2025年高考数学一轮复习讲练测 重难点突破06 证明不等式问题（十三大题型）（解析版）

重难点突破06证明不等式问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳总结 2题型一：直接法 2题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） 6题型三：分析法 11题型四：凹凸反转、拆分函数 14题型五：对数单身狗，指数找朋友 20题型六：放缩法 24题型七：虚设零点 31题型八：同构法 37题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 43题型十：分段分析法、主元法、估算法 50题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 55题型十二：函数与数列不等式问题 60题型十三：三角函数 6703过关测试 72

利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形题型一：直接法【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．（参考数据：）【解析】（1）由题意得，当时，在上恒成立，在上单调递减，当时，令，解得．当时，，当，．所以在上单调递减，在上单调递增；综合得：当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，当时，的最小值为．要证成立，需成立，即证．令，则．令，得（负值舍去）．当时，；当时，．因此在上单调递减，在，上单调递增．所以当时，取得最小值，，故当时，．【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【解析】（1）的定义域为，．若，则，在上单调递减：若，则由得，当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增；故当时，在上单调递减：当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）方法1，当时，由（1）知，当时，取得最小值．所以，从而．设，则．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，，故当时，，即；方法2：当时，由（1）知，当时，取得最小值，所以，从而，令，，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，故，当等号成立；所以，当时，，即.【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数．(1)若有3个极值点，求a的取值范围；(2)若，，证明：．【解析】（1）由有3个极值点，可得到具有3个变号零点，当时不是的零点，则可得在有3个交点，构造函数，，则，令，解得，所以当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增，所以，而当时，，当时，，当时，,所以,则的取值范围为.（2）构造函数则，且，构造函数，则，再令，则，因为时，则，在单调递增，而，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，故，即.【变式1-2】已知函数，．(1)求的最小值；(2)证明：．【解析】（1）的定义域为，，令解得，又因为当时，为增函数，故当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；故，故．（2），，则，故当时，，则在单调递增；当时，，则在单调递减；故．又因为，所以（当且仅当时，取“”），所以．【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【解析】（1）由题意知，当时，，所以在上单调递减；

当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）得，

要证，即证，即证，令，则，

令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，.题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.(1)求的取值范围；(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；(3)若，证明：.【解析】（1）令，得，令，得，①，解得，②，解得，所以的取值范围为.（2），则，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，又，当时，无零点，所以与不互.为“零点相邻函数”；当时，，函数的零点为，所以与互为“零点相邻函数”；当时，，又因为，所以此时在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”；当时，，又因为，所以在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”.综上，当时，与不互为“零点相邻函数”，当时，与互为“零点相邻函数”.（3）当时，，设，则，则，设，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以，即，所以在上单调递减，又，所以，得证.【典例2-2】（2024·湖北荆州·三模）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：函数的图象位于直线的下方；【解析】（1），则，又，所以曲线在点处的切线方程为；（2）因为，所以，要证明，只需要证明，即证，令，则，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在上单调递减，故在取极大值也是最大值，故，所以恒成立，即原不等式成立，所以函数的图象位于直线的下方.【变式2-1】已知函数有且只有一个零点，其中．(1)求的值；(2)若对任意的，有成立，求实数的最大值；(3)设，对任意，证明：不等式恒成立．【解析】（1）的定义域为，．由，得．∵当时，则在区间上是增函数，当时，，在区间上是减函数，∴在处取得极大值也为最大值．由题意知，解得．（2）由（1）知，当时，取得，，知不合题意．当时，设．则．令，得，．①若≤0，即≤时，在上恒成立，∴在上是增函数，从而总有，即在上恒成立．②若，即时，对于，，∴在上单调递减．于是，当取时，，即不成立．故不合题意．综上，的最大值为．（3）由．不妨设，则要证明，只需证明，即，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴在上单调递增，∴，即，得证．故原不等式恒成立．【变式2-2】设，当时，求证：．【解析】要证时，，只需证，记，则，当时，，所以在上单调递增，故，所以，要证时，，只需证，记，则，当时，，所以在上单调递增，故，所以，综上，，【变式2-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间;(2)若，证明:．【解析】（1），令，所以，由可得，由可得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.又因为，所以，即，且至多在一个点处取到.所以在上单调递减，没有单调递增区间.（2）证明，只需证：，即证：，令，所以，只需证：，即证：，由（1）知，当时，在上单调递减，所以当时，，即，所以.题型三：分析法【典例3-1】已知函数，当时，证明：.【解析】当时，有，所以，要证，只需证，即证，,设，则，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，得证.【典例3-2】已知函数，．(1)若直线是函数的图象的切线，求实数的值；(2)当时，证明：对于任意的，不等式恒成立．【解析】（1）直线是函数的图象的切线，设切点为，，，得．切点在函数的图象上，，代入得，解得或．再代入解得或，∴实数的值为1或．（2）证明：要证，即，，，又由知即证，设，则．令，则，由，得，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减，在上，，即，令，则，设，则．令，得，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增，在上有最小值，为．的最小值为，原不等式得证．【变式3-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中.(1)求曲线在点处切线的倾斜角；(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围；(3)证明：.【解析】（1）由，所以，设曲线在点处切线的倾斜角为，则，又因为，所以，所以曲线在点处切线的倾斜角为0.（2）由（1）知，且，解得：或，当时，，，，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，所以；当时，，，，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，即此时极小值不可能小于0，所以当时不符合题意；当时，恒成立，所以在上单调递增，即函数无极值，不满足题意，所以当时不符合题意；当时，，，，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，所以；综上可知实数的取值范围为或.（3）由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，，即，即，两边取自然对数得：，则.要证成立，只需证，.两边同除得：，即.只需证：，即证，令，，，解得：，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，即，经检验，当时，成立.综上可知不等式得证.题型四：凹凸反转、拆分函数【典例4-1】已知函数，证明：当时，.【解析】由题意等价于，设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．【典例4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．(1)求的最大值；(2)证明：当时，．【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，所以当时，函数取得最大值.（2）令函数，求导得，即函数在上单调递增，因此，，由（1）知，恒成立，所以，即当时，.【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．(2)若，，证明：．【解析】（1）因为，所以．令，解得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．

因为，，所以．令，解得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．

由题意可得，解得．（2）证明：方法一

当时，，，则．要证，即证，．令，，则．令，，则，所以当时，，所以在上单调递增．

因为，，所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．

由，得，所以．两边取对数，得，所以，所以，即．因为，所以，即．

方法二要证，即证，即证．

令，，，．易得，则令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增．所以．

易得．令，得；令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以，故．【变式4-2】已知，，，求证：．【解析】令，，则，则，只需证明，即证；，，故只需证明，即证，记，则，当时，；当时，；即在上递减，在上递增，①，当且仅当时等号成立，再记，则，当时，；当时，；在上递增，在上递减．②，当且仅当时等号成立．由①②等号不同时取到，得，于是．【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．(2)若的极大值为，求的取值范围．(3)当时，求证：．【解析】（1）由题意，得，所以．因为曲线在处的切线方程为，又，所以，所以．所以．令，得；令，得．所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）由题意得．当时，令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，此时只有极小值，不符合题意．当时，令，得，．因为的极大值为，所以，解得．综上，的取值范围为．（3）当时，．要证，即证，只需证．先证：，．设，，则．设，，则．所以函数在上单调递增，则，即，所以函数在上单调递增，则，所以．再证：，，即证．设，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以．设，，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．所以，即．综上，得证．故．【变式4-4】已知函数，求证：.【解析】由题意，当时，由，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.设，当时，，当时，设，则，所以在上是增函数，所以，即，，所以，而，所以，综上，当时，．【变式4-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：.【解析】（1）因为，所以，当时，，则恒成立，所以在上单调递增；当时，，令，解得或（舍去），令，解得；令，解得；故在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）即，也即，也即.设，则，令，解得，又在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以，由题意，所以，所以，得证.题型五：对数单身狗，指数找朋友【典例5-1】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：.【解析】（1），当，即时，此时，，故在上单调递增.当，即时，令，则.①当时，在上单调递增，在上单调递减.②当时，，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：当时，，证原不等式等价于证，令，则，且，故只需证，即证令，则，令，则，由于，令则，在上单调递增，在上单调递减.又，当时，，即，当,时，，即，在上单调递增，在上单调递减，，所以，当时，1.【典例5-2】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．(1)求m的值；(2)证明：对一切，都有．【解析】（1），，，则有，，解得；（2）由，故，要证对一切，都有，即证对一切恒成立，即证对一切恒成立，令，，则当时，，则当时，，即在、上单调递减，在上单调递增，又，，故对一切恒成立，即得证.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为（其中为自然对数的底数）．(1)求实数的值．(2)当时，证明：对，都有．【解析】（1）由，得．所以．又，所以曲线在点处的切线方程为．由切线方程为，得．（2）方法一

当时，设，则．设，则．设，则．令，则．当时，；当时，．所以函数即在上单调递减，在上单调递增．又，所以存在唯一的，使，且当时，，当时，，故函数即在上单调递减，在上单调递增．又，所以，所以存在唯一的，使，且当时，，当时，，故函数在上分别单调递增，在上单调递减．因为，所以在上恒成立，当且仅当或时取等号，即对，都有．方法二

当时，记，则要证，即证．记，则．令，得．因为，所以当时，，当时，．所以在上分别单调递减，在上单调递增．又，所以在上恒成立，当且仅当或时取等号，即对，都有．【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)证明：．【解析】（1）函数的定义域为，将代入，解得，即，由切线方程，可知切线斜率，故，解得；（2）由（1）知，要证，即证．设，则，令，解得，或（舍去），当时，单调递减；当时，单调递增；所以，所以，即．【变式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点.(1)求a；(2)证明：.【解析】（1），依题意，，解得，经检验符合题意，所以；（2）由（1）可知，，要证，即证，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，因为，，所以.题型六：放缩法【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的最值．(2)证明：（其中为自然对数的底数）．【解析】（1）由题意知，定义域为，从而．所以当时，；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减．所以函数的最大值为，无最小值．（2）欲证，只需证．由（1）知，从而，当且仅当时取等号．下面证明：．设，则．设，则．设，则，故当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增．由于，故设存在唯一的，使，且当时，，当时，．故函数在上单调递减，在上单调递增．又，所以存在唯一的，使，故当时，；当时，．从而函数在上分别单调递增，在上单调递减．因为，所以在上恒成立，当且仅当时取等号．因为取等条件不相同，所以恒成立，即成立．【典例6-2】已知函数，为的导函数．(1)求函数的零点个数；(2)证明：．【解析】（1）由题知，，令，而恒成立，故在单调递增．又，，故，由零点存在性定理可知一定存在，使得，综合函数单调性可知，函数有且仅有1个零点．（2）当时，，令，而，当时，恒成立，故在上单调递增，且，故，成立令，而，令，，令，，故在上单调递增，在上单调递减，故最大值为，且，故，即，故得证，∴，不等式得证；当时，即证．令，，则当时，，单调递增；当时，，单调递减．则①，令，，则当时，单调递减；时，单调递增．则②．由①②可知，，故不等式得证．【变式6-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：.【解析】（1）当时，，，则，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，有，所以，因为，所以.令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.故.【变式6-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数(1)讨论的单调性；(2)若是的极大值点，求的取值范围；(3)若，证明：．【解析】（1）由题知，令，则，当时，在区间单调递增，当时，令，解得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）当时，，由（1）知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，，且，由（1）知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，，则当时，在上单调递增，所以无极值点，不合题意；当时，，且；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；所以是函数的极大值点，符合题意；综上所述，的取值范围是.（3）要证，只要证，只要证，，因为，则，所以只要证对任意，有，只要证对任意，有（※），因为由（2）知：当时，若，则，所以，即①，令函数，则，所以当时，所以在单调递增；则，即，由①②得，所以（※）成立，所以成立.【变式6-3】（2024·辽宁大连·模拟预测）定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.(1)设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）(2)证明：当时，函数不存在“自公切线”；(3)证明：当，时，.【解析】（1）曲线C：，当时，，表示以点为圆心，半径为的部分圆弧，当时，，表示以点为圆心，半径为的半圆圆，从而图象如下：由图象可知，存在“自公切线”；（2）由题意，，下面只需证明在上单调即可，令，则，当时，，此时单调递减，即单调递减；当时，，此时单调递减，即单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，所以在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.（3），，故只需证明，即只需证明，构造函数，则，当时，，从而在上单调递减，所以，即，故只需证，设，注意到，，注意到，令，则由（2）知，，且由（2）知，在上单调递减，所以，从而在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，从而，当，时，.【变式6-4】已知函数，证明：当时，.【解析】因为，所以，解得，即函数的定义域为，令，可得，所以在单调递增，所以，即，要证不等式，只需证明，又由函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，即，当且仅当时，等号成立，所以，当时，，只需证明：，即，即，即，令，可得，设，可得，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，易知在单调递增，故方程有唯一解.又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.题型七：虚设零点【典例7-1】（2024·山东济南·二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：.【解析】（1）由题意可得：的定义域为，，当时，则在上恒成立，可知在上单调递减；当时，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）构建，则，由可知，构建，因为在上单调递增，则在上单调递增，且，可知在上存在唯一零点，当，则，即；当，则，即；可知在上单调递减，在上单调递增，则，又因为，则，，可得，即，所以.【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)若，，求证：．【解析】（1）当时，，定义域为，则．设，则，所以在上单调递增，且，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以．因为，所以在上单调递增，且．①若，则，所以当时，恒成立，单调递增．又，所以；②若，则，，所以存在，使得，即．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．因为在上单调递减，所以，所以．综上所述，当，时，．【变式7-1】已知函数.(1)若在定义域内不单调，求a的取值范围；(2)证明：若，且，则.【解析】（1）的定义域为，.若，则，所以在上单调递增；若，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以在定义域内不单调时，a的取值范围为.（2）记，则，因为是上的减函数，且，，由正切函数的性质可知，当时，为增函数，当时，为减函数，所以是的极大值点.令，则，所以是上的增函数，故，所以当时，，令，则，由，得，时，是减函数，时，是增函数，所以，即，所以，下面证明，令，即证，即，设，则，所以是上的增函数，所以时，，成立，命题得证.【变式7-2】（2024·高三·辽宁丹东·开学考试）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)求证：.【解析】（1）因为函数，所以，记，，所以在上单调递增，且，所以当时，，即，所以在单调递减；当时，，即，所以在单调递增，且，所以.（2）要证，只需证明：对于恒成立，令，则，当时，令，则，在上单调递增，即在上为增函数，又因为，，所以存在使得，由，得即即即，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，即.【变式7-3】（2024·河北张家口·三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．【解析】（1）的定义域为，因为，所以曲线在点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，即.（2），令，则，因为，所以存在，使得，即，易知在上单调递增，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以当时，取得最小值：，由二次函数性质可知，在上单调递减，所以，即，所以.【变式7-4】（2024·山东威海·二模）已知函数．(1)求的极值；(2)证明：．【解析】（1）由题意得的定义域为，则，当时，，在上单调递增，无极值；当时，令，则，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；（2）证明：设，，令，则，即在上单调递增，，故，使得，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故即，即，则.题型八：同构法【典例8-1】已知函数，．（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明．【解析】解：（1）的定义域为，，①当时，，此时在上单调递减，②当时，由可得，由，可得，在上单调递减，在，上单调递增，③当时，由可得，由，可得，在上单调递增，在，上单调递减，证明（2）设，则，由（1）可得在上单调递增，（1），当时，，当时，，在上单调递减，当时，，，，．【典例8-2】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【解析】（1）解：函数的定义域为，，令，即，△，解得或，若，此时△，在恒成立，所以在单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增．综上所述：若，在单调递增；若，在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，所以（1），所以在上恒成立．（3）证明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面证，即证2，设，，设，，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，．法二：，即，令，则原不等式等价于，，令，则，递减，故，，递减，又，故，原结论成立．【变式8-1】（2024·甘肃定西·一模）设函数，(1)证明：.(2)当时，证明：.【解析】（1）因为，其定义域为，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，证毕.（2）当时，，而，要证，即证，即证，设，则，当时，，则在上单调递增，且，当时，，故只需证明，由（1）知，在上成立，故，即成立.【变式8-2】（2024·甘肃白银·三模）设函数，．(1)讨论的单调性．(2)证明：．(3)当时，证明：．【解析】（1）因为，易知定义域为，，由，得到，由，得到或，所以的增区间为，减区间为，.（2）因为，易知定义域为，，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.（3）由（2）知，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，要证明，即证明，令，则在区间上恒成立，又，所以，所以，命题得证.【变式8-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）.(1)求在区间上的最大值与最小值；(2)当时，求证：.【解析】（1）（）（），令，则，当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，所以，.当时，，则当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增，所以，而，.所以综上所述，当时，，；当时，所以，.（2）方法一：隐零点法因为，，所以，欲证，只需证明，设，（），，令，易知在上单调递增，而，，所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，当时，，，在上单调递减；当时，，，在上单调递增；所以所以，因此.方法二：（同构）因为，，所以，欲证，只需证明，只需证明，因此构造函数（），，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增：所以，所以，所以，因此.【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程；(2)若，求证：当时，．【解析】（1）由题意知，，则，即．因为切线与直线垂直，所以直线的斜率为1，得，则，故的方程为，即．（2）解法一

由题知，当时，，故只需证．令，则，，在上单调递增，且，，所以在上有唯一零点，设该零点为，则，且，所以．当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．所以，所以，故当时，．解法二

由题知，当时，，故只需证，即证．令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即，当且仅当时取等号．易知函数的值域为，所以，当且仅当时取等号，故当时，．题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理【典例9-1】证明不等式：．【解析】设，则，，代入的二阶泰勒公式，有，．所以原题得证．【典例9-2】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．【解析】解：（1），，△，①时，恒成立，故函数在递增，无递减区间，②时，或，故函数在，，递增，在，递减，综上，时，函数在递增，无递减区间，时，函数在，，递增，在，递减，（2），对，恒成立，即，时，恒成立，令，，则，令，则，在递减且（1），时，，，递增，当，，，递减，（1），综上，的范围是，．（3）证明：当时，，，不妨设，下先证：存在，，使得，构造函数，显然，且，则由导数的几何意义可知，存在，，使得，即存在，，使得，又为增函数，，即，设，则，，①，②，由①②得，，即．【变式9-1】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数．(1)求函数在区间上的极值点的个数．(2)“”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．证明：（i）当时，对，都有；（ii）．【解析】（1），令，则，当时，，，则在上恒成立，故在上单调递减，即有在上单调递减，则，故函数在区间上没有极值点；（2）（i）令，其中，，则，又当时，，则，即，令，则，令，则，由，故，又，故恒成立，即在上单调递增，故，即在上恒成立，即在上单调递增，故，即在上恒成立，故在上单调递增，则，即；（ii）由，，故要证，即证，即证，只需证，由（1）知，当时，，则可令，此时，则，即，即，即，故只需证，令，，则，由（i）知，当时，，即，即，故在上单调递增，故，即，即得证.【变式9-2】英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设，证明：.【解析】（1）令，则，，，，故，，，，，由麦克劳林公式可得，故．（2）结论：，证明如下：令，，则令，则，故在上单调递增，，则故在上单调递增，，即证得，故．（3）由（2）可得当时，，且由得，当且仅当时取等号，故当时，，，，而，即有故而，即证得．【变式9-3】阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：(1)求出的值；(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；(3)求证：，其中．【解析】（1）因为，所以，，，所以．（2）由麦克劳林公式，令，有再取，可得，所以估算值为．在中，取，可得.（3）证明：由麦克劳林公式，当时，令，有，猜想：令，有，猜想：令，由，所以，即．令，由，再令，则恒成立，所以在上为增函数，且，所以在上为增函数，所以，即．又时，，，所以.令，当，有，则，命题得证．题型十：分段分析法、主元法、估算法【典例10-1】已知函数．（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）若，求证：对，恒成立．【解析】（1）由已知可得，，设，则．当时，有恒成立，所以，即在R上单调递增；当时，由可得，．由可得，，所以，即在上单调递减；由可得，，所以，即在上单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以对，有．设，则．解可得，或或．由可得，，所以，函数在上单调递增；由可得，或，所以，函数在上单调递减，在上单调递减．所以，在处取得极大值，在处取得极小值．又，所以，即．所以，有，整理可得，，所以，有，恒成立．【典例10-2】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，．【解析】（1），，①当，即时，，在区间单调递增．②当，即时，令，得，令，得，所以在区间单调递增；在区间单调递减．③当，即时，若，则，在区间单调递增．若，令，得，令，得，所以在区间单调递减；在区间单调递增．综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；时，在区间单调递增时，在区间单调递减、在区间单调递增．（2）证明：要证，即证，即证．令，，则，所以在区间单调递增，所以时，，即时，．令，，则在时恒成立，所以，且时，单调递增，因为时，，，且，所以，且时，，即．所以，且时，．【变式10-1】若定义在上的函数满足，，．（Ⅰ）求函数解析式；（Ⅱ）求函数单调区间；（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（Ⅱ），，①时，，函数在上单调递增；②当时，由得，时，，单调递减；时，，单调递增．综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅲ）解：设，，，在，上为减函数，又（e），当时，；当时，．，，在，上为增函数，又（1），，时，，在，上为增函数，（1）．①当时，，设，则，在，上为减函数，（1），当，，，比更接近．②当时，，设，则，，在时为减函数，（e），在时为减函数，（e），，比更接近．综上：在且时时，比更接近．【变式10-2】已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，，．【解析】解：（1）当时，，则，，故则在上单调递减．（2）当时，，要证明对任意的，，．则只需要证明对任意的，，．设（a），看作以为变量的一次函数，要使，则，即，恒成立，①恒成立，对于②，令，则，设时，，即．，，在上，，单调递增，在上，，单调递减，则当时，函数取得最大值，故④式成立，综上对任意的，，．题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值【典例11-1】（2024·河南·模拟预测）已知，函数的图象在点处的切线方程为.(1)求a，b的值;(2)若方程（e为自然对数的底数）有两个实数根，且，证明：【解析】（1）因为，所以，由题意知，所以，联立方程组，解得.（2）由（1）可知，，，设，，所以即在上单调递增.又，所以存在，使得，且时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，设，令，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增.又，所以当时，，当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.故，即，当且仅当时，等号成立.

因为方程有两个实数根，且，也就是，且注意到在上单调递增，所以，所以，即.设的根为：，则，又在上单调递增，所以，故①.易知的图象在坐标原点处的切线方程为，令，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增.又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，，当且仅当时，等号成立.因为，所以，即.设的根为，则，又在上单调递减，所以，所以，从而②.由①②可知：.【典例11-2】已知函数.(1)求函数的单调性；(2)若有两个不相等的零点，且.①证明：随的增大而增大；②证明：.【解析】（1）由可得，令，故在单调递增，令，故在单调递减，故在单调递增，在单调递减（2）①由于有两个不相等的零点，且.所以是的两个实数根，由（1）知，在单调递增，在单调递减，且，当时，，当时，，故，对任意的，设，则其中其中由于在单调递减，，故，所以，在单调递增，，故，所以，又，所以，所以，故随的增大而增大；②设，令，则；令在单调递增，在单调递减，故，故在恒成立，此时恒成立，由①知所以，即，令，记，则，当时，，在单调递减，时，，在单调递增，故，进而，因此，所以，故，即，进而，又因为，所以，得证【变式11-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数．(1)求证：；(2)若是的两个相异零点，求证：．【解析】（1）令，则．令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增．所以，所以．（2）易知函数的定义域是．由，可得．令得；令得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．①当，即时，至多有1个零点，故不满足题意．②当，即时，．因为在上单调递增，且．所以，所以在上有且只有1个零点，不妨记为，且．由（1）知，所以．因为在上单调递减，，所以在上有且只有1个零点，记为，且．所以，所以．同理，若记则有，综上所述，．题型十二：函数与数列不等式问题【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)证明：时，；(2)证明：．【解析】（1）证明：要证，只要证，即证时，，令，则，所以在上单调递增，所以，所以时，，所以时，．（2）证明：由（1）知，令得，即，所以，，，……，，所以，即．【典例12-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数(1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标；(2)①当时，求在上的最小值；②证明：．【解析】（1）设点.由于，则，得，则，且，所以点的坐标为.（2）①，则，记，则易知在上单调递减，且,，即，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.因为，所以时，，在单调递增，所以，当时，取得最小值.②由①可知，时恒成立，即恒成立.设，则，当时，，在上单调递增，所以，所以，又，所以，取，则，，得证.【变式12-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0.(1)求实数的取值范围；(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.（i）求证：函数在上具有性质；（ii）记，其中，求证：.【解析】（1），，，，，令，等号不同时取，所以当时，，在上单调递增，①若，即，，在上单调递增，所以在上的最小值为，符合题意.②若，即，此时，，又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在，使得，且当时，，在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去.综上所述，实数的取值范围是.（2）（i）由（1）可知，当时，.要证函数在上具有性质.即证：当时，.即证：当时，.令，，则，即，，，所以在上单调递增，.即当时，，得证.（ii）法一：由（i）得，当时，，所以当时，.下面先证明两个不等式：①，其中；②，其中.①令，，则，在上单调递增，所以，即当时，.②令，，则，所以在上单调递增，故，即当时，，故，得.据不等式②可知，当时，，所以当时，.结合不等式①可得，当时，.所以当时，当，时，，有.所以.又，所以法二：要证：.显然，当时，，结论成立.只要证：当，时，.即证：当，时，.令，.所以，，所以，在上单调递减，所以，在上单调递增，所以，在上单调递增，所以，即当时，.所以当，时，，有，所以当，时，.所以【变式12-2】（2024·天津·模拟预测）已知函数．(1)求在点处的切线方程；(2)若恒成立，求的值；(3)求证：．【解析】（1），有，因为，所以，则曲线在点处的切线方程为．（2）因为，的定义域为，所以是的极大值点，因为，所以，所以，需验证，当时，恒成立即可，因为，令，则，①当时，，则在上单调递减，所以在上单调递增，，②当时，，则在上单调递减，所以，综上，符合题意．所以恒成立时，.（3）由（2）可知，，当且仅当时取等号，当时，，所以，，因为，所以即证，令，则，当时，，，所以即证：，令，则，所以时，单调递减，所以，即，综上，.【变式12-3】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列的前项和为，首项.(1)若，求数列的通项公式；(2)若函数，正项数列满足：.（i）证明：；（ii）证明：.【解析】（1）正项数列中，，，，当时，，两式相减得，即，而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以数列的通项公式为.（2）（i）令，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，于是，即，即，当时，，当时，因此，所以（ii）由已知，所以，得，当时，，于是，当时，，又，所以，恒有，当时，，由，得当时，，则当时，，从而，于是，所以.题型十三：三角函数【典例13-1】（2024·全国·三模）已知函数在处的切线方程为.(1)求a的值；(2)证明：.【解析】（1）由题意可得函数的定义域为，又，函数在处的切线方程为，其斜率为，得：，解得.（2）注意到，且，则，，令，则.令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增.因为，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，即，所以在上单调递增.因为，所以当时，；当时，，所以.【典例13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，(1)求的最小值；(2)证明：.【解析】（1）令，由可知，构建，则在内恒成立，可知在内单调递减，则，所以的最小值为1.（2）由（1）可知：，即，又因为，则，可得，则，构建，，则在内恒成立，可知在内单调递增，则，即，可得，注意到，则，所以.【变式13-1】（2024·四川广安·二模）已知函数.(1)若存在极值，求的取值范围；(2)若，，证明：.【解析】（1）由，，得，当时，，则单调递增，不存在极值；当时，令，则，当，则，即在上单调递减，当，则，即在上单调递增.所以是的极小值点，所以当时，存在极值，综上所述，存在极值时，的取值范围是.（2）欲证不等式在时恒成立，只需证明在时恒成立.设，，则，令，，则.当时，，所以，所以即在上单调递增，所以，因为，所以，故，所以在上单调递增，所以，即当，时，不等式恒成立.【变式13-2】已知函数，（为自然对数的底数）．(1)求曲线在处的切线方程(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；(3)证明：．【解析】（1）函数，，，，，所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为0，切线方程为.（2），因为，所以，则，，所以函数在上单调递减.，，所以函数的值域为.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为，所以实数的最大值为.（3），设，则，令，则，所以在上单调递增，，，则有，，故存在，使得，即，所以当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数，，，故，所以即.【变式13-3】（2024·广东湛江·二模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，且，证明：.【解析】（1）由，得，则，，.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由，，且，不妨设，，，则证明等价于证明，，即证，从而构造函数，利用其调性证明结论.令，则，当时，，在单调递减，故，，即，，则，要证，只需证.令，则，令，得.令，，则，令，，则在上恒成立，则，则在上恒成立，则在上单调递增.当时，，则，则，在单调递减，当时，，则，则，在单调递增.因为，所以，即在上恒成立，从而.1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．(1)若，证明：时，；(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；(3)已知数列的通项公式为，求证：．【解析】（1）由题意可知：等价于，其中．构建，则，可知在上单调递减，则时，，所以时，．（2）由题意可知：，则①若，则，由可得，可知在上单调递减，不合题意；②若，则，可知上为增函数，符合题意；③若，则，由可得，可知在上单调递减，不合题意；综上所述：．（3）由（2）知：在上单调递增，所以时，，即，由（1）知：时，，则，所以时，，令得：，即，因为，所以，由知：，又因为，所以，所以．2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数．(1)判断并证明的零点个数(2)记在上的零点为，求证;（i）是一个递减数列（ii）．【解析】（1）当为奇数时，有1个零点；当为偶数时，有2个零点.证明如下：当时，由，得，所以函数在上单调递增，又，，所以函数在内有唯一零点；当时，，若为奇数，，则，此时在内无零点；若为偶数，设，则，方程有一个解，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，此时在内有1个零点.综上，当为奇数时，有1个零点；当为偶数时，有2个零点.（2）（i）由（1）知，当时，在在内的零点，当时，，，则，故，所以数列是一个递减数列；（ii）由（i）知，当时，，当时，，有，所以，求和可得，当且仅当时等号成立；当时，，故，则，得，即，即，即，即，即，即，当时，，所以当时，均有成立，求和可得.综上，.3．（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中．(1)当时，判断的单调性；(2)若存在两个极值点．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：时，．【解析】（1）函数的定义域为，则，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增；（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值为，当时，当时，若存在两个极值点，则有两个不相等的实数根，所以，解得，又，所以，且当时，即，则单调递增，当时，即，则单调递减，当时，即，则单调递增，所以为的极大值点，为的极小值点，因为，所以，要证，即证，又，只需证，即证，即证，令，则，所以在上单调递增，所以，即成立，所以；（ⅱ）由（ⅰ）知，，且当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以.4．已知，.(1)若，判断函数在的单调性；(2)设，对，，有恒成立，求k的最小值；(3)证明：..【解析】（1）由题意，函数，.则，又，故，而，所以，故在上单调递增.（2）由题意知，，对，，有恒成立.，设，则，由于，故，时，单调递增，又，，因此在内存在唯一零点，使，即，且当，，，单调递减；，，，单调递增.故，故，由于，则，故，即，设，，，又设，故在上单调递增，因此，即，在上单调递增，，又，所以，故所求k的最小值为2.（3）由（1）可知时，，即，设，则，因此，即，得证.5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．(1)若函数在上单调递增，求实数的值；(2)求证：．【解析】（1）由题意，得，由函数在上单调递增，得在上恒成立，令，则，当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，又，所以恒大于等于0不成立.当时，由得，所以当，当，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，若恒成立，则，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时，.综上，若函数在上单调递增，则.（2）由（1）得，当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立，令，则，所以令，则恒成立，所以函数在上单调递增，故当时，，即，所以，所以，故得证.6．（2024·河北·三模）已知函数．(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：．【解析】（1）在恒成立．构造函数，则在恒成立．当时，，所以在递增，所以，矛盾，故舍去当时，由得，所以在递增，故，均有，矛盾，故舍去当时，，所以在递减，所以，满足题意；综上，实数a的取值范围为（2）由（1）知当时，恒成立，即在恒成立且当且仅当时取等号．所以当时，可得同理，，，两边分别累加得：即即7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数．(1)求的值域；(2)求证：当时，．【解析】（1），，令，则，，则，令，，则，所以函数在上单调递增，所以，即，故的值域为．（2）令函数，，则，所以在上单调递增，所以，故当时，，所以．由（1）知，当1时，所以当时，，所以，令，其中，，2，3，，n，则，所以，，，，，以上n个式子相加得，即当时，．8．已知函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；(3)证明：.【解析】（1）当时，，，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；所以在处取到极大值，无极小值.（2）因为，恒成立，所以恒成立，令，则，令，则恒成立，即在区间上单调递减，所以，即，所以时，，所以在区间上单调递减，故，所以，所以实数的取值范围为.（3）由（2）可知，取，当时，，所以，取，则有，即，所以将上述式子相加得即9．已知，函数，．(1)若函数的最小值是0，求实数m的值；(2)已知曲线在点处切线的纵截距为正数．（ⅰ）证明：函数恰有两个零点；（ⅱ）证明：．【解析】（1）因为，则，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则的最小值为，解得.（2）由（1）可知：，，可得，，即切点坐标为，斜率，则切线方程为，令，可得，由题意可得：，且，解得；（i）因为，可知的定义域为，，设，则在内恒成立，可知函数在上递增，由（1）可知：当时，，即，当且仅当时，等号成立，则，可得，又因，由零点的存在性定理可得，存在，使得，即，（*）当时，，即，为减函数，当时，，即，为增函数，又因为，，设，则，所以函数在上递增，所以，即，因为，所以，即，所以，则，所以，且，当时，，所以由的单调性可知，且，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，，且，所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，所以函数恰有两个零点，（ii）因为，即，则，所以，有基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号，由，由可得，这与矛盾，所以，所以，要证，即证，设，则所以函数在上递减，所以当时，，因为，所以，所以，又，所以.10．（2024·河北邢台·二模）已知函数，(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：.【解析】（1）此时，故.所以，，故所求切线经过点，斜率为.故该切线的方程为，即.（2）结论即为.设，则.故当即时，当即时.所以在上递增，在上递减，从而的最大值就是，且恰在时取到.所以的取值范围是.（3）由（2）的结论，知当正数时，有，故.从而.11．（2024·广东广州·三模）已知函数．(1)求的极值；(2)已知，证明：．【解析】（1）由题意知：定义域为，；①当时，，，在上单调递增，无极值；②当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）令，则，由（1）知：，，即，令，则且，，，取，则，即，令，则，在上单调递增，，即，，即.12．已知函数．(1)证明：．(2)已知，证明：．【解析】（1）函数的定义域为R，，由得，由得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，故的最小值是，所以．（2）由（1）得，．令，其中，则，即