高一数学上下学期暑假综合复习训练（共10份）含解析

高一数学暑假综合复习题（一）

选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知向量。，b,下列选项中错误的是（）

A.\a\=y[ahB.若|a•回=|a|步则a与）共线

C.若aWO且1W0,则a仍WOD.|aA|W|a||W

2.从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设4=｛三件产品全不是次品｝,8=｛三

件产品全是次品｝,C=｛三件产品有次品，但不全是次品｝,则下列结论中错误的是（）

A.A与C互斥B.B与C互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥

3.i是虚数单位，则W的虚部是（）

A.；iB.-giC.D.

4.设向量4=（1,-3）,6=（-2,4）,c=（-l,-2）,若表示向量4a,4》-2G23-c）,d的有

向线段首尾相连能构成四边形，则向量4为（）

A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）

5.对于直线〃?，〃和平面a,下列命题中正确的是（）

A.如果/”Ua,n<ia,m,〃是异面直线，那么”//a

B.如果加Ua,n<ta,m,〃是异面直线，那么〃与a相交

C.如果机Ua,nIIa,m,〃共面，那么//〃

D.如果m//a,nIIa,m,〃共面，那么根//〃

6.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意

抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）

A.简单随机抽样B.抽签法C.随机数法D.比例分配的分层随机抽样

7.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为I,AO=^AB+AC）,且画=丽，则成法=（）

A.1B.小C.-1D.-小

8.已知棱长为2的正方体的体积与球。的体积相等，则球。的半径为（）

9.直线/垂直于梯形ABC。的两腰A8和C。，直线〃?垂直于A。和BC,则/与，”的位置关

系是（）

A.相交B.平行C.异面D.不确定

23

io.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工的零件为一等品的概率分别为w和了，两人加工

的零件是否为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）

151

BC-

2-4

A.12

11.在棱长为1的正方体ABCO-AiBGOi中，M,N分别是AOi,AiB的中点，过直线8。

的平面a//平面AMN,则平面a截该正方体所得截面的面积为（）

A.A/2B.卷C.小D.坐

oZ

12.如图，△ABC是边长为2小的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则

办•济的取值范围是（）

A.[1,13]B.（1,13）C.（4,10）D.[4,10]

二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上）

13.口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为123,4,5,若从中一次

随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为一.

14.已知。=（1,3）,b=（2+X,1）,且。与8的夹角为锐角，则实数A的取值范围是—.

15.复数2+i和-3-i的辐角的主值分别为a,夕，贝ljtan（a+份等于—.

16.设△A3C的内角A,B,C所对的边分别为a",c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=

三.解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知复数z=（2+i>?-「-2（l-i）.求实数能取什么值时，复数z是⑴零；（2）虚数；（3）

1—1

纯虚数；（4）复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.

18.（本小题满分12分）

如图，观测站c在目标A的南偏西20。方向，经过A处有一条南偏东40。走向的公路,

在。处观测到与。相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达。处,

此时测得C,。相距21km,求O,A之间的距离.

19.(本小题满分12分)

某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以下频率分布直方图,

其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106],

⑴求x的值；

⑵已知样本中身高小于100厘米的人数是36,求出样本量N的数值;

(3)根据频率分布直方图提供的数据及⑵中的条件，求出样本中身高大

于或等于98厘米并且小于104厘米的人数.

20.(本小题满分12分)

如图所示的多面体中，四边形ABC。是菱形、BDE77是矩形，E£>!®ABCD,ZBAD=6O°.

(1)求证：平面BCF7/平面AED；

(2)若BF=BD=a,求四棱锥的体积.

未参加演讲社团230

(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

⑵在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学4,A3,4,A5,3名

女同学历，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求4被选中且田未被

选中的概率.

22.(本小题满分12分)

如图所示，正四棱锥ABC。中，。为底面正方形的中心，侧棱处与底面ABCD所成的角

的正切值为如.

2

(1)求侧面PAD与底面45c。所成的二面角的大小;

(2)若E是依的中点，求异面直线PO与AE所成角的正切值；

(3)问在棱AD上是否存在一点F,使用1侧面PBC,若存在，试确

定点尸的位置；若不存在，说明理由.

高一数学暑假综合复习题（一）

选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知向量。，b,下列选项中错误的是（）

A.|a|=

B.^\a-b\=\a\\b\,贝1]a与）共线

C.若aWO且8W0,贝"a仍#0

D.〈福向

答案C

解析由向量数量积的性质可知A,B,D均正确，C错误.故选C.

2.从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设A=｛三件产品全不是次品｝,B

=｛三件产品全是次品｝,。=｛三件产品有次品，但不全是次品｝,则下列结论中错误的是（）

A.A与C互斥B.B与C互斥

C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥

答案D

解析由题意知事件A,B,。两两不可能同时发生，因此两两互斥.

3.i是虚数单位，则的虚部是（）

1.1.

AA.21BD.一亍

C.3D.

答案C

ii（l-i）1+i11.

解析TTT=（i+i）（]_0=丁=]+.故选c.

4.设向量a=(l,-3),4=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4》-2c,2("c),d

的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量”为（）

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

答案D

解由意,彳导4a+4b—2c+2(<z—c)+d=0,贝(jd——4a—46+2c—2(a—c)=—6a—

4。+4c=(—2,-6).

5.对于直线〃和平面a,下列命题中正确的是（）

A.如果机Ua,n（ta,m,〃是异面直线，那么"//a

B.如果，“Ua,机，〃是异面直线，那么〃与a相交

C.如果，〃Ua,nIIa,m,〃共面，那么//〃

D.如果机//a,nIIa,m,〃共面，那么，"//〃

答案c

解析对于A,如图①所示，此时〃与a相交，则A不正确；对于B,如图②所示，此

时〃"〃是异面直线，而〃与a平行，故B不正确；对于D,如图③所示，机与〃相交，故

D不正确.故选C.

6.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中

任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）

A.简单随机抽样

B.抽签法

C.随机数法

D.比例分配的分层随机抽样

答案D

解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此

用的是比例分配的分层随机抽样.

7.△ABC的外接圆的圆心为。，半径为1,AO=^AB+AC）,且|倒|=|而则旗•欣=

〔）

A.1B.小

C.-1D.-市

答案A

解析由题意知，。为BC的中点，且NABC=60。，|反?|=2,|油|=1,：.BABC=\X2X^

=1.

8.已知棱长为2的正方体的体积与球。的体积相等，则球。的半径为（）

答案D

43后

解析设球。的半径为广，则铲尸=23,解得「=yj-

9.直线/垂直于梯形ABC。的两腰A8和CD,直线机垂直于A。和BC,则/与机的位

置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.不确定

答案D

解析根据题意，/人平面ABC。，机可能在平面ABC。内，也可能垂直平面ABC。，还

可能在平面ABC。外但不垂直于平面ABC。，所以直线/与，”可能平行、相交或异面，故选

D.

23

10.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工的零件为一等品的概率分别为］和不两人

加工的零件是否为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（)

答案B

解析设事件A="甲实习生加工的零件为一等品"，事件B="乙实习生加工的零件

23

为一等品"，则P(A)=g,P(B)=不所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB)+P(A

D35

_2_X-

B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=^X4=

+13J12

11.在棱长为1的正方体ABC。-A山IGOI中，M,N分别是AQi,A山i的中点，过直线

BD的平面aII平面AMN,则平面a截该正方体所得截面的面积为()

A.mB.|

C.小D.坐

答案B

解析取C\D\,BiG的中点为P,Q,连接。P,BQ,BiDi,NP,PQ.易知MNIIB1D1

IIBD,ADIINP,AD=NP,二四边形ANP。为平行四边形，AN//OP,又8。和OP为平

面O8QP的两条相交直线,MN,AN为平面AMN的两条相交直线，.•.平面DBQPII平面AMN,

1y[2

即平面DBQP的面积即为所求..•・四边形。8QP为梯形，高为

〃1八，出2-恃)=乎，：.S=^PQ+BD\h=^,故选B.

12.如图，△A8C是边长为2步的正三角形，尸是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点,

则成•丽的取值范围是（）

A.[1,13]B.（1,13）

C.（4,10）D.[4,10]

答案A

解析以C为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，垂直于的直线为），轴建立如图所

示的平面直角坐标系.因为是边长为2小的正三角形，所以A（-小，-3）,B他,-

3）.设尸（cos。，sin。），0€[0,2n）,则成・丽=（cos>+小,sin®+3>（cos。一小，sin。+3）=cos?。

—3+（sin8+3）2=6sine+7.因为一iWsinOWl,所以lW6sin6+7W13.所以淳•成€[1,13].故

选A.

二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上）

13.口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为123,4,5,若从中一次随机摸

出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为

答案I

解析画树状图如下:

2345

/n/N/Z/N/Z

23451345124512351234

共20种等可能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于6的结果有8种，故所求概率

*82

为药

5-

14.已知a=(l,3),b=(2+A,1),且a与方的夹角为锐角，则实数2的取值范围是

答案2>—5且2W—彳

解析因为。与〃的夹角为锐角，则cos〈a,b>>0,且cos〈a,b>Wl,即。2=2+4

+3>0,b手kd,贝2>_5AW—

15.复数2+i和-3-i的辐角的主值分别为a,0,则tan(a+0等于—.

答案1

解析:复数2+i和一3-i的辐角的主值分别为a,4..,.tana=g,tan夕=；,.,.tan(a+0

tana+tan4

-1-tanatan/?一'

16.设△ABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c若。+c=2a,3sim=5sin8,则角

C=.

2兀

答案T

5bqb

解析由已知条件和正弦定理，得3a=5"S.b+c=2a,贝lja=y,c=2a—/?=丁，cosC

a1+b2-c212n

=~诟—=~2>X0<C<7t,因此角C=g~.

三.解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知复数z=(2+i)苏-丁三-2(l-i).求实数，“取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数;

1—1

(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.

解由于机€R,

所以复数z=(2+i)/n2-3m(l+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(nr-3m+2)i.

2m2-3m-2=0,

⑴当1,即〃?=2时，z为零.

[m2-3m+2=0,

（2）当加2_3〃7+2WO,即机W2且机W1时，Z为虚数.

2m2-3m-2=0,

⑶当4,即加=时，z为纯虚数.

〔汴一3加+2WO,

(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),

即加=0或机=2时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.

18.（本小题满分12分）

如图，观测站C在目标A的南偏西20。方向，经过A处有一条南偏东40。走向的公路,

在C处观测到与。相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达。处,

此时测得C,。相距21km,求。A之间的距离.

解由已知，得CD=21km,BC=3\km,BD=20km.

CD2+BD2-BC21

在△BCD中，cosZBDC=2CDBD=~T

设ZADC=a,贝cosa=；,

sina哗

在△ACD中,

A。CDAD_21

由正弦定理，得

sin/AC。sinZCAD'艮%in(60°+a)=sin60°'

所以A。=关sin（60。+a）=爰[坐|sin«

cosa+

=15km,即所求的距离为15km.

19.（本小题满分12分）

某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以下频率分布直方图，其中身高的变

化范围是[96,106]（单位：厘米），样本数据分组为[96,98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,

[104,1061.

(1)求X的值；

(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36,求出样本量N的数值；

(3)根据频率分布直方图提供的数据及⑵中的条件，求出样本中身高大于或等于98厘米

并且小于104厘米的人数.

解(1)由题意，得(0.050+0.100+0.150+0.125+幻义2=1.解得％=0.075.

(2)设样本中身高小于100厘米的频率为pi,

：.pi=(0.050+0.100)X2=0.300,而pi=R",

,'N~pi_0.300-120-

(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p2=(0.100+0.150+

0.125)X2=0.750,

身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数为〃=p2N=120X0.750=90.

20.(本小题满分12分)

如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形、3。所是矩形，田_1面488，ZBAD=60°.

(1)求证：平面BCF〃平面4瓦)；

(2)若BF=BD=a,求四棱锥A—8DEE的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）32/

6

【解析】

（1）根据菱形的性质、矩形的性质，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.证明：（1）由A8CD是

菱形，BC//AD

.面ADE，AZ）u面ADE，8C〃面ADE

由8。"是矩形BF//DE

•••8F6而ADE，DEu面ADEBFH面ADE

.BCu面8CF,BFu面BCF,BC^BF=B；.面BCF〃面ADE

（2）连接AC,ACDBO=O由ABC£>是菱形，..ACLBD

由EDI面ABCD,ACu面ABC。.EDJ.AC

ED，BDu而BDEF，EDCBD=D；.A0上而BDEF，

则A0为四棱锥4-BDEF的高

由ABC。是菱形，ZfiM>=60。，则△AB。为等边三角形，

由⑶/二台/二。；则

5A£）=a,AO=——a>SBDEF=a~,

2

326

21.（本小题满分12分）

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表（单位:

人）:

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率;

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学Ai,A2,小，A*4.3

名女同学B2,&.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求4被选中且8未

被选中的概率.

解(1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件A,

8+2+51

贝ljP(A)=农=y

所以该同学至少参加上述一个社团的概率为;.

⑵从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有：(Ai,Bi),(Ai,&),(4,

B3),(A2,Bl),(A2,B2),(A2,B3),(A3,Bl),(A3,B2),(A3,83),(A4,Bl),(A4,82),(A4,

ft),(A5,Bl),(A5,&),(A,B3),共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的.其

中4被选中且B未被选中的有(Al,82),(Al,&)共2个，所以4被选中且B未被选中的概

2

率为P=F

22.(本小题满分12分)

如图所示，正四棱锥P-ABCD中，0为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为亚

2

(1)求侧面PAD与底面A6CZ)所成的二面角的大小；

(2)若七是A?的中点，求异面直线与AE所成角的正切值;

（3）问在棱AO上是否存在一点F，使EEJ_侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理

由.

【答案】（1）60°；（2）*0；（3）点尸为A£＞的四等分点.

5

【解析】

（1）取中点M，设「。_1面43。。，连则NPMO为二面角的平面角，

利用解直角三角形可求其正切值.

（2）连OE,则NOE4为异面直线PO与AE所成的角，根据勾股定理求得PO,进而求得OE后可求

tanNOEA的值.

（3）可证点F为AD的四等分点.

（1）取中点M，设PO_L面A3CD，连MO,MP,

则ZPMO为二面角的平面角，

NP4。为侧棱PA与底面ABCO所成的角，tanZPAO=—，

2

J2RPOr

设AB=a,AO=J”，PO=AOtanZPAO=—a.tanZPMO=--=V3,

22MO

ZPMO=60°.

（2）连OEQEHPD,NOE4为异面直线P£）与AE所成的角.

因为AO_L3Z),AO，PO,BDC\PO^O,所以AO,平面PBD.

。£(=平面尸8£>,所以AO_LOE.

OE=-PD=-yjPO2+DO2=—a,

224

..AO_2y[lQ

,*tan/—AEO=----=------。

EO5

(3)延长MO交8C于N,取PN中点G，连EG、MG.

因为BCLMN,BC±PN,MNcPN=N,

故BC_L平面PMV,因BCu平面PBC,

故平面PMN_L平面P8C,

又PM=PN,4PMN=60°，故\PMN为等边三角形，

所以MG_LPN,由MGu平面MGLPN,故8C_LMG

因为BCCPN=N,所以MG,平面PBC.

取AM的中点/，EG/IMF,：.MF=LMA=EG,

2

J.四边形EGMF为平行四边形，所以MG//EF

:.EF上平面PBC.即F为四等分点

【点睛】

本题考查考查空间中的垂直关系以及空间角的计算，解题时注意三种垂直关系的转化，空间角的计算需构造空

间角，把空间角放置在可解的三角形中来讨论，本题为难题.

高一暑假综合复习题（二）

--选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知加，〃是实数，«,〜是向量，则下列命题中正确的为（）

（T）m（a-b）=ma-mb；②（m-n）a=ma-na；③若ma=mb,贝a=；④若ma=na,贝m=

n.

A.①④B.①②C.①③D.③④

2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件

正品

3-若（x-i）i=y+2i,x,y€R,贝复数x+>i=（）

A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i

4.已知向量a=（l,2）,b=Q,-3）,若向量c满足（c+a）//6cl（a+》），则c等于（）

7生7/7

--|

BC1一§

39D.\9

5.已知直线/,m,平面%B，下列命题正确的是（）

A.mill,IIIa=>mIIaB.III/3,mII£,lUa,mUa=>aII。

C.IIIm,lUa,mU60ali0D.III°,mII°,lUa,mU。，lC\m=IIP

6.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面

的情况，计划采用比例分配的分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽

取学生（）

A.30人，30人，30AB.30人，45人，15人

c.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

&+

6caABAC1n.

7.已知非零向量A3与AC满足'BC=0,且t.»=)，贝I△

\AB\\AC\"

ABCM)

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等

三角形D.等边三角形

8.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为兀，则球的

面积为（）

8兀32兀8二兀

A.yB.D.3

9.如图，等边三角形A3C的边长为1,8C边上的高为A。，沿AO把△ABC折起来，则下

列结论不正确的是（）

A.在折起的过程中始终有A。！平面C

B.三棱锥A-OB'C的体积的最大值为浙

C.当/"。。=60。时，点4至42C的距离为呼

D.当NB'。。=90。时，点。到平面4。夕的距离为

10.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作掷骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数

为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比

赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏,

下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）

A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张

C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张

11.已知正四棱柱ABC。-AiBGOi中，AB=2,CCi=2®E为的中点，则直线AG与

平面的距离为（）

A.1B.仍C.\[2D.2

12.若平面向量£、二"两两的夹角相等,且同=1,忖=1,口=4,则悔+办一书（）

A.0B.6C.0或新D.0或6

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)

13.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问

题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问

题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分

的概率是一.

14.已知向量。=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若aIIb,(a+b)l.(b-c),M(x,y),

N(y,x),则向量疝V的模为一.

15.若复数z满足为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为

16.在某点8处测得建筑物AE的顶端A的仰角为仇沿8E方向前进30m至点。处测得顶

端A的仰角为2氏再继续前进10小m至。点，测得顶端A的仰角为4仇则。等于—.

三.解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

设关于x的方程是'-(tan0+i)x-(2+i)=0,

(1)若方程有实数根，求锐角。和实数根；

(2)证明对任意OWE+界€Z),方程无纯虚数根.

()12345678910射靶次数

18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别

为用b,c,且cos(A-8)cos8-sin(4-8)sin(A+C)=-不

⑴求sinA的值;

⑵若。=4蛆，b=5,求向量前在册上的投影向量的长度.

19.(本小题满分12分)

甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如下图所示.

⑴填写下表：

平均数方差中位数命中9环及以上

甲71.21

乙5.43

P

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:

①从平均数和方差结合分析偏离程度；

②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些;

③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些；AH

④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.

20.(本小题满分12分)

如图，PD1平面ABC。，四边形ABC。是矩形，PD=DC=2,BC=2y[2.

(1)求「8与平面ADC所成的角的大小;

(2)求异面直线PC,BO所成角正弦值.

21.(本小题满分12分)

某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入

下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、

四轮的问题的概率分别为060.4,0.5,02已知各轮问题能否正确回答互

不影响.

(1)求该选手被淘汰的概率；

(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率.

22.(本小题满分12分)

如图，在圆锥中，已知P。！底面。。，PO=®。。的直径A8=2,。是AB的中

点，。为AC的中点.

(1)证明：平面P。。！平面出C；

⑵求二面角B-PA-C的余弦值.

高一暑假综合复习题（二）

--选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知〃"〃是实数，明〜是向量，则下列命题中正确的为（）

①-b）=ma-mb；②（加一〃）a=ma-na；③若ma=mb,贝a=；④若ma=na,贝

m=n.

A.①④B.①②

C.①③D.③④

答案B

解析①②显然正确.③中当机=0时，对于任意两向量a,b,〃m=〃力都成立，但不

一定有。=仇故③错误.④中当。=0时，不成立.故选B.

2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

答案B

解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含

有1或0件次品，即至多有1件次品.

3.若(x—i)i=y+2i,x,y€R,则复数x+>i=()

A.—2+iB.2+i

C.1-2iD.1+2i

答案B

解析(x—i)i=y+2i即xi+1=y+2i,

故y=l,x=2,所以复数x+yi=2+i.

4.已知向量a=(l,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)//A,c_L(a+)),则c等于()

答案D

解析设c=(x,y),贝ljc+a=(1+x,2+y),a+b=(3,-1),由已知可得

2(2+y)+3(x+1)=0,

.3x_y=0,

7

x=

9177、

解得7即c=9,-3>

y31

5.已知直线/,m,平面a,仇下列命题正确的是（）

A.mII/,/IIa=>mIIa

B.III£,mII£,lUa,mUa今aII（J

C./IIm,lUa,mUgaH0

D.Z///?,mIIfi,lUa,根Ua,lC\m=M^aII[i

答案D

解析A中，机可能在a内，也可能与a平行；B中，a与夕可能相交，也可能平行；C

中，a与夕可能相交，也可能平行；D中，平面a内的两条相交直线/，机分别与平面厂平行,

依据面面平行的判定定理可知a//夕.故选D.

6.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某

方面的情况，计划采用比例分配的分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分

别抽取学生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

答案B

n0（）1

解析先求抽样比耳=3600+5400+1800=而,再各层按抽样比分别抽取，则甲校抽取

3600X击=30（人），乙校抽取5400X卷=45（人），丙校抽取1800X卷=15（人），故选B.

&+\-BC=O,且丹•¥=；,则△48。为（）

7.已知非零向量油与流满足

J油\AB\\AC\"

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

答案D

解析¥+空•就=0,二/A的平分线所在的向量与求垂直，所以△ABC为等腰

l|AB|\AC\)

_AC1.•.cosA=；,「./Aq故△ABC为等边三角形.

二角形.又二-,二~=5,

\AB\\AC\"

8.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为兀，则球的表面积为()

答案C

解析设球的半径为R,则截面圆的半径为南二L...截面圆的面积为5=兀巾_1)2

=(/?2-1)71=71,；.R2=2,...球的表面积5=4兀/?2=8兀

9.如图，等边三角形ABC的边长为1,边上的高为AD,沿A。把AABC折起来,

则下列结论不正确的是()

ir

A.在折起的过程中始终有AD1平面C

B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为赤

C.当/"。。=60。时，点4至1）2C的距离为享

D.当NB'。。=90。时，点。至4平面4。夕的距离为1g

答案D

解析因为A。！。。，ADVDB',且。CCDB'=D,所以A。！平面OB'C,故A正

确；当DB'10C时，△。夕C的面积最大，此时三棱锥A-D8'C的体积也最大，最大值

为之又坐浅,故B正确；当/"OC=60。时，△£）夕C是等边三角形，设"C

的中点为E,连接AE,。瓦则AE18'C,即AE为点A到夕。的距离,AE=+

=乎，故C正确；当NB'。。=90。时，CD1DB',CD1AD,故。。1平面,则

C。就是点C到平面AO"的距离，CD=1,故D不正确.

10.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作掷骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的

点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分,先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比

赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏,

下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）

A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张

C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张

答案A

解析由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为:，即甲、乙每局得分的概率相等,

所以继续游戏甲获胜的概率是:+3x；=],乙获胜的概率是:=：•所以甲得到的游戏牌为

31

12X^=9（张）,乙得到的游戏牌为12X4=3（张）,故选A

11.已知正四棱柱ABC。-中，AB=2,CCi=2巾,E为C。的中点，则直线AG

与平面8即的距离为（）

A.1B.小

C.yf2D.2

答案A

解析如图，连接AC交BD于点。.在△CGA中，易证OEIIAG.又OEU平面BDE,

AOQ平面BDE,：.AC\II平面BOE,直线ACi与平面BED的距离为点A到平面BED的距

离.连接AE.在三棱锥E—中，VEJBD=；SyBoXEC=；xTx2X2x6=¥.在三棱锥

A-BOE中，BD=2®BE=y[6,DE=46,J.S^EBD=2/义（祈>-（啦>=2啦.设点A

到平面8即的距离为4,则以一BDE=1^EBDX%=gx26X%=¥〃=¥，解得/?=1,故选

A.

12.若平面向量入入"两两的夹角相等,且同=1,忖=1,『|=4,贝IJ悔+26-4=()

A.0B.6C.0或#D.0或6

【答案】D

【解析】

分两种情况讨论：(1)三个向量£、B、2的夹角均为0'；(2)三个向量£、5、"的夹角均

为120。.利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.分以下两种情况讨论：

(1)三个向量外B、"的夹角均为0。，则悭+2石一相2问+2忖第=0；

(2)三个向量£、b、2的夹角均为120。，则a-c=>c=lx4x1_g)=_2,a石=/=-g,

以,12a+2b—c|-=4a~+4/>"+c"+8a-b—4a-c—Ab,c=4+4+16—4+8x2=36,

.1.|2a+2^-c|=6.

综上所述，|2£+2B_q=0或6.

故选：D.

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)

13.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三

个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三

个问题的概率分别为080.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于

300分的概率是—.

答案0.46

解析设“同学甲答对第i个题”为事件A(i=1,2,3),则P(4)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)

=0.5,且4,A2,4相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件(AIA2A3)U(AMM3)U

(ZIA2A3)发生，故所求概率为P=P[(A1A2A3)U(A12A3)U(।A2A3)]

=PG41AM3)+P(AiA2A