广东省佛山市南海区罗村高级中学2024-2025学年高一下学期段测一（3月） 数学试题（含解析）

罗村高级中学2024—2025学年度第二学期高一年级数学科段测一（必修一5.5，5.6，5.7必修二6.1，6.2，6.3）考试题（全卷共4页）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解.【详解】因为，且，所以，即.故选：D2.设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】D【解析】【分析】运用共线向量的知识可解决此问题．【详解】根据题意得，2（）=,由共线向量基本定理知与共线，因此不能作为基底；故选D．【点睛】本题考查平面向量基本定理的简单应用．3.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的倍角公式化简，并根据进一步化简.详解】，故选：D4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的公式列出方程组求解即可.【详解】因为所以则故选：D.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解.【详解】．故选：B.【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于基础题.6.已知，，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解.【详解】由①，以及，对等式①两边取平方得，②，故A正确；因为，所以，所以由②可得，所以，故B正确；所以③，故C错误；①③联立解得，所以，所以，故D正确．故选：C．7.在中，，边上的高等于，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由边上的高等于，根据勾股定理求出，然后再利用余弦定理即可求解.【详解】设边上的高为，因为边上的高等于，，所以，，，所以由勾股定理可得，所以由余弦定理得.故选：B.8.已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】由题可知，是该函数的周期的整数倍，根据可得答案.【详解】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为．故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（）A.若，则与方向相同B.若，则与方向相反C.若，则与有相等的模D.若，则与方向相同【答案】ABD【解析】【分析】根据向量共线的特征进行求解.【详解】根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当与不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有.当与同向时有，反之也成立；当与反向时有，，反之也成立.故选:ABD.10.要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍B.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍C.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度D.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度【答案】AD【解析】分析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x)，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x)．也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)．故选：AD．11.下列四个等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对A，，利用两角和的正切公式化简求解；对B，利用二倍角正弦公式，再转化为齐次式弦化切求解；对C，利用二倍角余弦公式求解；对D，通分，再利用两角差的正弦公式化简即可.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分12.已知点，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．【答案】【解析】【分析】确定，再根据公式计算投影向量即可.【详解】，向量在向量上的投影向量坐标为.故答案为：13.函数的图象如图所示，则__________【答案】【解析】【分析】依据图象求周期可得，代坐标求，即可求得结果.【详解】根据图象可知，且，所以，解得，又图象过点，所以，即，解得，又，所以，可得故答案为：14.将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___.【答案】【解析】【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可.【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，因，且，则，由题意可得：，解得，所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，，求与的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得；（2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得.【小问1详解】由题意，因为，则，得，则，所以；【小问2详解】由已知，又，，所以，得，则，，故．16.已知，，、.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出和的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值；（2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值.【详解】（1）且，.，，因此，；（2）由（1）知，，且，，，、，，因此，.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了给值求角，涉及二倍角正弦公式和余弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.17.已知函数的最大值为1.（1）求常数的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使成立的实数的取值集合.【答案】（1）（2）.（3）【解析】【分析】（1）化简，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；（3）运用正弦函数图像，即可求解.【详解】解：.（1）函数的最大值为，所以.（2）由，解得，所以的单调递增区间为.（3）由（1）知.因为，即.所以，所以.所以，所以使成立的的取值集合为.【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要（参考数据）（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案.（2）将数据代入解析式计算得到答案.（3）计算，，相减得到，计算最值得到答案.【小问1详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，.【小问2详解】当时，所以，所以游客甲在开始转动后距离地面的高度约为.【小问3详解】如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，因为，所以.当时，h的最大值为.所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.19.如图，已知直线．垂直于直线、，．点是的中点，是上一动点，作，