2024高考高考数学二轮复习小题专练作业十六导数的简单应用理

PAGEPAGE1小题专练·作业(十六)导数的简洁应用1．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0解析y′＝cosx＋ex，故曲线在点(0,1)处的切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0。故选C。答案C2．已知函数f(x)＝eq\r(x)＋1，g(x)＝alnx，若函数f(x)与g(x)的图象在x＝eq\f(1,4)处的切线平行，则实数a的值为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．4解析由题意知，当x＝eq\f(1,4)时两个函数的导数值相等。因为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)，所以1＝4a，即a＝eq\f(1,4)。故选A。答案A3．(2024·沈阳质量监测)设函数f(x)＝xex＋1，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的微小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的微小值点解析由题意得，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1为f(x)的微小值点。故选D。答案D4．若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为()A．3 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析设底面正方形的边长为a，四棱锥的高为h，其外接球的半径为R，因为eq\f(1,3)a2h＝9，所以a2＝eq\f(27,h)，又因为R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＋(h－R)2，所以R＝eq\f(27,4h2)＋eq\f(h,2)。令f(h)＝eq\f(27,4h2)＋eq\f(h,2)，h>0，所以f′(h)＝－eq\f(27,2h3)＋eq\f(1,2)，可知f(h)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(h)min＝f(3)，即当h＝3时，R最小，从而其外接球的体积最小。故选A。答案A5．(2024·南昌调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对随意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则()A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)解析依据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又对随意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)。故选A。答案A6．(2024·湖北部分重点中学一联)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)e2x＋(a－e)ex－aex＋b(a，b∈R)(其中e为自然对数底数)在x＝1处取得极大值，则a的取值范围是()A．a<0 B．a≥0C．－e≤a<0 D．a<－e解析因为f(x)＝eq\f(1,2)e2x＋(a－e)ex－aex＋b，所以可得f′(x)＝e2x＋(a－e)ex－ae＝(ex＋a)(ex－e)。当a≥0时，由f′(x)>0可得f(x)在(1，＋∞)上递增，f′(x)<0得f(x)在(－∞，1)上递减，所以f(x)在x＝1取得微小值，无极大值，不符合题意；当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝1或ln(－a)，只有当ln(－a)>1，a<－e时，由f′(x)>0可得f(x)在(－∞，1)，(ln(－a)，＋∞)上递增，f′(x)<0，得f(x)在(1，ln(－a))上递减，f(x)在x＝1取得极大值，所以函数f(x)＝eq\f(1,2)e2x＋(a－e)ex－aex＋b(a，b∈R)(其中e为自然对数底数)在x＝1取得极大值，则a的取值范围是a<－e。故选D。答案D7．(2024·陕西质量检测)若直线2x－y＋c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝________。解析由x2＝4y，可得y′＝eq\f(x,2)，由于直线2x－y＋c＝0的斜率k＝2，因此令eq\f(x,2)＝2，得x＝4，代入x2＝4y得y＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c＝0，故c＝－4。答案－48．(2024·湖北重点中学协作体联考)x＝－1为函数f(x)＝eq\f(2,3)x3－ax2的一个极值点，则函数f(x)的微小值为________。解析因为f(x)＝eq\f(2,3)x3－ax2，所以f′(x)＝2x2－2ax。因为x＝－1为函数f(x)＝eq\f(2,3)x3－ax2的一个极值点，所以f′(－1)＝2＋2a＝0，解得a＝－1。当a＝－1时，f′(x)＝2x2＋2x＝2x(x＋1)。所以当x<－1或x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减。所以当x＝0时，f(x)有微小值，且微小值为f(0)＝0。答案09．(2024·福建三校联考)已知函数f(x)＝ax2－xlnx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上单调递增，则实数a的取值范围是________。解析f′(x)＝2ax－lnx－1≥0，解得2a≥eq\f(lnx＋1,x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上恒成立，构造函数g(x)＝eq\f(lnx＋1,x)，g′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx＋1,x2)＝eq\f(－lnx,x2)＝0，解得x＝1，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)＝1，所以2a≥1，a≥eq\f(1,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))。答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))10．(2024·山西二模)当x>1时，不等式(x－1)ex＋1>ax2恒成立，则实数a的取值范围是________。解析当x>1时，不等式(x－1)ex＋1>ax2恒成立，所以不等式a<eq\f(x－1ex＋1,x2)在(1，＋∞)恒成立，设f(x)＝eq\f(x－1ex＋1,x2)，f′(x)＝eq\f(x2ex－2x－1ex－2,x3)，因为x2ex－2(x－1)ex－2＝ex(x2－2x＋2)－2＝ex[(x－1)2＋1]－2>0恒成立，所以f′(x)>0在(1，＋∞)恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min>f(1)＝1，所以a≤1。答案(－∞，1]11．(2024·西安八校联考)曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O为原点)是以∠A为顶角的等腰三角形，则切线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析解法一：因为y＝x3，所以y′＝3x2。设点B(x0，xeq\o\al(3,0))(x0≠0)，则kl＝3xeq\o\al(2,0)，所以切线l的方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)。取y＝0，则x＝eq\f(2,3)x0，所以点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x0，0))。易知线段OB的垂直平分线方程为y－eq\f(x\o\al(3,0),2)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))，依据线段OB的垂直平分线过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x0，0))可得－eq\f(x\o\al(3,0),2)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x0－\f(x0,2)))，解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(\r(3),3)，所以kl＝3xeq\o\al(2,0)＝eq\r(3)，故切线l的倾斜角为60°。故选C。解法二：因为y＝x3，所以y′＝3x2。设点B(x0，xeq\o\al(3,0))(x0≠0)，则kl＝3xeq\o\al(2,0)，所以切线l的方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)。取y＝0，则x＝eq\f(2,3)x0，所以点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x0，0))。由|OA|＝|AB|，得eq\f(4x\o\al(2,0),9)＝eq\f(x\o\al(2,0),9)＋xeq\o\al(6,0)，又x0≠0，所以xeq\o\al(2,0)＝eq\f(\r(3),3)，所以kl＝3xeq\o\al(2,0)＝eq\r(3)，故切线l的倾斜角为60°。故选C。答案C12．(2024·陕西质检)若函数f(x)＝ax－x2－lnx存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln2，则a的取值范围为()A．[2，＋∞) B．[2eq\r(2)，＋∞)C．[2eq\r(3)，＋∞) D．[4，＋∞)解析f′(x)＝a－2x－eq\f(1,x)＝－eq\f(2x2－ax＋1,x)，因为f(x)存在极值，所以f′(x)＝0在(0，＋∞)上有根，即2x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有根。记方程2x2－ax＋1＝0的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(1,2)，x1＋x2＝eq\f(a,2)，易知a>0，方程有两不等正根，由Δ>0，得a>2eq\r(2)，所以f(x1)＋f(x2)＝(ax1－xeq\o\al(2,1)－lnx1)＋(ax2－xeq\o\al(2,2)－lnx2)＝a(x1＋x2)－(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))－(lnx1＋lnx2)＝eq\f(a2,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－1))＋ln2≥4＋ln2，所以a≥2eq\r(3)。综上，a的取值范围为[2eq\r(3)，＋∞)。故选C。答案C13．(2024·四川德阳模拟)方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，假如函数g(x)＝lnx的“新驻点”为a，那么a满意()A．a＝1 B．0<a<1C．2<a<3 D．1<a<2解析因为g′(x)＝eq\f(1,x)，所以lnx＝eq\f(1,x)的根为a。设h(x)＝lnx－eq\f(1,x)，则h(x)在(0，＋∞)上为增函数。又h(1)＝－1<0，h(2)＝ln2－eq\f(1,2)＝ln2－lneq\r(e)>0，所以h(x)在(1,2)上有唯一零点，所以1<a<2。答案D14．(2024·成都七中一诊)设函数f(x)＝eq\f(x2＋1,x)，g(x)＝eq\f(x,ex)，对随意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式eq\f(gx1,k)≤eq\f(fx2,k＋1)恒成立，则正数k的取值范围是________。解析对随意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式eq\f(gx1,k)≤eq\f(fx2,k＋1)恒成立，等价于eq\f(gx1,fx2)≤eq\f(k,k＋1)恒成立，f(x)＝eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号，即f(x)的最小值是2，由g(x)＝eq\f(x,ex)，则g′(x)＝eq\f(ex－xex,ex2)＝eq\f(1－x,ex)，由g′(x)>0得0<x<1，此时函数g(x)为增函数，由g′(x)<0得x>1，此时函数g(x)为减函数，即当x＝1时，g(x)取得极大值同时也是最大值g(1)＝eq\f(1,e)，则eq\f(gx1,fx2)的最大值为eq\f(\f(1,e),2)＝eq\f(1,2e)，则由eq\f(k,k＋1)≥eq\f(1,2e)，得2ek≥k＋1，即k(2e－1)≥1，则k≥eq\f(1,2e－1)。答案eq\