2024-2025学年高中数学第二章平面向量第2节平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义课下能力提升十四含解析新人教A版必修4

PAGEPAGE1课下实力提升(十四)[学业水平达标练]题组1求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b.则＝a＋b.2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.题组2向量加法运算3.如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．＋＋＝0B．－＋＝0C．＋－＝0D．－－＝0解析：选A因为D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以＝，＝.又因为＋＋＝0，所以＋＋＝0，故选A.4．化简下列各式：①＋＋；②(＋)＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋.其中结果为0的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B由向量加法的运算法则知①④的结果为0.②③的结果分别为，.故选B.5．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于()A．2eq\r(5)B．4eq\r(5)C．12D．6解析：选B因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4eq\r(5).6．依据图示填空．(1)＋＝________；(2)＋＋＝________；(3)＋＋2＝________.解析：由三角形法则知(1)＋＝＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋2＝＋.答案：(1)(2)(3)＋7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.解析：因为＋＝0，＋＝0，所以＋＋＋＝0.答案：08．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，依据图示计算：(1)＋；(2)＋；(3)＋.解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以＋＝.(2)因为与方向相同且长度相等，所以与是相等向量，故＋与方向相同，长度为长度的2倍，因此＋可用表示．所以＋＝－.(3)因为与长度相等且方向相反，所以＋＝0.题组3向量加法的应用9．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8eq\r(2)km，∠BAC＝45°.答案：8eq\r(2)km北偏东45°10．雨滴在下落肯定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s，现在有风，风使雨滴以eq\f(4\r(3),3)m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度．在Rt△OAC中，||＝4，||＝eq\f(4\r(3),3)，∴||＝eq\r(|OA→|2＋|AC→|2)＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2)＝eq\f(8\r(3),3)，∴tan∠AOC＝eq\f(|AC→|,|OA→|)＝eq\f(\f(4\r(3),3),4)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠AOC＝30°.故雨滴着地时的速度大小是eq\f(8\r(3),3)m/s，方向与垂直方向成30°角向东.[实力提升综合练]1．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤解析：选Ca＝(＋)＋(＋)＝＋＋(＋)＝0，∴①③⑤是正确的．2．下列命题中正确的个数为()①假如非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；②△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C肯定为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.A．0B．1C．2D．3解析：选B①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是随意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满意＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝()A．B．C．D．解析：选B＋＋＝＋＋＝＋＝.4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满意＋＝，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D＋＝，依据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．5．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.解析：∵||＝||且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以OA，OB为邻边的正方形的对角线的长，∴|a＋b|＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)6．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.解析：∵＋＝，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，∴||＝||＝||.因此∠ACB＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|＋|与|＋|.解：∵＋＝＋＝0，∴＝，＝.∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．又cos∠DAB＝eq\f(1,2)，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝eq\r(3)，|＋|＝||＝||＝1.8．已知船在静水中的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，假如船从岸边动身沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，||＝