高三数学第二轮针对性复习资料（共7个）

专题一数学思想方法

第一讲函数与方程思想

思想解读

1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念

的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，

从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、

图象变换等.

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造

方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方

程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观

察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y=/(x),当)>0时，就化为不等式借助于

函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

(2)数列的通项与前“项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分

重要.

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次

函数的有关理论.

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达

式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

真题感悟

1.(•陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于

30011?的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长N单位：m)的取值范

围是()

A.[15,20]B.[12,25]

C.[10,30]D.[20,30]

答案C

解析如图，XADEsXABC,设矩形的另一边长为y,则*皿=

“ABC

所以y=40—x,由题意知孙》300,即》(40—

x）》300,整理得X2—40X+300W0,解不等式得10WXW30.

2.（•课标全国II）设L=log36,/>=log510.c=log714,则）

A.c>h>aB,h>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

答案D

解析设。=log36=l+log32=l+j^^,/?=log510=1+log52=1+j^~5»c=log714=l

+log72=1+j^7，显然a>h>c.

3.（•浙江）设〃>0,^>0,e是自然对数的底数）

A.若e"+2a=e"+3力，贝Ua>b

B,若e"+2a=e'+3Zb则〃。

C.若e"一2a=e"—3b,贝ij

D.若e"—2a=e'—3〃，贝Ia<b

答案A

解析当时，显然e"We”,且2aM2b<3b,

+2a<eh+3Z?,即e"+2aWe”+3b成立，

所以它的逆否命题：若e"+2〃=e"+3b,

则。乂?成立，故A正确，B错误；

当0<aWb,由e"We',2a<3b,

知e"-2a与eb-3b的大小关系不确定，

故C错误；同理，D错误.

4.(•北京)若等比数列｛斯｝满足生+。4=20,。3+。5=40,则公比4=；前〃项和S〃

答案22〃"一2

解析设等比数列的公比为q,由政+。4=20,的+=40.**•20q=40,且=20,

解之得q=2,且勾=2.因此S“=当三沪=2"+1—2.

5.(•安徽)已知直线y=〃交抛物线y=W于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得

ZACB为直角，则a的取值范围为.

答案[1.+8)

解析以A3为直径的圆的方程为f+〃)2=小

y=x"c

由J2।/、2得y2+(l_2a)y+〃2_〃=o.

[jc+(y-ciy=a-

即(y—(a—1)]=0,

a>0

则由题意得，I》。，解得“文

题型与方法

题型一利用函数与方程思想求解最值、范围问题

【例1】（1）设直线x=f与函数yu）=f,g（x）=lnx的图象分别交于点M、N,则当IMNI达到最

小时t的值为（）

A.1B.^C.坐D.坐

（2）若a,Z?是正数，且满足出?=。+8+3,则"的取值范围为.

审题破题（1）由题意可知九）一且（戈）=/—inx,因此该问题可转化为：求x为何值

时，函数F（x）=f—]nx取得最小值.

⑵由ab=a+b+3变形可得从而求如=幽学的取值范围问题可转化为求函

（7-1a—\

数几）=’"；）的值域问题；若设疑=/,则a+6=f-3,从而a,6可看成方程f一。

-3)x+r=0的两根，利用方程的思想解决.

答案(1)D(2)[9,+8)

解析(1)可知阳川=/(幻一8。)=*一111工

令F(x)=x2—Inx,则F(x)=2x—~=—~—,

所以当时，F'(x)<0,尸(x)单调递减；

当£>坐时，F'(x)>0,F(x)单调递增，

故当x=勺时，F(x)有最小值，即|MN]达到最小.

⑵方法一(看成函数的值域)

a।3

Vab=a+b+3,*1,:・b=^―:

a—\

a+3

而Z?>0,/.-----r>0.

a—1

即a>\或a<—3,

又〃>0,：.a>\,故a—l>0.

.a+3(，Ll)2+5(a_l)+4

..Clb=Cl'7-1

a—Ia-I

4

=(a—1)+-----7+529.

a—I

4

当且仅当a—1=/4，即a=3时取等号.

a-I

的取值范围是[9,+8).

方法二若设ab=t,则a+b=f—3,

所以a,。可看成方程x2-(r-3)x+f=0的两个正根.

'/=。-3)2—4栏0,

从而有，a+b=t—3>0,

ah=t>0,

7W1或f29,

即,>3,解得f29,即"》9.

7>0,

所以外的取值范围是[9,+8).

反思归纳(1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等

关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将

待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.

(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中

一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决.

丫2

变式训练1若点。和点尸(一2,0)分别是双曲线/一/=1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲

线右支上的任意一点，则•存的取值范围为()

A.[3—2小，+8)B.[3+2小，+8)

C.W+°°)D.+°0)

答案B

解析因为尸(一2,0)是已知双曲线的左焦点，所以/+1=4,即/=3,所以双曲线方程

222

为^'一尸=[.设点P®),兆)，则有守一劳=1(沏》小)，解得髭=乎一1(而)2/)，因为而=

2.2

(xo+2,yQ),OP-(xQ,y0),所以舁・丽=x()(xo+2)+谛=x()(xo+2)+胃-1=亨+2^()—1,

此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线须=一京因为X。》小，所以当尤0=小时，

取得最小值,X3+2小-1=3+2小，故亦•力的取值范围是[3+2小，+8).

题型二利用函数与方程思想研究方程根的问题

【例2】如果方程cos2x-sinx+a=0在(0,舟上有解，求a的取值范围.

审题破题可分离变量为a=-cosZx+sinx,转化为确定的相关函数的值域.

解方法一设,/(x)=-cos2x+sinx(xe(0,孤

显然当且仅当。属于/U)的值域时，。=危)有解.

'.'/(X)=—(1—sin2x)+sinx=(sinx+^)2—

7T

且由xC(0,引知sinxW(0,l].

易求得7(x)的值域为(-1,1].

故〃的取值范围是(-1,1].

JT

方法二令—如先由x《(0,升可得横(0,1].

将方程变为?+/-1-67=0.

依题意，该方程在(0,1]上有解.

设式。=*+£—1—

其图象是开口向上的抛物线，对称轴/=一/如图所示.

1/0)<0

因此财=0在(0,1]上有解等价于仁、》、，

1—a<0

即J、八，...一故a的取值范围是(-1,1].

[1—

反思归纳研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理

思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方

程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数

加以解决.

变式训练2已知方程9'-2-3'+(3k—1)=0有两个实根，求实数&的取值范围.

解令3』,则方程化为『一2f+(3Z-1)=0；(*)

要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，

'/=(一2尸一4(3k-l)N0,

12

八，,2=3&—1>0,解得]〈攵

Ui+r2=2>0,

故实数％的取值范围是(},I.

题型三利用函数与方程思想求解不等式问题

【例3】已知〃)=log23，£[啦，8],对于用)值域内的所有实数m，不等式3+4>2"?+

4x恒成立，求x的取值范围.

审题破题本题可先求出机的范围，不等式/+g+4>2m+4x恒成立可转化为函数g(m)

=加。-2)+。一2y的值恒大于0.

口一

解L框8],二刖豆2，3.

原题转化为当，"G3时，不等式/+皿-+4>2,"+4*恒成立，即"?(x—2)+(x—2/>0

恒成立.

令g(m)=w(x—2)+(x—2)，5,3,

n-

问题转化为g(⑼在加仁213上恒大于0,

则浮册。，即.2)+(L2)2>0,

.g(3)>0,|_3(L2)+(L2)2>0.

解得x>2或x<—I.

反思归纳在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数

的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的

变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，

而待求范围的量为参数.

变式训练3设不等式2》一1>皿》—1)对满足|〃?|W2的一切实数m的取值都成立，则x的取值

范

围是

3

A-BQ+

48

3

cD

a2)

答案c

解析原不等式即(x—1)〃?一(2%—1)<0,设式⑼=(x—1),"—(2x—1),则问题转化为求一

次函数负⑷的值在区间[-2,2]内恒为负时应满足的条件,

IX2)<0,J2(X-1)-(2X-1)<0,3

得即彳解得x>：.

1/(-2)<0,l-2(x-l)-(2x-l)<0,

题型四利用函数与方程思想解决数列问题

【例4】设数列｛”“｝的前“项和为S”且4”+4.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设勿产令，数列也｝的前"项和为7；,求证：

审题破题可将7；看作关于自然数〃的函数，通过函数的单调性来证明不等式.

(1)解当〃=1时，ai=S|=l.

==2—

当时，anSn—Sn-]n~-4〃+4—[(/?—1)4(f)—1)+4]=2/7—5.

：见=1不适合上式,

J1.n—\

Cl=].

n[2〃-5,G2

〃=1

(2)证明由题意知勿=泉=〈。.

22〃一5

I~yi,7732

当”=1时，71=3,

1—]121t—5

当〃22时，…①

2H-72〃一5

②

T-0n2"।

①一②得：聂,=3-3+2俵H------弓）—2；产『,

_/_3-2”一§

F2"~2)2"一

2H—]

•>Tn—1――一(九，2),当n—1时也适合上式.

,,In-1«

故7；=1一下=(〃WN).

2n—1*

V^7r->0(^eN),ATn<\.

..(2〃+l)(2n—

当M〃22时，刀计]一4=(tJ--^TrJ一11一万

2n—3

=2"十|>°':•7〃<G+i(〃22).

131

,*'T\=y"=1—[=不T2<T1.

1*

故即7；2a(nGN)•

综上，；W7；<1(〃dN*).

反思归纳（1）数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即

为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解.

（2）数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决.

变式训练4（•浙江）设S”是公差为”3r0）的无穷等差数列｛斯｝的前"项和，则下列命题埼号

的是（）

A.若d<0,则数列｛&｝有最大项

B.若数列｛SJ有最大项，贝1」“<0

C.若数列｛&｝是递增数列，则对任意〃CN*,均有S“>0

D.若对任意〃WN*,均有S,>0,则数列｛S.｝是递增数列

答案C

解析设｛为｝的首项为内，

则S,,=na\+%（〃-1）d=舞+（41—5）/1.

由二次函数性质知S,有最大值时，则d<o,故A、B正确；

因为｛SJ为递增数列，则办0,不妨设勾=-1,d=2,显然｛&｝是递增数列，但&=一

1<0,故C错误;

对任意"WN",S.均大于0时，«|>0,d>0,｛SJ必是递增数列，D正确.

阅卷评析

【典例】（14分）（.北京）已知椭圆C：，+£=l（a泌＞0）的一个顶点为A（2,0）,离心率为坐.直线

y=k（x-l）与椭圆C交于不同的两点M,N.

⑴求椭圆C的方程.

（2）当△AMN的面积为邛时，求人的值.

规范解答

。=2,

解（1）由题意得｛5=乎，解得b=也.

.a2=b2+c2,

72

所以椭圆。的方程为亍+5v=1.［4分］

y=k（x—\）,

（2）由，武_］得（1+2然*—4n+2F—4=o.［5分］

设点M,N的坐标分别为（小,yi）,（如力），

4k2

则力=2（由—1）,y2=Kx2-1），X］+刀2=］+2.2,

21c—4

』阳=］+2炉」8分］

所以|MN|=4（必一修了+3―Nil

22

=yj（1+/r）［（xi+x2）-4xix2］

24（1+层）（4+6然）

-1+2必口°分］

又因为点A（2,0）到直线y=4x—1）的距离"=J［庐

所以△AMN的面积为

1因：4+6^_八，

S=^W|M=；+2层口2分］

由呼著=乎，解得的值为1或一"14分］

评分细则（1）不列方程没有/=居+C2,扣1分；Q）求|MN|时直接使用弦长公式没有中

间变形，扣1分；（3）最后结论不写不扣分.

阅卷老师提醒（1）本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求反c;运算能力较

差，用弦长表示面积出现计算错误；

⑵阅卷中发现考生的快捷解法：直线），=总—1）过定点7（1,0）,则S&AMN=^\AT\-\yi-y2i,

大大简化运算过程.

小题冲关

1.在正实数集上定义一种运算“*”：当”2〃时，〃%=户；当〃侬时，〃鲂=层，则满足

3*A27的x的值为()

A.3B.1或9

C.1或取D.3或3小

答案D

xW3或。[x>=327

解析由题意得3、

x-27

解得x=3或3小.

2.（•课标全国）设尸”&是椭圆E：5+，=13功＞0）的左，右焦点，P为直线厂当上一点,

△F#Fi是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为)

B.|

ACD

-1-45

答案c

解析由题意，知/月后尸=NBPQ=30。，

JN尸&尸60。.JIPF2I=2义（引一c）=3〃-2c.

・・・|尸匹l=2c,|尸匹1=1尸产2I，

，3。-2c=2c,

・c3

..e=~=~7.

a4

3

3.方程f—中一加=0在工£[—LU上有实根，则相的取值范围是()

9

A.后一记B.

一、5n9115

C.772^2D.一涛吟

答

案D

，

G

解329

析2

尸

一

加

X一-工£

?-T56[—1,1].

一

大

当

时

1最r'

尸

-“

，

取9

3值-

也

当

取

A-二M⑹,9v<5

—4,ft/..一谓吟.

4.已知函数,大劝=(｝>,等比数列｛斯｝的前”项和为人〃)一c,则斯的最小值为()

22

A.—1B.1C.?D.一］

答案D

解析由题设，得c=/—c；

2

。2=[A2)_c]_,⑴_c]=一§；

2

“3=[A3)-c]一贸2)—c]=一行，

又数列｛〃〃｝是等比数列，

c=\.

又：公比q琮4

所以〃,尸一勃1=_2改

因此，数列｛恁｝是递增数列，

2

・"=1时,为有最小值4=一?

5.对于满足0Wp<4的实数p,使f+px>4x+p—3恒成立的x的取值范围是.

答案(一8,-1)U(3,+8)

解析»+〃心>4%+〃一3对于0〈p<4恒成立可以变形为%2—4x+3+p(x—1)>0对于

0WpW4恒成立，所以一次函数式p)=(x—l)p+f—4x+3在区间［0,4］上的最小值大于0,

X2-4X+3>0

即<

?-1>0

所以X的取值范围是(一8,-1)U(3,+8).

6.设危)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，/(x)g(x)+./U)g'(x)>0,

且g(-3)=0,则不等式式x)g(x)<0的解集是.

答案(一8,-3)U(0,3)

解析设F(x)=/(x)g(x),由于大x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得「(一

x)=A—x>g(—x)=—/(x)g(x)=—F(x),即9(x)为奇函数.

又当x<0时，F'(x)=f(x)g(x)+<x)g'(x)>0,

所以x<0时，F(x)为增函数.

因为奇函数在对称区间上的单调性相同，

所以x>0时，F(x)也是增函数.

因为F(—3)=穴一3虫(-3)=0=一尸(3).

所以F(x)<0的解集是(一8,—3)U(0,3)(草图如图所示).

专题限时规范训练

一、选择题

1.函数凡0的定义域为R,人-1)=2,对任意XER,/(x)>2,则/(X)>2JC+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+<=°)

C.(—8,—1)D.(—8,4-00)

答案B

解析设夕(x)=/(x)—(2x+4),则“(x)=f(x)-2>0,

.••9(x)在R上为增函数，

又研—1)=/(一1)一(-2+4)=0,

/.由9(x)>0可得x>—1.

故式x)>2x+4的解集为(一1,+8).

2.若函数1工)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足_/(x)—g(x)=eX,则有()

A.X2)勺(3)<g(0)B.g(0)勺(3)勺(2)

C.12)<g(0)43)D.g(0)勺(2)勺(3)

答案D

解析由题意得力>)—g(x)=e",/(—x)—g(—x)=ex,即一y(x)—g(x)=e.',由此解得£x)

e-'-erev+e-A'ex-e~x

=——,g(x)=———,g(0)=-1,函数y(x)=2在R上是增函数，且人3)»2)

e?_e_*2

=­y—>0,因此g(0)勺(2)勺(3),选D.

[1,x为有理数，

3.设函数D(x)=-则下列结论错误的是()

10,x为无理数，

A.O(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数

C.O(x)不是周期函数D.Q(x)不是单调函数

答案C

解析利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得.

由已知条件可知，D(x)的值域是{0,1},选项A正确；

当x是有理数时，一x也是有理数，

且力(一x)=l,O(x)=l,故£>(一尤)=。(戈)，

当X是无理数时，一X也是无理数，

且。(一x)=0,D(x)=0,即£)(—x)=O(x),

故。(x)是偶函数，选项B正确；

当x是有理数时，对于任一非零有理数“，x+a是有理数，且。(x+a)=l=D(x),

当x是无理数时，对于任一非零有理数b,x+6是无理数，

所以。(x+6)=D(x)=0,故。(x)是周期函数，但不存在最小正周期，选项C不正确；

由实数的连续性易知，不存在区间/,使C(x)在区间/上是增函数或减函数，故Q(x)不

是单调函数，选项D正确.

4.等比数列｛%｝的前〃项和为S,”且4aL2a2,的成等差数列，若冉=1，则等于（）

A.7B.8C.15D.16

答案C

解析设等比数列｛&｝的公比为q,则由4*2,的成等差数列，得4a2=40+的.

:.4aiq=4m才一4q+4=0.

5.（•陕西）在aABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,h,c,若/+层=2°2,则cosC

的最小值为（）

答案C

_..672+—C2C,2

解析；c°sC=-9—=2ab'

又,.•廿+/以血：.2abW2乙

cosC*.cosC的最小值为;.

22

6.若则双曲线了一六七豆=1的离心率e的取值范围是（）

ci（a-v1）

A.（1,也）B.（^2,小）

C.I®小]D.（小，小）

答案B,,

解析02=份2="+[+1）=]+（]+%因为当”>1时，（）W<1，所以2=2<5,即吸

<e<\[5.

♦IT

7.设函数危）=f+sinx,若0W8W]时，/（〃?cos。）+加一机）>0恒成立，则实数机的取值范

围是（）

A.（0,1）B,（一8,0）

C.（-8,1）D.（-8,

答案C

解析易知./U）为奇函数且为增函数，

加71cos夕）+41一〃2）>0,

即/（zncosOy>fitn—1）,/./ncos0>m—1,

，维—।

而OWOW当时，cos6»e[0,l],...'得加<1.

2[0>/n—1

cix-1hx~\~1

8.若不等式二不彳>0的解集为国一14<2｝,则不等式示不了（）的解集是（）

A.{x\^<x<1}B.{或x>2}

C.{JV|—^<x<l}D.{x|x<—1或x>2}

答案A

-ax—1

斛析.+〃>0㈡(ox—1)(x+b)>0,

转化为X|=-1,X2=2是方程(OX-1)(X+6)=0的两个根(且a<0),

D(—1+")=°

即<

[(2。一1)(2+匕)=0

解付彳，；.一工7二---工■[-<()=>5a<1•故施A.

b——2ox+1—x+12

二、填空题

9.若关于x的方程(2-2*T)2=2+a有实根，则实数〃的取值范围是.

答案[T,2)

解析令7W=(2—2-L252.

要使贝x)=2+a有实根，

只需2+a是,/(x)的值域内的值.

：段)的值域为口,4),

，lWa+2<4,A-1^a<2.

10.已知圆/+丫2+筮—4)，+1=0关于直线2aL办+2=036GR)对称，则必的取值范围

是.

答案(一8,1]

解析圆心坐标为(-1,2),因为圆关于直线对称，

所以一2〃-2匕+2=0即a+h-l=0,

111

ab=ci{\-ci)——a9+a=—(。一5)〜?十工忘了

11.已知△A3C的一个内角为120。，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△A3C的面积

为.

答案15小

解析由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x—4,x,x+4.

由一个内角为120。知其必是最长边x+4所对的角.

由余弦定理得

(x+4)2=f+。-4)2—2x(x-4)cos120°,

；.2?—20x=0,.•.x=0(舍去)或x=10.

SA4BC=1义(10—4)X10Xsin120°=15小・

12.已知数列{斯}是递增数列，且对于任意的“GN*,恁=/+4〃恒成立,则实数4的取值范

围是.

答案2>-3

解析由｛斯｝是递增数列，得斯〈斯+]对"WN*恒成立，即n2+Xn<(n+1)2+2(/?+1),

整理得力>一(2〃+1).

而一(2〃+l)W—3,所以—3.

三、解答题

13.已知函数人工)=泼+奴和g(x)=x一0其中。£R,且。#0.若函数於)与g(x)的图象相交

于不同的两点A、B,0为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值.

解依题意，/U)=g(X),即+—〃，

整理得依?+侬—l)x+a=O,①

,・ZWO,函数次尤)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B,

・">0,即/=(〃-1)2—4〃2=—3/-24+1=(3〃一1〉(一4-1)>0,

，且aWO.

设A(两，yi),B(M，72)»且修〃2，

ci-1

由①得X]X2=1>°，X]+》2=——~—•

I—ci\

设点O到直线g(x)=x—a的距离为"，则d=[E，

・,・S=1^l+l2|xi一对，7^

—3/—2〃+]

3++

=2^/-G3)3-

,/—1<“<|且aWO,

.,.当a=一；时，S取得最大值乎.

14.椭圆C的中心为坐标原点。，焦点在y轴上，短轴长为吸，离心率为乎，直线/与)，轴

交于点尸(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且存=3协.

(1)求椭圆C的方程：

(2)求相的取值范围.

22

解(1)设椭圆。的方程为夕+5=13>">0),

设c>0,c2=a2—Z?2,

由题意，知2b=巾,户乎，所以。=1,b=c普.

2

故椭圆C的方程为尸+:=1,即y2+2f=].

2

(2)设直线/的方程为)，=履+机//0),/与椭圆C的交点坐标为A3,%),B(X2,竺)，

[y=kx+m.,

由J22得（Z~+2）x-\~2kiwc-\-m—1=0,

[2x+y=1,

/=（2切2）2—4（必+2）（加2—1）=4（然一2"，+2）＞0,（*）

2

-2kmm-1

X]+尤2=炉+2，的初=42+2•

因为淳=3两，所以一芍=3数,

戈1+刀2=-2必，

所以

X\X2=-3^2.

所以3al+%2)~+41[尢2=0.

所”以,31(再一2切利?V)+,4$ir不T-1

整理得42机2+2"/一0—2=0,

即必(4m-1)+(2〃/—2)=0.

当/="时，上式不成立；

,o1.02—2m

当/#彳时，氏=力一?，

44m—1

由(*)式,得必>2/一2,

2—2〃广

又女W0,所以产―2j">0.

解得一1<〃?<—3或/<〃?<L

即所求相的取值范围为(一1,1).

第二讲数形结合思想

思想解读

1.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数

学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数

定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.

2.数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观

的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，

几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明

白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析

其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以

形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

3.实现数形结合，常与以下内容有关：

(1)实数与数轴上的点的对应关系；

(2)函数与图象的对应关系；

(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；

(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x—2)2+()-19=4,表示

坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆.

真题感悟

1.（•重庆）已知圆G：（X—29+3—3）2=1,圆C2：（X—3）2+0—4）2=9,M,N分别是

圆C”C2上的动点，P为x轴上的动点，则1PM+1尸川的最小值为

A.572-4

C.6-2^2D.V17

答案A

解析设尸(乂0),设G(2,3)关于x轴的对称点为CJ(2,-3),那么|PG|+|PC2|=|PC「|

22

+PC2I冽CJC2|^y/(2-3)+(~3-4)=5^2.

而=|P7V]=|PC2|-3,

：.\PM\+\PN]=\PCt|+IPC2I—4啦一4.

2.(•大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c>(。-c)=0,

则同的最大值是()

A.1B.2C.^2D.乎

答案C

解析如图，设。4=a,OB=b,OC=c,则C4=a—c,CB=/----、

8—c.由题意知乱,无，/

：。A、C、B四点共圆....当0C为圆的直径时，|c|最大，此时，

2x—y—2^0,

3.(•山东)在平面直角坐标系xOy中，〃为不等式组<x+2y—l，0,所表示的区域上一动

.3x+y—8W0

点，则直线0M斜率的最小值为()

A.2B.1C.一；D.一；

答案C

x+2厂1=0,

解析如图，由得A(3,-1).此时直线OM的斜

3x+y—8=0

率最小，且为一§.

—X2+2X,xWO,

4.(•课标全国I)已知函数yu)=若|/(幻12。无，则。的取值范围是

ln(x+1),x>0.

)

A.(一8,0]B.(-8,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

答案D

解析函数y=|/(x)|的图象如图.

①当a=0时，|/U)12ax显然成立.

②当«>0时，只需在x>0时，

ln(jc+成立.

比较对数函数与一次函数y=or的增长速度.

显然不存在”>0使ln(x+在x>0上恒成立.

③当a<0时，只需在x<0时，x2—成立.

即2成立，.'.a2一2.

综上所述：-2WaW0.故选D.

5.(•天津)已知函数丫=1―f的图象与函数y=fcc—2的图象恰有两个交点，则实数”的取

x~\

值范围是.

答案(0,l)U(l,4)

解析根据绝对值的意义,

if一1|

尸X—1

'+或X<—1),

在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示.

根据图象可知，当。4<1或1或<4时有两个交点.

题型与方法

题型一数形结合解决方程的根的个数问题

[c^—ab,aWb,

【例1】(・福建)对于实数。和4定义运算""：。沔=,2,,设凡r)=(2x—l)*(x

\b-ab,ci>b.

—1),且关于X的方程/U)=mOWR)恰有三个互不相等的实数根不，X2,由，则卬“3

的取值范围是.

审题破题本题以新定义为背景，要先写出以x)的解析式，然后将方程yu)=，〃根的个数

转化为函数y=/(x)的图象和直线y=m的交点个数.

答案(普。)

(2x—l)x,xWO,

解析由定义可知，兀0=

—(x—l)x,x>0.

作出函数式x)的图象，如图所示.

由图可知，当0<相<1时，

凡¥)=m(//2£R)恰有三个互不相等

的实数根为，M，工3.

不妨设西42〃3，

易知应>0，

且即+%3=2X/=1,

•,-X2X3<1.

人卜2L1)X=：,if

令j，解付1=-4•

U<0,

1—y[3]一小

/.-<X1<O,..-^~<X\X2X3<0.

反思归纳研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法.一般

地，方程y（x）=o的根，就是函数./（X）的零点，方程y（x）=g