高中数学第一轮复习资料(教师版)

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

A组

1.已知4={1,2},8={x|xe/},则集合4与6的关系为______.

解析：由集合⑷知，5={1,2}.答案：A=B

2.若。星{x|xWa,aGR},则实数a的取值围是.

解析：由题意知，有解，故a》0.答案：a20

3.已知集合4={y|y=f—2x—l,x€R},集合6={x|-2WK8},则集合力与

8的关系是.

解析：y—x—2x—l=(x-1)'—22-2,A={y\—2},BA

答案：瘴4

4.(2009年高考卷改编)已知全集〃=R,则正确表示集合材={-1,0,1}和N=

{x\*+x=0}关系的韦恩(Venn)图是.

①

解析：由心{x/x?+x=O},得沪{-1,0},则A呈必答案：②

5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合［={x|x>5},集合8={x|x>a},

若命题“xG/”是命题"xRB”的充分不必要条件，则实数a的取值围是

解析：命题“后"是命题“xdB”的充分不必要条件，B,.-.a<5.

答案：a<5

6.(原创题)已知加£4nGB,且集合/={x|x=2w,aWZ},8={*x=2a+l,

a£Z},又C={x|x=4a+l,a£Z},判断加+〃属于哪一个集合？

解：•：mGA,.二设加=2a,aWZ,火•：nRB,.二设〃=2&+1,&RZ,.*.///

+〃=2(4+己2)+1,而d+・,.〃，+〃£〃.

B组

1.设a"都是非零实数,了=备+彳+乎•可能取的值组成的集合是.

解析：分四种情况：(l)a>0且方〉0；(2)a〉0且伙0；(3)a<0且6>0；(4)a<0

且丛0,讨论得尸3或y=-l.答案：{3,-1)

2.已知集合力={-1,3,2勿-1},集合6={3,痛}.若厄尔则实数卬=______.

解析：:,医4显然病#—1且卬2#3,故窟=20一1,即(0一1尸=0,...如

=1.答案：1

3.设只。为两个非空实数集合，定义集合尸+0={a+5aGR4砒,若P=

{0,2,5},0={1,2,6},则尸+0中元素的个数是个.

解析：依次分别取a=0,2,5；6=1,2,6,并分别求和，注意到集合元素的

互异性，，尸+0={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案：8

4.已知集合M={x|x=\],集合A—{x\ax=l},若NM,那么a的值是.

解析：豺={x\x=1或x=-1},NM,所以N=0时，a=0；当a¥0时，x

=一=1或-1,・..a=l或一L答案:0,1,—1

a

5.满足⑴紧4U{123}的集合{的个数是______个.

解析：力中一定有元素1,所以力有{1,2},{1,3},{1,2,3).答案：3

6.已知集合[={x|x=a+1,a£Z},B={x\x=^—^9b^Z},C={x|x=9+J,

0，JZ0

CGZ),则/、B、C之间的关系是.

解析：用列举法寻找规律.答案：A^B=C

7.集合4={x||x|W4,xGR},B={x\Ka},则是"a>5”的.

解析：结合数轴若/U80a24,故UAQff'是“a>5”的必要但不充分条

件.答案：必要不充分条件

8.(2010年启东模拟)设集合M={必|R=2",〃GN,且欣500},则"中所有元素

的和为.

解析：：2"<500,...〃=0,1,2,3,4,5,6,7,8.中所有元素的和S=l+2+

2?+…+2'=51L答案:511

9.(2009年高考北京卷)设/是整数集的一个非空子集，对于衣£4如果衣一1

建人且4+1+/,那么称在是力的一个“孤立元”.给定5={1,2,3,4,5,6,7,8},

由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.

解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这

三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案：6

10.已知[={x,xy,1g(灯)},B—{0,x\,y},且/=8,试求x,y的值.

解：由lg(xy)知，xy>0,故x=0,灯会0,于是由力=6得lg(xy)=0,xy

=1.

：.A—{^1,0},B={0,x\,1}.

于是必有/：=1,-=x#l,故x=-1,从而y=-1.

X

11.已知集合[={x|f-3x-10W0},

(1)若比48={x卬+11},求实数/力的取值围；

⑵若6={x：w—6WxW2m—l},求实数加的取值围；

(3)若/=8,B=\xm-6WxW2m-\]'求实数加的取值围.

解：由4={x|J—3x—10W0},得/={x|—2Wx<5},

(1)：住4二①若6=0,则勿+1>2m-1,即欣2,此时满足住4

w+\W2m—1,

②若废。，贝(-2Ww+l,解得2WrW3.

由①@得，0的取值围是(-8,3].

2勿—1>/»—6,ni>—5,

解得卜在4,故

⑵若AQB.则依题意应有</—6W—2,

、2〃L125.、加23.

3W/»W4,

・・・加的取值围是[3,4].

-6=-2,

(3)若力=氏则必有解得〃后0.,即不存在加值使得力=

[2/2?-1=5,

B.

12.已知集合A—{x\%—3%+2^0},B={x\x—(a+1)x+a〈0}.

(1)若/是6的真子集，求a的取值围；

(2)若5是4的子集，求a的取值围；

(3)若4=反求a的取值围.

解：由♦一3x+2W0,即(才一1)(x-2)W0,得1WXW2,故4={x|lWW2},

而集合B—{x\(x—1)(x—a)<0},

(1)若/是6的真子集，即4B,则此时a],故於2.

(2)若8是/的子集，即应凡由数轴可知

1。2

(3)若力二区则必有42

第二节集合的基本运算

A组

1.(2009年高考卷改编)设〃=R,A={x|x>0},B={x\x>\],则tB=___.

解析：3A<1},I.nnC,6={xO<xWl}.答案：{x|O〈xWD

2.(2009年高考全国卷I改编)设集合/={4,5,7,9},8={3,4,7,8,9},全集〃

=4U&则集合「M/n皮中的元素共有________个.

解析：力仆8={4,7,9},/U%析,4,5,7,8,9},C〃(40百={3,5,8}.答案：

3

3.已知集合册={0,1,2},A-{x|x=2a,粉，则集合MCI川=________.

解析：由题意知，八三[0,2,4},故材n力土{0,2}.答案：{0,2}

4.(原创题)设/,8是非空集合，定义/⑧5={x：xG4U8且N/C8},已知4

={x|0WxW2},6={y|y20},则力⑧8=_______.

解析：/U8=[0,+8),/n%[0,2],所以{⑧6=(2,+°°).

答案：(2,+8)

5.(2009年高考卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运

动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

解析：设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程

15-户*+10-矛+8=30=犷3,...喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

15-3=12(人).答案：12

6.(2010年质检)已知集合4={x|x>l},集合8={x|〃WxW〃+3}.

(1)当卬=-1时，求4C8,

(2)若医/,求加的取值围.

解：(1)当小=-1时，6={x|-lWxW2},.,"nb={x|l<xW2},AUB=

{x|x2一1}.(2)若医4,则初>1,即0的取值围为(1,+°°)

B组

1.若集合J勺{xCR|-3<x<l},A』{xGZ|-1WXW2},则"AA'=______.

解析：因为集合"={-1,0,1.2},所以MC/V={-I,0}.答案：{-1,0}

2.已知全集〃={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},则((所8=

解析：C[011},故(CMC5={0}.答案：{0}

3.(2010年市高三模拟)若全集〃=R,集合M={x-2WxW2},N={x\x-

3xWo},则"n([闻=________.

解析：根据已知得#n(C={x|-2WxW2}n{x|K0或X>3}={x|-

2Wx<0}.答案：{x|-2〈x〈o}

4.集合4={3,logza},6={a,b},若力D8={2},贝」i4U6=______.

解析：由/n6=⑵得log2a=2,；.a=4,从而6=2,；./U8={2,3,4}.

答案：{2,3,4}

5.(2009年高考卷改编)已知全集Q/U8中有卬个元素，(C〃)U(C,而中有〃

个元素.若4口8非空，则4n8的元素个数为.

解析：/4U6中有小个元素，

,/([tA)U([㈤=[4/门⑤中有〃个元素，.中有叫一〃个元素.答

案：m-n

6.(2009年高考卷)设是小于9的正整数},4={〃6切力是奇数},B=

〃〃是3的倍数},则cuB)=.

解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},6={3,6},：.AUB=

{1,3,5,6,7),

得[〃C4U0={2,4,8}.答案：{2,4,8}

x

7.定义J®6={z|z=xy+],x&A,yW0.设集合[={0,2},5={1,2},C=

{1},则集合(废而®C的所有元素之和为.

解析：由题意可求(力®而中所含的元素有0,4,5,则(力®8)®C中所含的元

素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案：18

8.若集合{(x,0|x+y—2=0且x-2y+4=x,y)|y=3x+6},贝!I6=

ix+y-2=0,[%=0,

解析：由，,=>1点(0,2)在y=3x+6上，，6=2.

.x—2y+4=0.[y=2.

9.设全集/={2,3,才+22—3}"={2,后+1|},[滔={5},材={4x=logja|},

则集合出的所有子集是.

解析：'：AU(C,A)=I,二{2,3,a?+2a-3}={2,5,a+l|},：.\a+l\

=3,且a°+2a—3=5,解得a=—4或a=2,；.V={logz2,log2|-4|}={1,2}.

答案：。,{1},{2},{1,2}

10.设集合-3x+2=0},8={x|x'+2(a+1)x+(a"—5)=0}.

(1)若404={2},求实数a的值；

(2)若4U8=4,求实数a的取值围.

解：由f—3x+2=0得x=l或x=2,故集合力={1,2}.

⑴,.3C%{2},.'2G6,代入6中的方程，得a2+4a+3=0na=T或a

=-3；当a=-1时，B={xx_4=0}={-2,2},满足条件；当a=-3时，B

={x|f—4x+4=0}={2},满足条件；综上，a的值为一1或一3.

(2)对于集合8,△=4(a+l)2-4(aD=8(a+3).'：A^B=A,J.BQA,

①当A<0,即a<—3时，3=0满足条件；②当A=0,即a=-3时，B=

{2}满足条件；③当A>0,即a〉一3时，6=4={1,2}才能满足条件，则由根与

系数的关系得

l+2=—2(a+l)

乙矛盾.综上，a的取值围是aW—3.

2=〈

lX2=a-52_

11.已知函数f(x)=寸由一1的定义域为集合A,函数g(x)=lg(—f+2x

+而)的定义域为集合8.

(1)当勿=3时，求4n(1由；

(2)若406=5|一1<水4},求实数"的值.

解：A={x-1<A<5}.

⑴当m=3时，B={x|—1<X3},则[招={x]—1或x23},

：.AC\([R®={x|3WxW5}.

(2)'：A={x-5},AC\B=U|-KX4},

二有一42+2X4+〃=0,解得z»=8,此时3={X|-2<_Y<4},符合题意.

12.已知集合4={xWR|ax2-3x+2=0}.

(1)若力=。，求实数a的取值围；

(2)若力是单元素集，求a的值及集合4；

(3)求集合，仁).

解：(1)4是空集，即方程af—3x+2=0无解.

9

若a=0,方程有一解x=个不合题意.

若ar0,要方程af—3x+2=0无解，则A=9—8a<0,则a〉号

9

综上可知，若力=。,则a的取值围应为

0

99

⑵当a=0时，方程苏―3x+2=0只有一根x=§,[={§}符合题意.

9

当aWO时，则A=9—8a=0,即时，

O

44

方程有两个相等的实数根X=g,则-{/

294

综上可知，当石=0时，A={-}；当片§时，A={-}.

2

(3)当a=0时，4={§}W。.当a#0时，要使方程有实数根，

9

则△=9—8a20,即aWj

O

99

综上可知，a的取值围是aW?,即"={aCR|廿0}={a|aW$

OO

第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

1.(2009年高考卷改编)函数恒^的定义域为

X

——RV—I—40

''=xG[—4,0)U(0,1]

/0,

答案:[-4,0)U(0,1]

2.(2010年第一次质检)如图，函数/'(X)的图象是曲线段38,其中点0,A,B

的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则/.(卷)的值等于.

解析：由图象知f(3)=l,/■(7m)=f(l)=2.答案：2

[3\xWl,

3.(2009年高考北京卷)已知函数f(x)=若娘x)=2,则x=

—%,x>\.

解析：依题意得xWl时，3*=2,・・.x=log32；

当x>l时，-x=2,X=-2(舍去).故X=log32.答案：log32

4.(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1,{1,满足的这样

的函数个数有个.

解析：如图.答案：1

5.(原创题)由等式x+a\x+52-H-=(x+1),+6i(x+1产+灰(x+1)+K定义—

个映射FE,改,为)=必，&),则#2,1,-1)=.

解析：由题意知f+zV+x—1=(x+1)+Z?i(x+1)+为(x+1)+A,

令义=一1得：-1=&；

[-1=1+61+益+从

再令x=0与x=l得«,

[3=8+4〃+2b2+A

解得打=-1,bz=O.

答案：(一1,0,—1)

C1

1+-U>1),

,”1

6.已知函数F(x)=I.(vv、⑴求A1--7=~；),

x2+1(―IWxWl),弋2—1

、2x+3(X-1).

3

2)]}的值；(2)求f(3x—1);(3)若f(a)=5，求a

解：f(x)为分段函数，应分段求解.

(1)V1-下■—1—(镜+1)=-1,f(—yf2)=-24+3,

1Q

又,"(-2)=—1,—F(—2)]=f(—1)=2,.*./'{/[/(-2)]}=1+-=-

913x

(2)若3x—1>1,即才>三，F(3x—1)=1+^---7=丁~T；

33x-13x—1

3

若一lW3x—1W1,即OWxW]f(3x—1)=(3x—1尸+l=9f—6x+2；

若3X一1<一1,即底0,F(3x—l)=2(3x—l)+3=6x+L

3x2

(x>R,

3x—1o

/.A3%-1)=〈9

9x-6x+2

<6%+1(X0).

3

(3)Vf{a)=~9/.a>l或一iWaWl.

13

当a>l时,有1+-=-,/.a=2；

a2

3

当一IWaWl时，，+1=5，.\a=

••a=2或土乎.

B组

出y+lg(2x—1)的定义域是..

1.(2010年江门质检)函数y=

3x—2

22

解析:由3x—2>0,2x—1>0,得力不答案：U|x>-}

Jo

—2x+1,(x<—1),

2.(2010年枣庄模拟)函数f(x)=«—3,(TWA<2),则咳)+5))

2x-l,(x>2),

解析：.../'(|)+5=—3+5=2,.•.f(2)=-3,

；.f(—3)=(—2)X(—3)+1=7.答案：7

3.定义在区间(一1,1)上的函数/Xx)满足2f(x)—f(—x)=lg(x+l),则f(x)

的解析式为.

解析：•.,对任意的矛£(―1,1),有一x£(—1,1),

由2F(x)—F(—x)=lg(x+l),①

由2f(—x)—F(x)=lg(—x+l),②

①X2+②消去f(—Q,得3f(x)=21g(x+l)+lg(—x+1),

21

f{x)=zlgU+l)+-lg(l—x),(—KKl).

oo

21

答案：f(x)=~lg(^+l)+-lg(l—%),(—KXl)

oo

4.设函数y=f(x)满足f(x+l)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的

个数可能是个.

解析：由/■(x+l)=f(x)+l可得F(l)=f(0)+l,A2)=/(0)+2,f(3)=

Ao)+3,…本题中如果Ao)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点；若

f(0)W0,则y=f(x)和y=x有零个交点.答案：0或无数

(2(%>0)

5.设函数f(x)=<2,,।x\，若以-4)=f(0),

[x+bx+c(xWO)

则f(x)的解析式为/Xx)=,关于x的方程f^)=x的解的个数为

________个，

解析：由题意得

J16—4Z>+c=cJZ>=4

[4—2Z?+c=—2\c—2'

2(x>0)

f(x)--

f+4x+2(xWO)

由数形结合得f(x)=X的解的个数有3个.

[2(%>0)

答案：U2+4%+2(XWO)

6.设函数f{x)=logC7x(a>0,dWl),函数g(x)=-x：'+bx+c,若F(2+，5)

—F(镜+1)=；,g(x)的图象过点1(4,-5)及夕(一2,—5),贝Ia=,

函数f[g(x)]的定义域为.

答案：2(-1,3)

V—4x+6才20

,'Y,则不等式

{x+6,x<0

f(x)>F(l)的解集是.

解析：由已知，函数先增后减再增，当x'O,F(x)>f(l)=3时，令/1(%)=

3,

解得x=l,x=3.故f(x)>f(l)的解集为OW_K1或x>3.

当水0,x+6=3时，x=-3,故/'(x)>f(l)=3,解得一3<水0或x>3.

综上，f(x)>f(l)的解集为{x—3(水1或x〉3}.答案：{x|-3<x<l或x>3}

8.(2009年高考卷)定义在R上的函数/U)满足其公=

logz(4—x),xWO,

JDYI),x>。，则,⑶的值为

解析：：f(3)=f(2)-Al),又f(2)=AD-AO)，,f(3)=—F(0)

=log24=2,.•.F(3)=-2.答案：一2

9.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻

开始，5分钟只进水，不出水，在随后的15分钟既进水，又出水，得到时间x

与容器中的水量y之间关系如图.再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段

时间(即x220),y与x之间函数的函数关系是.

解析：设进水速度为&升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得

5al=20|a=4

、一、，得.，则y=35—3(x—20),得y=-3x+95,

5al+15(a1-aa)=350=3

又因为水放完为止，所以时间为,又知x220,故解析式为y=-3x+

O

95(20^^^—).答案：y=-3x+95(20WxWk)

oo

10.函数/Xx)=M(l-a2)G+3(i-a)x+6.

(1)若/Xx)的定义域为R,求实数a的取值围；

(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.

解：(1)①若1—22=0,即a=±l,

3)若@=1时，式公=求,定义域为R,符合题意；

(ii)当a=-1时，f(x)=^6x+6,定义域为[-1,+°°),不合题意.

②若1-a?#。，则g(x)=(l—a')x+3(1—a)x+6为二次函数.

由题意知g(x)>0对%eR恒成立，

1—a2>0,—l<a<l,

♦<•«

,,[△WO,*l(a-l)(lla+5)<0,

5S

二一寸Wa〈l.由①②可得一jj"WaWL

(2)由题意知，不等式(1-才)/+3(1-@)矛+620的解集为[-2,1],显然1

—a'#0且一2,1是方程(1—3)寸+3(1—a)x+6=0的两个根.

ri-a<o,

"a<—1•或a>l,

3(1—a)

-2+1=a=2,

a2—1

:.<<a—+2.

5

a<—77或a〉]

IA=[3(l-a)]2-24(l-a2)>0

••a=2.

11.已知f(x+2)=f(x)(xeR),并且当xG[—1,1]时，求当

xG[24一1,24+1](&GZ)时、f(x)的解析式.

解：由/1(x+2)=F(x),可推知/Xx)是以2为周期的周期函数.当

-1,24+1]时，2A-lWxW2A+l,-IWx-2A<1..•.f(x-2公=一(才一282+

1.

又f(x)=f(x—2)=f(x—4)—,

；.f(x)=-(x-2A)2+l,xe[2A—kWZ.

12.在2008年11月4日航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，

接到了包括美国在的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线

客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，

每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开

始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C

型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为力(x).(单位：h,

时间可不为整数)

(1)写出g(x),力(x)的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：(l)g(x)=F-(0<X216,x&N*),方(x)=7777-----(0<K216,x6N*).

3x216—x

「2000/一产、

H—(0<xW86,xWW).

I3x

(2)f{x)=<(3)分别为86、130或87、

1000/7八

——(87WK216,%eN).

1216—x

129.

第二节函数的单调性

A组

1.(2009年高考卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意汨，用6(0,十8),

当£<生时，都有F(xi)>f(x2)”的是.

①F(x)=：②/、(x)=(x—I)?③F(x)=e"®f(x)=ln(%+l)

解析：,对任意的小，及£(0,+°°),当xi〈X2时，都有f(xi)>f(x2),Af(x)

在(0,+8)上为减函数.答案：①

2.函数F(x)(x£R)的图象如右图所示,则函数g(x)=F(loga的(0<水1)的单调

减区间是.

解析：:(Ka。，y=log/为减函数，.・・log/£［0,今时，g(x)为减函数.

由OWlog/W：答案：[正，1](或(―，1))

3.函数4+415-3x的值域是.

解析：令x=4+sin2a,aG[0,—],y=sina+/cosa=2sin(a+—)

答案：［1,2］

4.已知函数F(x)=|e'+W|(a£R)在区间［0,1］上单调递增，则实数3的取值围

e

解析：当a〈0,且e'+：》0时，只需满足e°+120即可，则一lWa<0；当

ee

a=0时，F(x)=lei=e"符合题意；当a>0时，f(x)=e'+4,则满足/(x)=

e

e'一二NO在［0,1］上恒成立.只需满足^^(小工汨成立即可，故综上

e

—1WaWl.

答案：一IWaWl

5.(原创题)如果对于函数f(x)定义域任意的x,都有(材为常数)，称"

为/'(x)的下界，下界"中的最大值叫做/Xx)的下确界，下列函数中，有下确界

的所有函数是.

'1(x>0)

①/'(x)=sinx；②/'(x)=lgx；③f(x)=e,；④/'(x)=<0(x=0)

1(x<—1)

解析：•；sinx》一1,.•.f(x)=sinx的下确界为-1,即/'(x)=sinx是有下

确界的函数；..,f(x)=lgx的值域为(—8,+8),.•./'(x)=1gx没有下确界；

.../■(入)=/的值域为(0,+8),;.f(x)=e，的下确界为0,即f(x)=e'是有下

确界的函数；

'I(%>0)［1(x>0)

•."(x)=<0(x=0)的下确界为一1.；"(x)={o(x=0)是

「1(X—1),—1(x<—1)

有下确界的函数.答案：①@④

6.已知函数f(x)=x\g(x)=x—L

(1)若存在xdR使g(x),求实数。的取值围；

(2)设/(x)=F(x)—侬(x)+1-/一"*且|Mx)|在［0,1］上单调递增，求实

数m的取值围.

解：⑴mxCR,g(xx^R,x-bx+b=(-Z?)2-4Z)伙0

或6〉4.(2)尸(x)—x—mx+\—in,△=#—4(1—谕—5m—4,

①当△wo即一淮工

(加时，则必需

5

尸

-芈9.

5

1—b芈W人绡o

②当△>()即成一斗'或勿时，设方程尸(才)=0的根为X1,42(M</2),

若券1,则xWO.

in

加22.

、F(O)=1—才WO

若胃<0,则X2WO,

Ill一r—

—WO2A/5

<2—成一丫.综上所述:—1〈勿WO或加22.

□

/(0)=1一介0

B组

1.(2010年东营模拟)下列函数中，单调增区间是(一8,0]的是.

©y=—②y=—(x-1)@y—x2—2④y=—|x|

解析：由函数y=-|x|的图象可知其增区间为(-8,0],答案：④

2.若函数/•(x)=log2(f—ax+3a)在区间[2,+8)上是增函数，则实数a的取

值围是________.

解析:令g(令=\一ax+3a,由题知g(x)在[2,+8)上是增函数，且g⑵>0.

*2,

.；2...-4〈aW4.答案：-4<a<4

、4—2a+3a>0,

oQ

3.若函数Ax)=x+-%>0)在(],+8)上是单调增函数，则实数a的取值围.

x4

解析：•.,f(x)=x+；(a>0)在(,，+8)上为增函数，OCawR.

答案：(0,.

4.(2009年高考卷改编)定义在R上的偶函数f(x),对任意小，及e[0,+

8)(汨#及)，有―⑴〈0,则下列结论正确的是________.

X1~X\

①/'(3)<y(-2)"⑴②/'(1)</(-2)3⑶

③f(-2)<F(l)<f(3)®/'(3)<Al)</(-2)

解析：由已知4.一“不)〈0,得/■(*)在xe[0,+8)上单调递减，由偶函

Xi—X\

数性质得/'(2)=f(-2),即/1⑶"(一2)51).答案：①

fa*(X0),

5.(2010年模拟)已知函数F(x)=,.、,,j、满足对任意％WX2,

[(a-3)x+4a(x20)

都有/(»)—/52〈0成立,则a的取值围是

X\-X2

0<a<l,

解析：由题意知，f(x)为减函数,所以卜一3<0,解得

—3)X0+4a,

O〈aW；

4

6.(2010年模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB,点、A的坐标为

(1,2),点6的坐标为(3,0),定义函数g(x)=f(x)•(x—1),则函数g(x)的最

大值为.

2x(x—1)(0^X1),

解析:g(x)=

.(―x+3)(x—1)(1WXW3),

当0Wx<l时，最大值为0；当时，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为[-2,0],则

函数y=f(cos-\[x)的值域是.

解析：•；cos、/；e[―1,1],函数y=f(x)的值域为[―2,0],...y=f(cosy》

的值域为[—2,0].答案：[—2,0]‘

8.已知f(x)=log3x+2,[1,9],则函数y=[『(⑼了+六/)的最大值是

解析：•.•函数y=[f(x)]2+f(*2)的定义域为

fl

\.,.".xG[1,3],令log3X=h[o,1],

UWx2W9,

.,-y=(f+2)2+2i+2=(t+3)2-3,二当2=1时,加£=13.答案:13

9.若函数A%)=log.(2%+%)(a>0,a#l)在区间(0,J)恒有f(x)>0,则A%)

的单调递增区间为.

解析：令〃=29+工当xW(0,》时，〃£(0,1),而此时F(x)>0恒成立,

・・・0<a<L

〃=2(X+1)2—、，则减区间为(-8,一；).而必然有2/+才>0,即x>0或

4o4

水一；.・・・4)的单调递增区间为(-8,-1).答案：(-8,-1)

10.试讨论函数y=2(log|x)2—21og1x+l的单调性.

解：易知函数的定义域为(0,+°°).如果令u=g(x)=lo弓x,y=f(d)=

2——2u+l,那么原函数y=ftg(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而

u=log|x在才仁(0,+8)是减函数，y=2/-2u+l=2(u—3在(―8,

》上是减函数，在ueg,+8)上是增函数.又尾,即10"舄,得

说，得

由此，从下表讨论复合函数y=/［g(x)］的单调性:

单调性

函数(平,+8)

(o,事

u=log|x

『(〃)=24一2u+l

y=2(log^x)2—21og1x+1

故函数y=2(log|x)2-21o或x+1在区间(0,当)上单调递减，在区间(当,+

8)上单调递增.

11.(2010年广西模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数/'(x)满足/(国)=f(如

X2

—f{x2),且当x>l时，f(x)<0.

⑴求f(l)的值；(2)判断判力的单调性；(3)若〃3)=—1,解不等式F(|x|)<

-2.

解：(1)令田=*2>0,代入得F(l)=f(M)—F(xi)=0,故f(l)=0.

(2)任取照£(0,+°°),且为>才2,则军>1,由于当牙>1时，/、(才)<0,

X2

所以/'(^八。，即『(汨)一，刖)<0,因此人为)"("2),

所以函数/tr)在区间(0,+8)上是单调递减函数.

V,Q

(3)由A-)=f(小)-fix3得fE)=A9)-A3),而A3)=-1,所以A9)

Xz3

=-2.

由于函数/Xx)在区间(0,+8)上是单调递减函数，

由/'(|x|)〈f(9),得|x|>9,，x>9或正一9.因此不等式的解集为{x/9或

X-9).

y”—oy—|—

12.已知：f(x)=log3--,xG(0,+8),是否存在实数a,b,使f(x)

同时满足下列三个条件：(1)在(0,1］上是减函数，(2)在［1,+8)上是增函数,

(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由.

解：•••/'(X)在(0,1］上是减函数，［1,