2025年高考数学一轮复习讲练测 重难点突破07 函数零点问题的综合应用（十大题型）（原卷版）

重难点突破07函数零点问题的综合应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳总结 2题型一：判断或讨论函数零点的个数 2题型二：根据零点个数求参数范围 3题型三：证明函数零点的个数 4题型四：证明函数零点的性质 5题型五：最值函数的零点问题 7题型六：同构法妙解零点问题 8题型七：零点差问题 10题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题 11题型九：零点问题之取点技巧 13题型十：零点与切线问题的综合应用 1403过关测试 15

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.题型一：判断或讨论函数零点的个数【典例1-1】（2024·河南·三模）函数的图象在处的切线为.(1)求的值；(2)求在上零点的个数.【典例1-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数．(1)求的极大值；(2)若，求在区间上的零点个数．【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数.(1)求的最小值；(2)设函数，讨论零点的个数.【变式1-2】已知，是实数，1和是函数的两个极值点(1)求，的值.(2)设函数的导函数，求的极值点.(3)设其中求函数的零点个数.题型二：根据零点个数求参数范围【典例2-1】（2024·广东茂名·一模）设函数，.(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若在上存在零点，求实数的取值范围.【典例2-2】（2024·湖北·模拟预测）已知函数，，其中a为整数且.记为的极值点，若存在两个不同的零点，，(1)求a的最小值；(2)求证：；【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线平行于直线．(1)当时，求b的值；(2)当时，若在区间各内有一个零点，求a的取值范围．【变式2-2】（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若函数有2个零点，求的取值范围.题型三：证明函数零点的个数【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．(1)求实数，的值；(2)证明：函数有两个零点．【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求证：在上有唯一的极大值点；(2)若恒成立，求a的值；(3)求证：函数有两个零点．【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．（参考数据：）【变式3-2】（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.(1)求函数在区间上的值域；(2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；题型四：证明函数零点的性质【典例4-1】（2024·全国·一模）已知(1)若，求实数的取值范围；(2)设是的两个零点（），求证：①；②.【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点．(1)求实数a的取值范围．(2)证明：．【变式4-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若有两个不同的零点，证明．【变式4-2】（2024·山东临沂·二模）已知函数.(1)当时，求证：存在唯一的极大值点，且；(2)若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.【变式4-3】（2024·高三·河南鹤壁·期中）已知函数，其中e为自然对数的底数．(1)若函数在上有2个极值点，求a的取值范围；(2)设函数，），证明：的所有零点之和大于．【变式4-4】（2024·四川眉山·三模）已知函数.(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；(2)若有两个不同极值点.①求的取值范围；②当时，证明：.题型五：最值函数的零点问题【典例5-1】（2024·湖北黄冈·三模）已知函数．(1)当时，求函数在上的极值；(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．【典例5-2】（2024·四川南充·三模）已知函数，．(1)当时，求函数在上的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．【变式5-1】（2024·四川南充·三模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.【变式5-2】（2024·江西九江·二模）已知函数，．(1)若直线与曲线相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．题型六：同构法妙解零点问题【典例6-1】已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围【典例6-2】已知．（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．【变式6-1】已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．【变式6-2】（2024·上海嘉定·一模）已知．(1)求函数的单调区间和极值；(2)请严格证明曲线有唯一交点；(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．【变式6-3】（2024·四川·三模）已知函数和函数，且有最大值为．(1)求实数a的值；(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．【变式6-4】（2024·河北邯郸·二模）已知函数．(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知是的零点，是的零点．①证明：，②证明：．题型七：零点差问题【典例7-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知，函数的图象在点处的切线方程为.(1)求a，b的值;(2)若方程（e为自然对数的底数）有两个实数根，且，证明：【变式7-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数．(1)求证：；(2)若是的两个相异零点，求证：．【变式7-3】（2024·河南信阳·三模）已知函数(1)若恒成立，求a的值；(2)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.【变式7-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)设，若存在两个不同的零点，，且.（i）证明：；（ii）证明：.题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题【典例8-1】（2024·天津·模拟预测）已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)求证：；(3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围．【典例8-2】（2024·广东广州·二模）已知函数．讨论的零点个数；【变式8-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，判断的零点个数.【变式8-2】已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若恰有三个零点，求a的取值范围．【变式8-3】（2024·湖北·模拟预测）函数．(1)当时，证明：；(2)讨论函数的零点个数．【变式8-4】（2024·广西河池·模拟预测）已知函数，定义域为.(1)讨论的单调性；(2)求当函数有且只有一个零点时，的取值范围.题型九：零点问题之取点技巧【典例9-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：函数有两个不同的零点．【典例9-2】（2024·浙江杭州·二模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．【变式9-1】（2024·陕西铜川·三模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数存在零点，求实数的取值范围.【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.题型十：零点与切线问题的综合应用【典例10-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数.(1)判断的零点个数；(2)求曲线与曲线公切线的条数.【典例10-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若，证明：对任意，存在唯一实数，使得【变式10-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.(1)求；(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.【变式10-2】（2024·四川泸州·三模）设函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若总存在两条直线和曲线与都相切，求的取值范围.【变式10-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)已知，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线AC与曲线在点B处的切线能否平行？请说明理由.1．（2024·福建宁德·三模）已知函数的图象在处的切线过点.(1)求在上的最小值;(2)判断在内零点的个数，并说明理由.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．(1)证明：当时，；(2)求在区间上的零点个数．3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数.(1)当时，证明：；(2)当时，，求的最大值；(3)若在区间存在零点，求的取值范围.4．（2024·安徽·三模）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)若函数有2个零点，试比较与的大小关系.5．（2024·陕西商洛·三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若函数和的图象在上有交点，求实数的取值范围．6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数有两个零点，.(1)求实数的取值范围；(2)如果，求此时的取值范围.7．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的零点个数；(2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4．8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)讨论函数和的图象在上的交点个数．9．（2024·全国·模拟预测）当时，总有不等式成立．(1)求实数的取值范围；(2)设方程，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论．10．（2024·青海海南·一模）已知函数．(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；(2)若函数的两个零点分别是且，证明：．11．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．12．已知函数．(1)若恰有两个零点，求a的取值范围；(2)若的两个零点分别为（），求证：．13．（2024·江西赣州·一模）已知函数.(1)求的单调区间，(2)已如.若函数有唯一的零点.证明，.14．（2024·广西·模拟预测）已知函数有三个零点，.(1)求的取值范围；(2)记三个零点为，且，证明：.15．（2024·四川南充·一模）设函数(e为自然对数的底数)，函数与函数的图象关于直线对称.(1)设函数，若时，恒成立，求的取值范围；(2)证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数.16．（2024·广东·二模）已知.(1)求的单调区间；(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.17．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线方程为.(1)求的解析式；(2)若过点可作图象的三条切线，证明：.18．已知函数最小值为(1)求；(2)若，且，过