第六节指数函数原卷

考点一：指数幂的运算1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．◆典例分析◆例1计算：(1)(－1.8)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))2)－eq\f(1,\r(0.01))＋eq\r(93)；(2)(a>0，b>0)．例2eq\r(3,－43)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4＝________.◆对点练习运用◆1.计算：(1)；(2).2.若m＝eq\r(5,π－35)，n＝eq\r(4,π－44)，则m＋n的值为()A．－7B．－1C．1D．73.计算化简：(1)＝________；(2)＝________.4.计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,16)))0.5－2×－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2＋π)))0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－2；(2)2eq\r(3)×3eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12).考点二指数函数的图像及应用1.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数注意：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．◆典例分析◆例1(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是()A．a<bB．若a<0，则b<a<0C．|a|<|b|D．若0<a<log32，则ab<ba例2若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．例3(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0 B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0 D．a>1,0<b≤1◆对点练习运用◆1.(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<02.函数y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是()3.(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．2a＋2b>2B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C．2a＋2b＝2D．a＋b<0考点三指数函数的性质及应用1.利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．◆典例分析◆例1设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A．b<c<a B．c<a<bC．a<b<c D．b<a<c例2已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是()A．[2,4] B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]例3已知a＝1.30.6，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3，则()A．c<b<a B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a◆对点练习运用◆1.对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为()A．(0,6] B．(0,20]C．[2,6] D．[2,20]2.已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．3.若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．4.已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为()A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)5.已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.9，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a考点四指数函数性质综合运用1.求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．◆典例分析◆例1已知函数f(x)＝eq\f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．例2(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)，下列说法正确的有()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0例3已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2◆对点练习运用◆1.已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．2.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．(1)求实数k的值；3.函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值．4.(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(