高三数学高考数学复习提升之数学考点讲解与真题分析（三角函数）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01任意角、弧度制以及任意角的三角函数

1.角的有关概念

［知识整理］

(1)从旋转方向角度看，角可分为正角、负角和零角.

(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角.

(3)若a与月是终边相同的角，则/3可用a表示为

S=划3:=①_________I-

(4)象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角\a\k-3600<a<90°+k-360°,AeZ

第二象限角la190。+h3600<a<180o+t-360°,JteZ!

笫：象限用|all800-3600<a<270o+Jt-360°,*eZ|

第四象限角|al2700+A-3600<a<360°+A-3(>DQ,keZ.\

【知峰理】

①a+*•360"cZ或a+2k-n.keZ

【小题微练】

1.-495。与下列哪个角的终边相同()

A.135°B.45°C.225°D.-225°

2.与1680。角终边相同的最大负角是__________

【小题微练】

1.C【解析】-495。=-2X360。+225。,所以与-495。角终边相同的是：225°.

故选：c0

2.-120【解析】1680°=5x360°-120°,与1680°角终边相同的最大负角是：

-120。故答案为：-120°

2.弧度制、弧长以及扇形的面积公式

［知识整理］

(1)1弧度的角：长度等于②的弧所对的

圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.

(2)角度与弧度之间的换算：360°=③

rad,180°=④ra<.l,n°=⑤rad,

arad二⑥,1rad»57°18,=57.3°.

(1)半径为r的圆中，弧长为/的弧所对圆心角的弧

度是⑦__________

(2)扇形半柱为r,圆心角的弧度数是a,则这个扇形

的弧长/=⑧,面积S=；/r=；

⑨___________周长二⑩__________.

【知耀理】

lolr

②梓M飙嗨⑥NT)]*®⑨图"⑩lai嬴

【小题微练】

1.已知。=亍，贝Ua的终边在()

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2..(2017春•平罗县校级月考)已知扇形的周长为20cm,当它的面积最大时，它的

圆心角的弧度数为.

【小题微练】

TT(\7Tf\1T

LB【解析】：-<—<7L,所以也是第二象限的角。

277

2.2;【解析】:•.扇形的周长为20,.J+2r=20,即1=20-2r,

.,扇形的面积S=ljr=A(20-2r)・r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

22

当半径r=5时，扇形的面积最大为25,此时，a=L=2(rad),

故答案为：2.

(1)定义：设角a终边与单位圆交于P(x,y),则

sina=,cosa=⑫.tana=

⑬.

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何

表示.1E弦线的起点都在x轴匕余弦线的起点都是原

点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段

仃分别叫做知a的⑭，⑮和

正切线.

【知识整理】

⑪>⑫*1。正强及⑮余依成

【小题微练】

3

1.角a的终边过点R-b,4）,且cosa=-二贝！|b的值是（）

(A)3(B)-3(C)±3(D)5

2.（2017春•杨浦区校级期中）若MP和OM分别是角”的正弦线和余弦线，则（）

6

A.MP<OM<0B.OM>0>MP

C.OM<MP<0D.MP>0>OM

【小题微练】

l.A;解析：r=扬+16,COSH-=.~H=--,解得b=3.

r扬+]65

2C【解析】：在单位圆中画出角口勺正弦线MP和余弦线0M,如图所示；则0M<

6

MP<0.故选：C.

施真题回放

1(2018年新课标ID文)若sina=w，贝！|cos2。=()

8778

A--c--

9B.9-9D.-9

【答案】B

【解析】cos2(7=1-2sin2(7=1-2x1=|.

2.(2018年新课标ID文)函数4X)=1IM*的最小正周期为()

A.7B.jC.nD.2n

【答案】c

sinx

tanxCOSX1

【解析】4*）=-----2^=sinACOSx=]sin2%所以的最小正周期为T=

1+tan2z

1+cos2%

3（2018年北京）在平面直角坐标系中，窥，CD,守,与盘圆〃+/=1上的四段弧（如

图），点P在其中一段上，角。以Ox为始边，OP为终边.若tana<cosa<sina,

则P所在的圆弧是（）

A.ABB.CDC.炉D.自7

【答案】C

【解析】A,在段，正弦线小于余弦线，即coso<sin。不成立，故A不满足条件;

B,在Q?段，正切线最大，则cosa<sina<tan.a,故B不满足条件；C，在守段，

正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tan。<cos。<sin。；D,在GH段,正切

线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosa<sina<tan。不满足tan。<cosa<sin

a.故选C.

重难考点突破

考点一：象限角与终边相同角（热度:**）

【考点微练】

1.（2018•薛城区期中测试）下列命题中正确的是（）

A.终边在x轴负半轴上的角是零角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若0=a+k・36O。（keZ），则a与0终边相同

1.D解：终边在x轴负半轴上的角是零角，例如-180°,不是零角，所以不正确；

第二象限角一定是钝角，是不正确的，例如：460。是第二象限角，但是不是钝角.

第四象限角一定是负角，不正确，也可以是正角，•例如：300。是第四象限角,是正角.

若B=a+k・360。（kwz）,则a与B终边相同，满足终边相同角的表示，正确.

故选：D.

2.（2018义乌市校级期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（）

A.{a-450<a<120°}

B.{a|120°<a<315°)

C.{a-45°+k»360o<a<120o+k»360°,keZ}

D.{a|120°+k»360o<a<315o+k«360°,keZ)

解：如图：终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{a|-45°+k.3600<a<

1200+k*360°,keZ}.故选:C.

3.若知0的终边可，角的终边相同，则在：0,2“）内终

边与号角的终边相同的角为.

修室红20n34n

口菜〒，亏，万~

解析=。=竿+2%p（AGZ）,/.-y=y:+

容（RwZ）.

依题意0W亨+<2IT=>-与Wk<^,keZ.

.•4=0,1,2,即在［0,2付）内终边与争相同的角为

2IT20n34IT

亍亏，亏.

【规律总结】

1.利用终边相同的南的集合S=10=2脑T+a,

△eZ1判断一个角口的终边所在的象限时，只需把

这个角写成「。,2h）范围内的一个南a与2廿的整数

倍的和，然后判断角a的终边所在象限.

2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的

向，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的

集合，然后通过对集合中的参数匕赋值来求得所

需角.

考点二：三角函数的定义及其应用（热度:****）

【典例印证】

例1.（2018•河南洛阳模拟）已知角a的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x-

3y=0（x<0）上，贝!|cosa-sina=.

解：角a的始边与x轴非负半轴重台,终边在射线4x-3y=0（x<0）±,不妨令x=-

_„._x3.y4EI.34

3,n则y=-4,，r=5,/.cosa=—=一一,sina=—=——,则cosa-sma=--+—=

r5r555

y,故答案为：y.

例2.已知角e的顶点为坐标原点，始边为X轴的正半轴，若p（4,y）是角0终边上一点,

且皿。=_型，贝uy=一—

5

解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第

四象限角。sin6=/y.=一挛=丁=一8。

也6+城5

【方法总结】

1.已知角a终边上一点，的坐标，可求角a的三角函

数值.先求。到原点的距离，再用三角函数的定义

求解.

2.已知角a的某三角函数值，可求角a终边上一点P

的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程

求参数值.

3.已知角a的终边所在的直线方程或角a的大小，根

据三角函数的定义可求角a终边上某特定点的

坐标.

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二

正弦、三正切、四余弦.

【考点微练】

1

设6是第三象限角，且cos^-=-co4,则等是

第___________象限角.

答案一

解析由0是第三象限角，得2船r+1T<0<2kTt+

竽(AwZ),则4宣+学<S<+手(&wZ)，故；

是第二或第四象限角，再由cosgwo可得？是第二

象限角.

2.

若角a的终边在直线y=-3x上，则lOsina+

3

—_______•

cosa

答案o

解析设角a终边上任一点为P(K-3外(*，0),则

r=JB+尸=y/k2+(-3k)1=141.

当*>0时，r=k.

.一3k31YlQkG

:.sina=--------=—:=v10.

师kyiocosak

/.lOsina+^—=-3/l0+3/10'=0.

cosa

当上<0时,r=一、/16k

-3k3Iy/lOk

sina=------------------------------=------:------=-\/17707.r

-/]0k、/IFCO8ak

///

/.lOsina+-^-=3vT0'-3vi0'=0.

cosa

综h.lOsina+—=0.

,，，।cosa

3.（2018•山东烟台高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角a的终边与单

位圆交于B点,且点B的纵坐标为丝.若将点B沿单位圆逆时针旋转工到达A点，则

132

点A的坐标为.

3—皆

【解析】：在平面直角坐标系xOy中，锐角a的终边与单位圆交于B点，且点B的纵

坐标为,.-5100=12,cosa=上，将点B沿单位圆逆时针旋转工到达A点，

1313132

点A的坐标A(cos(a+--),Sin(a+—))，即A(-sina,cosa),

-A(4tW-）,故答案为：（J2

考点三：扇形的弧长、面积公式以及应用（热度:**）

【考点微练】

1.（2018•孝义市校级期中）如果一扇形的弧长为n,半径等于2,则扇形所对圆心角

为（）

A.nB.2nrC.2LD.”

22

LC;解：■「一扇形的弧长为n,半径等于2，，扇形所对圆心角为2L.

2

故选：C.

2.（2018山东潍坊高三期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中

《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积-Lx（弦x矢+,矢2）,弧

田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长

与圆心到弦的距离之差，现有圆心角空_,半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算

3

所得弧田面积约是（我-1.73）（）

A.16平方米B.18平方米C.20平方米D.25平方米

2.C;解:如图,由题意可得：ZAOB=22L,0A=6,

3

在RtiAOD中,可得：ZA0D=2L,ZDAO=2L,()D=LO=LX6=3,

22

AD=AO•sin2L=6x返=3«

可得：矢=6-3=3,由,可得：弦=2AD=2x3«=6j^,

32

所以：弧田面积总（弦x矢+矢2）=1（6ax3+3,）=9后4.5*20,平方米.

故选：C.

【误区警示】注意在弧度制下产生的公式，遇到有关的角用角度制表示时，必须换为弧

度再使用公式。扇形弧长公式及面积公式是比较重要公式，首先明确/=RIa|与

S=；R2.|a|两个公式使用条件是a必须用弧度表示；再次掌握几种思想方法：记忆

S=时，可类比三角形的面积公式记忆；在弧长与面积公式中涉及四个量根据方

程思想，只需知道其中两个量，可以求其他两个。

2

【规律总结】在角度制下，弧长公式与扇形面积公式分别为：I慌;s=^；在弧

度制下,弧长公式与扇形面积公式分别为：/=Im/；S扇形=g/r=g|a|/.两者

相比，弧度制下的弧长与扇形面积公式更为简捷.

训练题：

基础小练

1.（2018•江门期末）在平面直角坐标系中，-1445。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.（2018•郑州校级期中）若扇形圆心角的弧度数为2,且扇形弧所对的弦长也是2,则

这个扇形的面积为（）

A.——B.——C.―i—D.——

•2-«•2Q2•«2Q

sm1sin2cos1cos2

3.（2018•历城区校级期中）点P从（1,0）点出发，沿单位圆x2+y2=l逆时针方向运

动工弧长到达Q点，则Q点坐标为（）

3

4.（2018•汪清县校级月考）把-1485。化为a+2kn（keZ,0<a<2n）的形式是

（）

A.2L-8nB.-In-8nC.-2L-10nD.-In+lOn

4444

5.

在与2010。角终边相同的角中,绝时值最小的角的弧

度数为__________.

已用角a的终边落在直线y=-3x（x<0）上，则

IsinalIcosaI

:--_________

6.sinacosa

综合进展

若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，

则其圆心角a的弧度数为（）

A.千B./C.AD.2

12知角a的终边经过点(3a—9,a+2),且cosaWO,

sina>0,则实数。的取值范围是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

8.C.[-2,3)D.--2,3]

10.若角a的终边与角工的终边关于直线y=x对称，且ae(-4n,-2n),则&=

6

设a是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且

cosa=—x,则tana-_________.

11.5

12.

如图所示，已知扇形AOB的圆心角LAOB为120。,

半径长为6,则阴影部分的面积是_________.

已知sina<0,tana>0.

(1)求a角的集合；

(2)求-会终边所在的象限；

⑶试判断tan-y-sin-y-cos年的符号.

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01任意角、弧度制以及任意角的三角函数

基础知识梳理

1.角的有关概念

［知识整理］

(1)从旋转方向角度看,角可分为正角、负角和零角.

(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角.

(3)若a与0是终边相同的角，则0可用a表示为

S=\fi\p-ClI•

(4)象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角\a\k-3600<«<900+4-360。,*eZ}

第二象限角|al9O°+Z;•360。<£»<180。+八360o,AeZ(

第.象限角|al180°+k-360。<a<270。+A-360°,AeZ|

第四象限角|al2700+k-3600<«<360°+JI-36O0,ieZ|

【知识整理】

①a,k•360。./：二Z或a+2kp.kcZ

【小题微练】

1.-495。与下列哪个角的终边相同()

A.135°B.45°C.225°D.-225°

2.与1680。角终边相同的最大负角是

【小题微练】

l.c【解析】-495。=-2x3600+225。，所以与-495。角终边相同的是：225°.

故选：C。

2.-120【解析】1680°=5x360°-120°,与1680。角终边相同的最大负角是：

-120。故答案为:-120°

2.弧度制、弧长以及扇形的面积公式

［知识整理］

(1)1弧度的角：长度等于②的弧所对的

圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.

(2)角度与弧度之间的换算：360°=③

rad,180°=④;ra<.l,n°=⑤.rad,

arad=⑥,1rad»57°I8,=57.3°.

(1)半径为r的圆中，弧长为/的弧所对圆心角的弧

度是⑦__________

(2)扇形半柱为r,圆心角的弧度数是a,则这个扇形

的弧长/=⑧,面积S=；/r=；

⑨___________周长二⑩__________.

【知识整理】

②半径③2“融斜"⑥[{.)]⑦⑧lair⑨lai,rl⑩2r

【小题微练】

1.已知。=亍，则a的终边在()

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2..(2017春•平罗县校级月考)已知扇形的周长为20cm,当它的面积最大时，它的

圆心角的弧度数为

【小题微练】

TT6464

1.B【解析］：-<—<71,所以吧是第二象限的角。

277

2.2;【解析】：\•扇形的周长为20,.J+2r=20,即1=20-2r,

二扇形的面积S=ljr=l(20-2r)-r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

22

当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时，a=l=2(rad),

r

故答案为：2.

0

3..任意角的三角函数

(1)定义:设角a终边与单位圆交于P(“)，则

sina-Qj,cosa=⑫.tana=

⑬.

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何

表示.正弦线的起点都在工轴匕余弦线的起点都是原

点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,

仃分别叫做角a的⑭，⑮和

正切线.

【知识整理】

⑪>⑫*1。正强及⑮余依成

【小题微练】

3

1.角a的终边过点R-b,4),且cosa=-二则b的值是()

(A)3.(B)-3(C)±3(D)5

2.(2018•杨浦区校级期中)若MP和OM分别是角口勺正弦线和余弦线，则()

6

A.MP<OM<0B.OM>0>MP

C.OM<MP<0D.MP>0>OM

【小题微练】

f§

1A；解析：r=，〃+i6,cos户,=-3,解得63.

r扬+165

2C【解析】：在单位圆中画出角口勺正弦线MP和余弦线0M,如图所示；则0M<

6

MP<0.故选：C.

施真题回放

1(2018年新课标ID文)若sina=w，贝！|cos2。=()

8778

A--c--

9B.9-9D.-9

【答案】B

【解析】cos2(7=1-2sin2(7=1-2x1=.|.

2.(2018年新课标ID文)函数4X)=1IM*的最小正周期为()

A.7B.jC.r1rD.2n

【答案】c

sinx

tanxCOSX1

【解析】4*）=-----2^=sinACOSx=]sin2%所以的最小正周期为T=

1+tan2z

1+cos2%

3（2018年北京）在平面直角坐标系中，的，⑦，良，合是圆/+/=1上的四段弧（如

图），点P在其中一段上，角。以Ox为始边，OP为终边.若tana<cosa<sina,

则P所在的圆弧是（）

A.ABB.CDC.£FD.GH

【答案】C

【解析】A,在/夕段，正弦线小于余弦线，即cosa<sin。不成立，故A不满足条件;

B,在Q?段，正切线最大，则cosa<sina<tan。，故B不满足条件；C，在炉段，

正切线,余弦线为负值，正弦线为正，满足tana<cos。<sin。；D,在GH段,正切

线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cos67<sina<tan。不满足tancossin

a.故选C.

重难考点突破

考点一.：象限角与终边相同角（热度:**）

【考点微练】

1.（2018•薛城区期中测试）下列命题中正确的是（）

A.终边在x轴负半轴上的角是零角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若0=a+k・36O。（keZ），则a与0终边相同

LD解：终边在x轴负半轴上的角是零角，例如-180°,不是零角，所以不正确；

第二象限角一定是钝角，是不正确的，例如：460。是第二象限角，但是不是钝角.

第四象限角一定是负角，不正确，也可以是正角；例如：300。是第四象限角，是正角.

若B=a+k・360。（kwz）,则a与B终边相同，满足终边相同角的表示，正确.

故选：D.

2.（2018•义乌市校级期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（）

A.{a-450<a<120°}

B.{a|120°<a<315°)

C.{a-45°+k»360o<a<120o+k»360°,keZ}

D.{a|120o+k»360o<a<315o+k«360°,keZ)

解：如图：终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{a|-45°+k.3600<a<

1200+k*360°,keZ}.故选:C.

3.番加0的终边'产/I的终边相同,则在：0,2宜）内终

边与号角的终边相同的角为

铤.2TT20TT347T

答案r-ir-ir

解析V"=竽+2ktr（AeZ）..［（•=亨+

苧&Z）.

依题意0W竿+号*2ir=>-■|<华.&eZ.

.4=0,1,2,即在［0,2u）内终边与,相同的角为

27T20K34U

T,TT'TT,

【规律总结】

1.利用终边相同的南的集合S=I。=2右T+a,

△eZ1判断一个角口的终边所在的象限时，只需把

这个角写成「0,2h）范围内的一个南a与2廿的整数

倍的和，然后判断角a的终边所在象限.

2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的

向，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的

集合，然后通过对集合中的参数匕赋值来求得所

需角.

考点二：三角函数的定义及其应用（热度:****）

【典例印证】

例1.（2018•河南洛阳模拟）已知角a的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x-

3y=0（x<0）上，贝!|cosa-sina=.

解：角a的始边与x轴非负半轴重台,终边在射线4x-3y=0（x<0）±,不妨令x=-

_„._x3.y4.34

3,n则y=-4,.,.r=5,/.cosa=—=--,sina=—=——,n则ilcosa-sma=--+—=

r5r555

y,故答案为：y.

例2.已知角e的顶点为坐标原点，始边为X轴的正半轴，若p（4,y）是角0终边上一点,

且皿"_浊，贝U尸.

5

解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第

四象限角。sin6=/y.=一挛=y=-8。

也6+『5

【方法总结】

1.已知角a终边上一点，的坐标，可求角a的三角函

数值.先求。到原点的距离，再用三角函数的定义

求解.

2.已知角a的某三角函数值，可求角a终边上一点P

的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程

求参数值.

3.已知角a的终边所在的直线方程或角a的大小，根

据三角函数的定义可求角a终边上某特定点的

坐标.

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二

正弦、三正切、四余弦.

【考点微练】

1

设6是第三象限角，且cos^-=-co4,则等是

第___________象限角.

答案一

解析由0是第三象限角，得2船r+1T<0<2kTt+

竽(AwZ),则4宣+学<S<+手(&wZ)，故；

是第二或第四象限角，再由cosgwo可得？是第二

象限角.

2.

若角a的终边在直线y=-3x上，则lOsina+

3

—_______•

cosa

答案o

解析设角a终边上任一点为P(K-3外(*，0),则

r=JB+尸=y/k2+(-3k)1=141.

当*>0时，r=k.

.一3k31YlQkG

:.sina=--------=—:=v10.

师kyiocosak

/.lOsina+^—=-3/l0+3/10'=0.

cosa

当上<0时,r=一、/16k

-3k3Iy/lOk

sina=------------------------------=------:------=-\/17707.r

-/]0k、/IFCO8ak

///

/.lOsina+-^-=3vT0'-3vi0'=0.

cosa

综h.lOsina+—=0.

,，，।cosa

3.（2018•山东烟台高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角a的终边与单

位圆交于B点,且点B的纵坐标为丝.若将点B沿单位圆逆时针旋转工到达A点，则

132

点A的坐标为.

3—皆

【解析】：在平面直角坐标系xOy中，锐角a的终边与单位圆交于B点，且点B的纵

坐标为坦,/.sina^,cosa=二-,将点B沿单位圆逆时针旋转工■到达A点，

1313132

点A的坐标A(cos(a+--),Sin(a+—))，即A(-sina,cosa),

•.A（工，工），故答案为：（A_）.

13131313r

考点三：扇形的弧长、面积公式以及应用（热度:**）

【考点微练】

1.（2018•孝义市校级期中）如果一扇形的弧长为n,半径等于2,则扇形所对圆心角

为（）

A.nB.2nC.2LD.,卫

22

LC;解：•.一扇形的弧长为n,半径等于2，，扇形所对圆心角为三.

2

故选：C.

2.（2018届山东潍坊高三期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其

中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积x（弦x矢+矢2）,

2

弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径

长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角空•,半径为6米的弧田，按照上述经验公式计

3

算所得弧田面积约是（料=1.73）（）

A.16平方米B.18平方米C.20平方米D.25平方米

2.C；解:如图,由题意可得：ZA0B=22L,0A=6,

3

在RtiAOD中,可得：ZA0D=2L,zDAO=­,0D』0」x6=3,

3622

可得：矢=6-3=3,由AD=AO,sin_L=6X2£E=3-73,可得弦=2AD=2x3行6愿，

32

所以：弧田面积费（弦x矢+矢2）=±（6技3+3?）=9后4.5«20平方米.

故选：C.

【误区警示】注意在弧度制下产生的公式，遇到有关的角用角度制表示时，必须换为弧

度再使用公式。扇形弧长公式及面积公式是比较重要公式，首先明确/=RIa|与

S=gA?•|a|两个公式使用条件是a必须用弧度表示；再次掌握几种思想方法：记忆

S时，可类比三角形的面积公式记忆；在弧长与面积公式中涉及四个量根据方

2

程思想，只需知道其中两个量，可以求其他两个。

【规律总结】在角度制下,弧长公式与扇形面积公式分别为：I常；S=^-；在弧

度制下，弧长公式与扇形面积公式分别为：/=|。|•〃；S扇形=；＞=g|a|产两者相

比，弧度制下的弧长与扇形面积公式更为简捷.

训练题：

基础小练

1.（2018•江门期末）在平面直角坐标系中，-1445。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

1.D【解答】：-1445。=-1800°+355°,-1445。与355。终边相同,是第四象限角…

故选：D.

2.（2018•郑州校级期中）若扇形圆心角的弧度数为2,且扇形弧所对的弦长也是2,则

这个扇形的面积为（）

A.—1—B.—2—C.―1—D___2_

•2-«•2Q2Q

sm1sin2cos1cos2

2A解：由题意得扇形的半径为:士.又由扇形面积公式得，该扇形的面积为4X2X4-

sml2sinhsin1

故选A

3.（2018•历城区校级期中）点P从（1,0）点出发，沿单位圆x2+y2=l逆时针方向运

动工弧长到达Q点，则Q点坐标为（）

3

3,A;解：点P从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动等弧长到达Q点,

所以NQOXY，所以Q（co^,srnA）,即Q点的坐标为：（事号.

33322

故选：A.

4.(2018•汪清县校级月考)把-1485。化为a+2kn(k£Z,0<a<2n)的形式是

()

A.工-8nB.-In-8nC.-2L-10nD.-In+10n

4444

4.D【解析】：-1485°=-1485xK=-33兀=.Wn+IZL.故选：D.

180044

5.

在与2010。角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧

度数为__________：

答案-答

解析2010。=华叮=12宣一并，

OO

/.与2010。角终边相同的知中绝对值最小的角的弧

度数为-乎.

O

6.

已知角a的终边落在直线)<=-3x(%<0)上，则

IsinalIcosaI

—:------------=-

sinacosa

答案2

解析因为角a的终边落在直线y二-3x(x<0)±,

所以角仪是第二象限角，因此sina>0,cosa<0.

IsinaIIcosaIsina-cosa.-

fix-：------------------二T----------------=1+1=2.

sinacosasinacosa

综合进展

7.

若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,

则其圆心角a的弧度数为()

A.yB.yC.y/3D.2

答案c

解析设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为

5r,所以有r=a,r,.\a=6

8.

已知角a的终边经过点(3a-9,a+2),且cosaWO,

sina>0,则实数。的取值范围是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

C.[-2,3)D.[-2,3]

答案A

解析由COSaW0,sina>0可知，角a的终边落在第

二象限内或轴的非负半轴匕所以有

pa-9W0

即一2<aW3.

[a+2>0,

10.若角a的终边与角型的终边关于直线y=x对称，且ae(-4n,-2n)，则a=

6

10.-岑L,-等；解：二.角a的终边与卷的终边关于直线产x对称，

••・角a的终边在鸟的终边上，.•.a=2"k7t,kEZ.

33

又(-4K,-2n),：.a=-^2L,一旦L,故答案为：-卫二，一旦L

3333

11.

设a是第二象限角，P(x.4)为其终边上的一点，且

cosa=,则tana=

答案-I

解析因为a是第二象限角，所以cosa=?*<(),即

x<0,又CO8a=-^-X=-A解得x=-3,所以

5y/x2+16

44

tana=—=——.

x3

12.

如图所示，已知扇形40B的圆心角乙405为120°,

半径长为6,则阴影部分的面积是

OB

答案12宣—%不

1702

解析120。=云IT=q_1T,

IOU3

2

扇形的弧KI=6X-7T:4n，

^t^oAK=4"X4ITx6=12ir,

S2“AB=；•OA,OB•sin120°=；x6x6x

sin1200=圾，

5阴影=Sqigftui-Sw=]2TI'—9,3.

13.

已知sina<0,lana>0.

(1)求a角的集合；

(2)求F终边所在的象限；

(3)试判断tan-y-sin-ycos仔的符号.

解析(1)由sin窃<0,知a在第三、四象限或y轴的

负半轴上;由tana>0,知a为第一、三象限角，故a

角的终边在第三象限，其集合为｛a2A宣+7T<a<

2kir+cZ

(2)由2kk+IT<a<+=,*wZ,

彳导Air+学<3<上77+苧,*eZ,

故长终边在第二、四象限.

⑶当学在第二象限时Jan年＜0,

所以tan拳dn取正号;

当年在第四象限时JanfvO,

所以tan-y-sin£■也取正号.

因此，lan-ysin-y-cos拳取正号.

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

02同角三角函数的基本关系式及诱导公式

♦核心要点解读

同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，

在解题时要注意Sil?c+cos2a=1,这是一个隐含条件,在解题时要经常能想到它。利

用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。

诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为"奇变偶不变，符号看象限"，

"变"与"不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sina与cosa对偶，"奇"、"偶"

是对诱导公式中k・g+a的整数k来讲的，象限指攵・1+a中，将a看作锐角时，攵・£+

22