+-)<2

336233

7.A解：设y=/(2x-3)上有点(%、，左移2(%-2,y())关于x轴对称

A-------------►

(%-2,-%)取反函数

.-y=x[x=y+2,

(一汽,/一2),n=n代入y=/(2x—3)得

%

区-2=yIy0=-

-x=/(2y+l)=>

2y+]=/T(_x)ny=/T(；)_l,

8.解答为Ao分母二(sin?x+co/xXsin"x4-cos4x-sin2xcos2x)+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2x也可以用特殊值法

9.解答.c.|PQ|=|Q?|=|PM，

即JY+Q_I）2=J（r_］）2+r=&,解得r=k=今叵。

10.解答：A.

3/?

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由q=4=4,%=d=1,得d=T,q=^

得q=3也=2蚯吗=22在%=。也—；％=-】也=彳.

9Q32

口.解答：D.“针,由刀"川，心"」片「若，曰。，第口项最大。

Y7T

伍解密D。函数/⑴”若为偶函数，在（0,-）上，〃X）=8SX为减函数,

而k）geL=_log,万,log.L=———,log］4=2log,乃，

71elog,n-n~

]<log,n<2log,乃<£

所以匕＞a＞c。

5log(,7i554

13解：由待定系数法或线性规划可得。

14答案：C.解：当0＜。＜1时，y=log”x是递减函数，由于f=》2—ox+1没有最

大值，所以y=log“（x2-ov+1）没有最小值；当”＞1时，丁=108”（》2一奴+1）有最

小值等价于—办+1有大于o的最小值.这等价于△=〃—4＜0,因此1＜。＜2.

222

15答案：A.解：记a—6=♦,贝卜>0,a+b=^—^=t+->242,(当且仅

a-htt

当，=夜，即。=近上但，6=正史时取等号).故选A.

22

产一]

16答案：D.解：设sin九一sin>=1,易得cosxcosy-sinxsiny=—^―,即

/—1产_1

cos(x+y)=2.由于-lWcos(x+y)Wl,所以-14-^—41,解得

—y/?>4fV5/3.

17答案：B解：（用排除法）令〃=1,则得.丹/（1）］=3.

若/⑴=1,则/"⑴]=,/"⑴=3,与/(1)=1矛盾;

若/(1)=3,则/[/(1)]=/(3)=3,与"/(x)在(0,+8)上单调递增”矛盾

若/⑴=4,贝！⑴]=/(4)=3,也与"/*)在(0,+8)上单调递增"矛盾.故选

B.

18.A提示：当x=—2时，》+“幻+才⑴=一？一〃一2)为奇数，则/(一2)可取1、

3、5,有3种取法；当x=0时，x+/(x)+4(x)=/(。)为奇数，则/(0)可取1、3、

5,有3种取法；当x=l时，x+/(x)+4Xx)=l+2/(l)为奇数，则了⑴可取1、2、

3、4、5,有5种取法。由乘法原理知共有3x3x5=45个映射

19B提示：/(X)与g(x)的图象在X轴上有公共点(1,0),⑴=0,即。+。=0.

1b

Vf\x)=—,g(x)=a——-,由题意

XX

f(1)=g(1)=1,即。一〃=1,，。

令尸(x)=/(x)-g(x)=lnx-(之龙一，-),则

22x

：.E(x)在其定义域内单调递减.由；/(1)=0,...当x>l时，F(x)<0,即

/(X)<g(x).

20.B提示：易知异面直线AC与BCi所成的角为60。，因此，本题等价于：已知直线4

与b所成的角为60°,则过空间一点P且与。、b所成的角都是60°的直线有且仅有多

少条？这不难可判断有3条。

21解：若取出的3个数构成递增等比数列a,aq,aq2,则有1<a<aq<<骁9。

由此有2WqK13。当q固定时，使三个数相为整数的。的个数记作N(q)。

169

由aq2<169知N(q)应是的整数部分。NQ)==42,

q1

/V(3)=—=18,N(4)=10N⑸=6N(6)=4N⑺=3N(8)=2

N(9)=2N(10)=N(ll)=N(12)=N(13)=l.因此，取法共有

N⑴+N⑵+…+N(13)=9Io

m2

22.C提示：利用等体积法，可以求出一二—,所以机•〃等于6・

n3

23.D提示：任选4点，共有C1=210个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5

组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，

去除矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为年.

24答案：C.解：设V-：/=2008,即(x+y)(x—y)=2008.2008有8个正因数，

分别为1,2,4,8,251,502,1004,2008.而且(X+y)与(X-丁)只能同为偶数，

因此对应的方程组为

x+y=-2-4-502-1004245021004

-1004-502-4-2100450242

故(x,y)共有8组不同的值：(503,501),(-503,-501),(-503,501),(503,-501)；

(253,249),(-253,-249),(-253,249),(253,-249).

25.A提示：由二项式定理知易证[(4+5严+|一(宿—5产力wZ,因此

(V26+5)2"与(历一5尸田的小数部分完全相同。

v0<V26-5<—<—,A0<(V26-5)2,,+I<(—)2,1+1,即(4-5)2,1+1的

V26+51010

小数表示中小数点后面至少接连有2〃+1个零，因此，(，记+5-用的小数表示中，

小数点后至少连续有2〃+1个零。

26.D提示:(方法一)由椭圆的定义知归制+怩制=2“(i=l,2,…,99),

99

Z(闺用+忸2用)=2aX99=1982由题意知匕,鸟,…,取关于一丫轴成对称分布，

/=!

99199

N(闺用)=总(阳用+怩用)=99a又•.•田A|+忻@=2a,故所求的值为

/=!2/=1

101a.

(方法二)闺A|+闺用+闺闱+…+闺％|+阳同

=(a+exA)+(a+ex])H---F(a+exg.))+(a+exB)

=10\a+e(xA+xx+x2••-+x99+xB)=101a(A,耳，鸟，…,3,B关于y轴成对称分

布)

数学竞赛训练题一

一.选择题(每小题6分，共36分)

1.如果x>0,y>0,log、.y+logvX=3,孙=144,那么x+y的值是()

3

A.20GR268C.24百DIO百

2.设函数/(幻=。加(4>0且。H1),f(-2)=9,则()

A./(-2)>f(-1)B./(-1)>f(-2)

C.f(1)>f(2)D,f(-2)>f(2)

3.已知二次函数f(x)满足/(1-%)=/(I+x),-4</(I)<-1,-1</(2)<5,则

/(3)的取值范围是(

28,9/25

A.7</(3)<26B.-4</(3)<15C.-1</(3)<32D.一_—/(3)<—

—2―■1—■

4.如图1,设P为△ABC内一点，且AP=-AB+-AC,

55

则△ABP的面积与△ABC的面积之比为()

5.设在xoy平面上，OvyWJ,OWxWl所围成图形的面积为:，则集合

M={(x,y)ll川Tx区l},N={(x,y)l32x2+[}的交集"cN所表示图形的面

积是()

A.-B.gC.1D.4

333

2006

6.方程«+2007的正整数解(x,y)的组数是()

A.1组B.2组C.4组D.8组

二.填空题(每小题9分，共54分)

7.函数/(x)=log,(x2-5x+6)的单调递增区间为.

3

8.已知5sin2a=sin2°,则tan(a+1：)的值是

tan(tz-l°)

9.设{q}是一个等差数列，4=19,沏=3,记4=q+4田+……+4+6,则|4|的

最小值为_______________

10.函数/(x)满足/⑴=1003,且对任意正整数〃都有

/(D+/(2)+……+/(")=〃2/(〃)，则/(2006)的值为

y>0

11..已知<3x—y20,则x2+y2的最大值是

x+3y<0

12.对于实数x,当且仅当"Wx<n+1（neN+）时，规定冈=",则不等式

4[xf_36[X]+45<0的解集为

三.解答题（每小题20分，共60分）

13.设集合力=,xlog]（3-x）N-2>,B=-2"->11，若/门方=0,求实数a的取值

2Ix-aJ

范围.

14.三角形ABC的顶点C■丫）的坐标满足不等式X2+丁《8+2y》23.边48在横

坐标轴上.如果已知点Q（0,l）与直线AV和8c的距离均为1,求三解形ABC面积的的最大

值.

15.设函数y=/（x）的定义域为R，当x<0时，且对任意实数x,y,有

f(x+y)=/(x)/(y)成立,数列｛4｝满足q=/(0)且

1一(〃€

/（%）=N*).

)(一2—4)

（1）求陶加的值;

（2）若不等式（1+工）（1+」-）……（1+'-）2攵>/2〃+1对一切〃GN*均成立,求女的

4%4

最大值.

数学竞赛训练题一参考答案

1.B2.A3.C4.A5.B6.D

37

7.(-oo,-2)8.-9.-

2"5

1

10.11.912.2<x<8

2007

13.解:ad(-1,0)U(0,3)

14.解：点C在如图的弓形区域内.设A（q,O）,8（4,O）,C（Xo，yo），由点Q到直线AC,

BC的距离等于1得

(%-2)-2+2飞4-%=0,

(%-2)/2+2入0。2-%=0・

这说明q,%是方程（%-2）。2+2/。-%=0的2个根.所以

|阴=(4+32—4的2=*［；嚼-沏

这里[3,4].首先固定方,欲使最大，需

/=9一(%-1)2.

因此当%e[3,4j为某一定值时，点C应位于弓形弧上.所以

%8C=3阴•为<枭。坐<60(%=3时取等号)

22%-2

15.解:⑴令l=-1,y=0,得f(―1)=/(-1)/(0),/(0)=1.;.q=/(0)=1

当x>0时，一x〈0,f(0)=f(x)f(-x)=l,二0<f(x)<l.

设X],X2GR,且X]〈X2,则X2-X1〉0,f(X2-X,)<1,

f(Xj)-f&2)=f(X])-f(x1+x2-x1)=f(xt)[1-f(x2-xt)]>o.

f(x；)>f(x2),函数y=f(x)在R上是单调递减函数.

由f(an+1)=得八。向)/(一2一%)=1.

f(an+l-an-2)=f(0),an+l-an-2=0即。前-an=2

an=2〃T,外颐=4015

(2)由(1+-)(1+—)……(1+—)>A/2〃+l恒成立,知

%a2an

(1+1)(1+1)……(1+1)

k<一4一』——4-恒成立，

y/2n+l

(1+~)(1+...(1+

设F(n);一——-----生，则

y/2n+l

F(n)>0

(1+1)(1+1)……(1+X)

且尸(及+1)=一———————

j2〃+3

又F(n+1)=2(〃+1)〉1即/(〃+1)>尸⑺

F(n)a(〃+1)2-1

F(H)>F(1)=|V3

所以,即k的最大值为

OO

代数极值

很长时间以来，代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题，以下我们就来

讨论这类问题的解法.

一、条件极值问题

例1设非负实数即。2,…,4满足q+。2+…+4=1，求

-------3-------+----------3----------+•••+--------3--------的最小值.

1+a,+…+a“1+4+/+•,,+1+<71+•—Fa“_]

解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将6+々+…+/用常数

1代换,

I[]+(q+%+•••+a”)2

得%।i——同

1+a,+—F2-4212—<?!

，

理,+1=

1+4+/+,,•+2一出

令y=Y则

1+4+…+a,i+1=息i=\

j=l

222

y+n=--------1--------++-------

2—42-a.2-。“

为了利用柯西不等式，注思到Z(2-q)=2〃-Zq=2"-1,则

/=1

]

W(2-

2—cij

AI2

122n22〃2n

••,Z,2-q,=n...y+n...,即y…上一—〃.当且仅

j2-4,2n-l'2n-l2n-l

当

I〃

q=%=…=4=上时，上式等号成立.从而，y有最小值—.

n2n-l

评注：通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式

创造了条件.

22

例2设肛=1,且x>y>0.求^~匕的最小值.

x-y

解由于x>y>0可设x=y+Ay(Ay>0)则

/+y2=。-»+2孙=(△»+22&

x-yx-yAy

当且仅当Ay=正，即x=立上R,y=1二变时等号成立.因此上2二的最小值

22x-y

为20.

评注：引进增量起到了降元的作用.

例3设a,4c为正数，且ahc=l,求一'一+」一+—1—的最小值.

2a+12b+12c+1

解：设a=—,b=—,c=—(x,y,zeR+),则

yzx

111yzx

______।______।_____=J____।_______।______

2a+12b+12c+1y+2xz+2yx+2z

由柯西不等式

得，[y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)],--—+—-—+—--]...(x+y+zR

(y+2xz+2yx+2z)

“hVzxO+y+z)?1

从而,-------1----------1--------…------------------------------------------=1,即nrt

y+2xz+2yx+2z[y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)]

」一+」一+」一…1.当且仅当a=Z>=c=l时去等号.故所求最小值为1.

2a+l2b+\2c+l

评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可

先证明

2

1a3

2—5—r而得到最小值.

2a+l

a5+L

二、多元函数极值问题

例4设x,yeR,求函数/(x,y)=炉+6/-2^-14^-6y+72的最小值.

解：/(X/)=(%-丁一7)2+5。-2)2+3,故》=9尸=2时，篇=3.

评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法.

,1一n.

例5已知非负实数不,々，…,X"满足”彳，求了(王，工2,…，4)=口(1一%)

i=i2/=1

的最小值.

解：当x^x2,---,xn_2,xn_l+xn都为定值时，由于

(1一X„_,)(l-X„)=l-(X„_1+%„)+x„,,x„,

可见，Iv.-xJ越大，上式的值越小.为此，令

X-=%(i=1,2,…，〃-2),xn_/=x„_1+Xn,x,'=0,①

则X,I'+X"'=X"T+X"，X,I'.X"'=O<X"TX"

r

(1-x,)(1-x2)•••(1-%„)...(1-x/)(l-x2)•••(1-)

其中内…再进行形如①的变换〃-2次,即可得

(1——X2)"-(l—xn)>l—(x(+x2H---bxn)...—,其中等号当

%=尤3=3=X.=0时取得.，所求最小值为;.

评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函

数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数.

再看一个逐步调整法的例子.

55|

例6给定实数。>25.对于满足条件—=。的所有正实数组

/=1/=1Xi

(%/2/3，工4，/)，试求

max{玉,x2,x3,x4,x5}

的最值.

min{xpx2,x3,x4,x5}

解：由对称性，设玉蛋卜2七款1工4%5，由齐次性，设

玉=l,x5=u,x2,x3,x4

a=f(x,X3,)=(1+%2+七+/+")(—l---1-----1----F1)

9u

2

+1+1+1+

0,从而4,——3+,+5—6也

y[uH--r=-3,U--3)^/w+1

J"

另方面将x3,x4看作常

数，a=/(X2,X3,X4)=(Z-X2+—+/(a,y0,/>O).々>0时，/为凸函数，在X2=1

或9=I/时取得最大值.同理，/在无3，/=1或〃时取得最大值.

设/取得最大值时，々,七,％4中有左个为“，3—左个为1次=0,1,2.

此

k\

时,f=(ku+3-k+\+u)(-+3-k+\+-)=

UU

(w—1),3("—1),Q，+4)(4M+1),,,,,,.,,.,,,3

-k-+k+.f为开口向下的抛物线,对称轴为k=一,

u--------u-----------------u------------------------------------------------------2

故左=1或2时，/取得最大值.

a—f(%2,工3,”4)”(2M+3)(—F3)—6(MH-)+13=6(>/MH—尸■)1+1,

uu

+Ja-25

2V6

da-1+Ja-25'yfcici

max{xj,^,x3,x4,x5}-34-+5-6^/^

<276,

min{x1,x2,A3,x4,x5}2

三、无理函数极值问题

例7求函数/(x)=VX4-3X2-6X+13-A/X4-X2+1的最大值.

解：由于

f(x)=[X，•-3x，-6x+13dx，-+1：J(x-3)-+(%)-2)—-yjx2+(x-—1)~.

令A(3,2),3(0,1),P(x,x2),则f(x)=|Q4|—归印于是，问题转化为在抛物线y=/

上求一点P,使|24|—归回最大.

因点A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故直线AB和抛物线必相交，交电由方

(2

y=x~

程组彳y_12-1确定，消去y，得3x2—X—3=0.由于关于X的二次方程的常数项

,7^0~3^0

为负，则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以，当P点位于负根所对应的

交点位置时，/(%)有最大值M.

评注:本题不必求出交点坐标，从图中也可以看至“24|-|「目的最大值为

例8求函数/(x)=2x+Jl+x-X、的最值.

解：由于fix')=2x+yj\+x-x2=2x+J^-(x-^)2,可令

；=冬ma爪玛乡,

则x=；+[sine.于是f(x)=g(0)=l+y/5sin0+乎cos0=1+gsin(夕+⑼，其

中°=arcsin

E二cr乃乃I.>Z!1711兀、Uh

因为0e[——,—],故^+69G[rarcsm———,arcsm—7=+—],从而

22V52V52

2

sin(e+e)£[-,1],

即g@)w〔I-技m,故/«i„=i-v5,/«ax=1.

评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.

例9求函数y=\j2x2-3x+l+\Jx2-2x的最小值.

解：先求定义域(fo,0]u[2,+x),注意到两个根号内的函数在(-8,0]上都递减,

在[2,+8)上都递增,故原函数亦如此.故ymin=min"(0)"(2)}=l.当x=0时取

到最小值.

评注:运用单调性，简单巧妙.

例10求函数y=\Jx2+2x+2+\Jx2-2x+2的最小值.

解：(构造法)：=7(x+l)2+l2+7U-1)2+12-表示动点P(x,D到定点

A(l,0),8(—1,0)的距离之和，故ymin=2V2.

解法

二：

y=6+27+2+y]x2-2x+2>2M(f+2x+2)(。-2x+2)=2〃+4>2V2,

当x=0时，两等号同时成立，故用_=2&.

例11对实数x,求函数/(X)=,8X-X2-J14X_X2-48的最大值.

解：“X)的定义域为[6,8],M(X)=yl8x-x2=J16-(x-4)2,当x=6时，

22

Mmax=712；v(x)--^Jl4x-x-48=-71-(x-7),当x=6时，vmax=0,从而当

x=6时/(x)有最大值阮=2百.

解法二：/(x)定义域为[6,8],令〃(X)=J8X—X2,u(x)=Ji4x-x2-48,

w2-v2=48-6x.

xG[6,8],/.0<48-6x<12,/.0<w2-v2<12......(1).vy=w-y,,\w=y+vK

A(1)得：y2+2vy<12,易知y>0,v=-y/l-(x-7)2>0(2)/.y2<y2+2vy<12,

・•.y<2百，当x=6时(1)、(2)同时取等号.故/(幻有最大值阮二2百.

解法三：/(x)的定义域为[6,8],f(x)=V8—x(Vx—y/x—6)=-8/x,

yjx+Jx-6

•・,VT工，1在[6,8]上是减函数,从而当％=6时f(x)有最大值712=2^/3.

yjx+y/X-6

评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若

f(x)-u(x)+v(x),〃(》),口(幻同时在》=工0处取得最大值，则/(X)在X=Xo处取得最

大值;解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若/(外在闭区间［a,6］上

为单调函数，则/(x)在端点处取得最值”.

四、分式函数极值问题

例12设x,y,z是不全为零的实数,求,的最大值.

厂+y+z

解：孙+2yz=2

1

a2I1,1212A1»--解

x~+---卜by+—z.令一二—+6b

2（2a。厂b22a

得

a=45,b=—.所以孙+2yz„+y+z2）.当且仅当10x=2&y=5z时

等号成立.

故了十”的最大值为—.

x2+y2+z22

评注：本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标，引入参数a,0作

为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使

本来较难解决的问题得以顺利解决.

nhc

例13对所有求/+/+/的最小值.

\Ja2+Sbc+8acQc?+8ab

nhc

解：作代换x=L=，y=~F--,Z=L则x,y,ze(0,”).从

\la2+She\lh2+8ac\jc2+Sab

而，%2添嬴’即NT箓同理’+-「管’:仁竽将以上三式相

乘,

得=512.若x+y+z<l,则0<x<l,0<y<l,0<z<l.

（1-x2

故h

v-1222992

7xyzxy~z

.n［（y+z）（2x+y+z）］口（2匠・4"？》）“网/囱）

=512.矛盾.所以

222922222

xyzx^yzxyz

x+y+z...I.从而，当a=/?=c时,所求最小值为1.

评注：通过整体代换将问题转化为条件最值问题，即在

=512成立的条件下，求x+y+z的最小值.可先从极端情

况探求最小值,再运用反证法进行证明.

,,八+4。b9c

例14己知a,/7,ceR，求------p----------F---------的最小值.

b+3c8c+4a3a+2b

解:对分母进行代换,令人+3c=x,8c+4a=y,3a+20=z,

111,131111

则nl。