2025年高考数学一轮复习讲练测 重难点突破06 证明不等式问题（十三大题型）（原卷版）

重难点突破06证明不等式问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳总结 2题型一：直接法 2题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） 3题型三：分析法 5题型四：凹凸反转、拆分函数 5题型五：对数单身狗，指数找朋友 7题型六：放缩法 8题型七：虚设零点 10题型八：同构法 11题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 13题型十：分段分析法、主元法、估算法 15题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 16题型十二：函数与数列不等式问题 17题型十三：三角函数 1803过关测试 19

利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形题型一：直接法【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．（参考数据：）【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数．(1)若有3个极值点，求a的取值范围；(2)若，，证明：．【变式1-2】已知函数，．(1)求的最小值；(2)证明：．【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.(1)求的取值范围；(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；(3)若，证明：.【典例2-2】（2024·湖北荆州·三模）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：函数的图象位于直线的下方；【变式2-1】已知函数有且只有一个零点，其中．(1)求的值；(2)若对任意的，有成立，求实数的最大值；(3)设，对任意，证明：不等式恒成立．【变式2-2】设，当时，求证：．【变式2-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间;(2)若，证明:．题型三：分析法【典例3-1】已知函数，当时，证明：.【典例3-2】已知函数，．(1)若直线是函数的图象的切线，求实数的值；(2)当时，证明：对于任意的，不等式恒成立．【变式3-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中.(1)求曲线在点处切线的倾斜角；(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围；(3)证明：.题型四：凹凸反转、拆分函数【典例4-1】已知函数，证明：当时，.【典例4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．(1)求的最大值；(2)证明：当时，．【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．(2)若，，证明：．【变式4-2】已知，，，求证：．【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．(2)若的极大值为，求的取值范围．(3)当时，求证：．【变式4-4】已知函数，求证：.【变式4-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：.题型五：对数单身狗，指数找朋友【典例5-1】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：.【典例5-2】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．(1)求m的值；(2)证明：对一切，都有．【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为（其中为自然对数的底数）．(1)求实数的值．(2)当时，证明：对，都有．【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)证明：．【变式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点.(1)求a；(2)证明：.题型六：放缩法【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的最值．(2)证明：（其中为自然对数的底数）．【典例6-2】已知函数，为的导函数．(1)求函数的零点个数；(2)证明：．【变式6-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：.【变式6-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数(1)讨论的单调性；(2)若是的极大值点，求的取值范围；(3)若，证明：．【变式6-3】（2024·辽宁大连·模拟预测）定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.(1)设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）(2)证明：当时，函数不存在“自公切线”；(3)证明：当，时，.【变式6-4】已知函数，证明：当时，.题型七：虚设零点【典例7-1】（2024·山东济南·二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：.【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)若，，求证：．【变式7-1】已知函数.(1)若在定义域内不单调，求a的取值范围；(2)证明：若，且，则.【变式7-2】（2024·高三·辽宁丹东·开学考试）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)求证：.【变式7-3】（2024·河北张家口·三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．【变式7-4】（2024·山东威海·二模）已知函数．(1)求的极值；(2)证明：．题型八：同构法【典例8-1】已知函数，．（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明．【典例8-2】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【变式8-1】（2024·甘肃定西·一模）设函数，(1)证明：.(2)当时，证明：.【变式8-2】（2024·甘肃白银·三模）设函数，．(1)讨论的单调性．(2)证明：．(3)当时，证明：．【变式8-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）.(1)求在区间上的最大值与最小值；(2)当时，求证：.【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程；(2)若，求证：当时，．题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理【典例9-1】证明不等式：．【典例9-2】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．【变式9-1】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数．(1)求函数在区间上的极值点的个数．(2)“”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．证明：（i）当时，对，都有；（ii）．【变式9-2】英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设，证明：.【变式9-3】阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：(1)求出的值；(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；(3)求证：，其中．题型十：分段分析法、主元法、估算法【典例10-1】已知函数．（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）若，求证：对，恒成立．【典例10-2】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，．【变式10-1】若定义在上的函数满足，，．（Ⅰ）求函数解析式；（Ⅱ）求函数单调区间；（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．【变式10-2】已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，，．题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值【典例11-1】（2024·河南·模拟预测）已知，函数的图象在点处的切线方程为.(1)求a，b的值;(2)若方程（e为自然对数的底数）有两个实数根，且，证明：【典例11-2】已知函数.(1)求函数的单调性；(2)若有两个不相等的零点，且.①证明：随的增大而增大；②证明：.【变式11-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数．(1)求证：；(2)若是的两个相异零点，求证：．题型十二：函数与数列不等式问题【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)证明：时，；(2)证明：．【典例12-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数(1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标；(2)①当时，求在上的最小值；②证明：．【变式12-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0.(1)求实数的取值范围；(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.（i）求证：函数在上具有性质；（ii）记，其中，求证：.【变式12-2】（2024·天津·模拟预测）已知函数．(1)求在点处的切线方程；(2)若恒成立，求的值；(3)求证：．【变式12-3】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列的前项和为，首项.(1)若，求数列的通项公式；(2)若函数，正项数列满足：.（i）证明：；（ii）证明：.题型十三：三角函数【典例13-1】（2024·全国·三模）已知函数在处的切线方程为.(1)求a的值；(2)证明：.【典例13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，(1)求的最小值；(2)证明：.【变式13-1】（2024·四川广安·二模）已知函数.(1)若存在极值，求的取值范围；(2)若，，证明：.【变式13-2】已知函数，（为自然对数的底数）．(1)求曲线在处的切线方程(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；(3)证明：．【变式13-3】（2024·广东湛江·二模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，且，证明：.1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．(1)若，证明：时，；(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；(3)已知数列的通项公式为，求证：．2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数．(1)判断并证明的零点个数(2)记在上的零点为，求证;（i）是一个递减数列（ii）．3．（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中．(1)当时，判断的单调性；(2)若存在两个极值点．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：时，．4．已知，.(1)若，判断函数在的单调性；(2)设，对，，有恒成立，求k的最小值；(3)证明：..5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．(1)若函数在上单调递增，求实数的值；(2)求证：．6．（2024·河北·三模）已知函数．(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：．7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数．(1)求的值域；(2)求证：当时，．8．已知函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；(3)证明：.9．已知，函数，．(1)若函数的最小值是0，求实数m的值；(2)已知曲线在点处切线的纵截距为正数．（ⅰ）证明：函数恰有两个零点；（ⅱ）证明：．10．（2024·河北邢台·二模）已知函数，(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：.11．（2024·广东广州·三模）已知函数．(1)求的极值；(2)已知，证明：．12．已知函数．(1)证明：．(2)已知，证明：．13．已知函数．(1)求函数的最大值．(2)证明：当且时，．14．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数在处的切线为轴.(1)求实数的值；(2)若，证明：.15．（2024·福建莆田·三模）已知函数，其中.(1)当时，，求的取值范围.(2)若，证明：有三个零点，，（），且