2024年-2025年人教A版高一上学期期末复习解答题压轴题专练（范围：第四、五章）（原卷版）

第第页高一上学期期末复习解答题压轴题十五大题型专练（范围：第四、五章）【人教A版（2019）】题型1题型1指数式的给条件求值问题1．（1）求值：164（2）已知x+x−1=42．化简并求值．(1)若a=2，b=4，求a+3(2)设a=20231n3．（1）计算:14（2）若a+a①a②a4．求下列各式的值.(1)若3a=2,3(2)已知3a2+b=1，求(3)若a=2−1(4)若a=2.5,b=20，求题型2题型2指数型复合函数的应用5．已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图像经过点(1)求函数y=a(2)求函数y=a2x−4ax6．已知f(x)=3x+a(1)求a的值；(2)解关于x的方程2f(x)+2(3)若存在区间m,n（m<n），使得函数y=f(x)+t在m,n上的值域为3m,37．已知双曲函数f(x)=2x+(1)证明：f(2)判断函数g(x)的单调性（不用证明），并解关于x的不等式g(9(3)若∀x≥1，不等式a⋅g(x)≥f(x)+12成立，求实数8．设函数f（x）=ax−2ka−x（a>0(1)求k和a的值;(2)判断f(x)的单调性（无需证明），并求关于m的不等式f(m+1)+f−m2(3)已知函数g(x)=a2x+题型3题型3带附加条件的指、对数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示9．（1）若a+a−1=3（2）已知log32=a，log37=b，试用a，10．设a>0，b>0，(1)loga(2)loga(3)计算：若xlog23=211．化简或计算下列各式：(1)2(2)已知lg2=a,lg3=b，用a，(3)已知a12+12．已知2（1）求a2−b（2）求4a+1题型4题型4对数型复合函数的应用

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平面向量线性运算的坐标表示13．已知函数fx=logax+1(1)判断fx(2)若a>1，判断fx(3)当fx的定义域为1,a时，fx的值域为1,+∞14．已知非常数函数f(x)=log19(1)求实数a,b的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)已知g(x)=m⋅4x−2x+215．已知函数fx(1)若m=0，求fx(2)若fx的定义域为R，求实数m(3)若fx的值域为R，求实数m16．已知函数fx(1)若函数fx为奇函数，求实数m(2)求函数fx(3)求函数fx(4)若关于x的不等式fx<lne1题型5题型5指数、对数函数的实际应用

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平面向量线性运算的坐标表示17．某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的23时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的19(1)求每年捕捞的鱼的数量的百分比.(2)到今年为止，该水库已捕捞了多少年?(3)今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年?18．鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为t(x)=e(1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）参考数据：lg19．金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100∘C的水泡制，待茶水温度降至60∘时间/012345水温/1009182.978.3772.5367.27设茶水温度从100∘C经过xmin后温度变为y∘C，现给出以下三种函数模型：①y=cx+b(c<0,x≥0)(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间；(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：lg3=0.48,20．铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用95°C的水冲泡，等茶水温度降至60°C饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：°C时间t/分钟012345水温y95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)给出下列三种函数模型：①y=at+b(a<0)，②y=a⋅bt+c(a>0,0<b<1)(2)根据（1）中所求模型，（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；（ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.（参考数据，lg3≈0.477,题型6题型6函数零点（方程根）及其个数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．已知函数f（x），对于任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)当−8≤x≤10时，求函数f(x)的最大值和最小值；(3)设函数g(x)=fx2−m−2f(|x|)，若方程22．函数f(x)=(1)当m=−1时，求函数f(x)零点(2)函数f(x)有两个零点，求m的取值范围；(3)函数f(x)在(−1,3)上有两个零点，求m的取值范围；23．已知函数f(x)=ln(1)求函数f(x)的零点；(2)g(x)=f(x)−a若函数g(x)有四个零点，求a的取值范围；(3)在（2）的条件下，记g(x)得四个零点从左到右分别为x1，x2，x3，x24．已知函数f(x)=x−a−3(1)若a=1，求关于x的方程f(x)=1的解；(2)若关于x的方程f(x)=2a有三个不同的正实数根x1，x2，（i）求a的取值范围；（ii）证明：x1题型7题型7弧长公式与扇形面积公式的应用

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平面向量线性运算的坐标表示25．已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l．(1)若α=45°，r=10cm，求扇形的弧长l(2)已知扇形的周长为10cm，面积是426．如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）展台，AD=4米．(1)若∠COD=2π3(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．27．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L(α>0)．(1)已知扇形的周长为10cm，面积是4(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α28．如图，点A，B，C是圆O上的点．(1)若∠ACB=π6，AB=4cm，求扇形AOB(2)若扇形AOB的面积为10cm2，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时题型8题型8同角三角函数的基本关系

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平面向量线性运算的坐标表示29．（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2−x−2=0（2）已知sinα−cosα=1230．已知sinα+(1)求tanα(2)求sinα(3)若0<α<π，求sin31．已知函数f(x)=1+sinx1−(1)求2sin(2)求cos432．已知x∈0,(1)若tanxtanx−1(2)若sinx+cosx=题型9题型9诱导公式的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示33．已知α为第二象限角，fα(1)化简fα(2)若sinα=1534．如图，以Ox为始边作角α与β0<β<π2<α<π，它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q

(1)求2cos(2)若OP⊥OQ，求P的坐标.35．在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点Pm,32，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B(1)求4sin(2)记点B的横坐标为fθ，若fθ−π36．解答下列问题：(1)计算sin−(2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x−y=0上，求sinπ题型10题型10三角函数的参数问题

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平面向量线性运算的坐标表示37．已知函数fx(1)若f5π6(2)若fx在区间0,π3上的值域为1,238．已知函数fx(1)当φ=π6时，函数fx在π(2)若fx的图象关于直线x=π4对称且f−π4=0，是否存在实数ω39．已知函数fx=2(1)若fx的最小正周期为2π，求(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在40．已知函数fx(1)若fx的图象经过点A3π4,0，Bπ4,2，且点(2)若f0=−1，且fx在5π9题型11题型11三角函数的图象与性质的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示41．已知函数fx=sin(1)求ω的值；(2)求fx(3)若x∈0,m,fx的值域是1,42．已知fx=sinωx+φω>0,φ<π2在π(1)求fx(2)若函数gx=fx−mm∈R在x∈0,π43．已知f(x)=2sin(x+φ)(φ∈(−π2,(1)求φ的值：(2)已知g(x)=2sin(x+φ2)，若对任意x∈[44．设a为常数，函数f(x)=−2sin(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在区间(0,π)上有两个不同的零点，求实数(3)当−1≤a≤1时，设n为正整数，f(x)在区间(0,nπ)上恰有2024个零点，求所有可能的正整数题型12题型12三角恒等变换的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示45．已知0<β<π2<α<(1)求cosβ+(2)求sinα−746．已知α,β为锐角，且sin2(1)求2sin(2)若cosα+β=147．已知π4≤α≤π2，π≤β≤(1)求5sin(2)求角β−α的值.48．已知α∈(0,π(1)若cos2β+cosβ=0，sin(2)证明：tanα+β题型13题型13由部分图象求函数的解析式49．设fx=Asinωxcosφ+Acosωxsin

(1)求A，φ；(2)再从以下三个条件中任选其一，使函数fx唯一确定，并求f条件①：MN=5；条件②：OM=550．已知函数f(x)=2(1)求函数f(x)的解析，并求出f(x)在0,π(2)若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称.求θ的最小值.51．已知函数fx

(1)求函数fx(2)若将fx的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的12（i）求gx的解析式及g（ii）求gx在0,52．已知函数f(x)=2cos(1)求f(x)的解析式；(2)若将f(x)图象上每一点的横坐标缩小到原来的12倍，得到函数g(x)，求g(x)在[题型14题型14函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用53．已知函数f(x)=cos(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若把y=f(x)的图像先向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=g(x)的图像，则当x∈[0,2π]时，求使得g(x)=254．已知函数fx(1)求函数fx(2)若函数fx向左平移φφ>0个单位后，所得函数gx（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数y=gx−mm∈R在区间55．已知函数fx=sinπ2(1)求ω的值及fx(2)将fx图象上的所有点的横坐标向右平移π4个单位长度（纵坐标不变），再向上平移34个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数gx的图象，若函数ℎx56．已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)+1−2(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，当x∈[−π题型15题型15三角函数的应用57．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为H

(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差ℎ（单位：m）关于t的函数解析式，并求t为何值时高度差ℎ最大．（参考公式：sinθ−sinφ=258．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置（即静止时的位置）的高度ℎ(cm)之间的函数关系式是

(1)以t为横坐标，ℎ为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)小球开始振动的位置在哪里？小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？(3)小球经过多长时间往复振动一次？小球1s59．校园里有个如图的半径为4，圆心角为π2的扇形花坛AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径OA，OB上.为美化校园，分别在四边形PMON，△PBN和△PMA(1)若种植红色牡丹的四边形PMON为矩形，求其面积最大值；(2)若种植黄色牡丹的△PBN和△PMA均为直角三角形，求它们面积