232两点间的距离公式教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

2.3.2两点间的距离公式教学设计教学内容两点间的距离公式.本节课地位本节课节选自人教社普通高中教科书《数学》（A版）选择性必修第一册第二章2.3.2两点间的距离公式，距离问题是欧氏几何的基本问题之一，欧式几何中把两点间线段的长度定义为距离，两点间的距离公式是平面解析几何中刻画距离的基本公式，它在平面解析几何的学习中具有基础的地位，是几何图形代数化的起点和重要工具，点到直线的距离公式的获得，圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的建立等都是以此为基础的.思想方法学科素养本节内容是在直角坐标系下，利用代数方法解决平面几何问题的初步基础，是沟通“数”与“形”、建立解析几何理论的基础，两点间的距离公式是解析法巨大作用的初步体现.课本上首先用向量方法得出平面上两点间的距离公式，之后设置问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解推导两点间距离公式的不同方法，并且能够评价对不同方法的体会.运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想，帮助学生体会建系的方法不是唯一的，但计算结果都是一致的，在解决问题时选择最方便的建系方法即可.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养，通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式，并通过练习学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.本节内容的探究、应用等过程，渗透了数形结合、分类讨论等数学基本思想方法，对发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养起着重要的推动作用.教学目标1.经历两点间距离公式的推导过程，体会向量法和坐标法的运用，深入理解两点间的距离公式，提高逻辑推理，数学运算素养.2.通过用坐标法将几何问题代数化，明确建系的本质，体会数形结合的思想方法，提高逻辑推理，直观想象素养.学习目标通过自主探究，利用向量模长推导两点间距离公式；通过合作互助，利用构造直角三角形推导两点间距离公式，并进行比较。培养逻辑推理、数学运算素养。通过例题与练习，达到对两点间距离公式的初步应用。通过用“坐标法”证明平行四边形的勾股定理，将几何问题代数化，归纳出解决平面几何问题的基本步骤，明确建系的本质，体会数形结合的思想方法。重点与难点1.教学重点：平面上两点间距离公式的推导过程及应用.2.教学难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题.教学过程引导语：我们知道，在各种几何量中，线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.【环节一】提出问题，探究公式图1【问题1】如图1，已知平面内两点P1x1,y图1【预设】方法一：向量法——模长公式在学习向量及其运算的坐标表示时，定义有向线段P1P2,利用平面向量的模长公式求P1P2因此，P1x1方法二：几何法——勾股定理图2学习平面几何时，我们往往通过构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度.基于点坐标的意义，构造恰当的直角三角形来推导两点间的距离公式.图2（1）若直线P1P2平行于x若直线P1P2平行于y（2）若直线P1P2在x若直线P1P2在y图3（3）若直线P1P2不与坐标轴平行(垂直图3点A的坐标为x2P1A=则P1用勾股定理推导两点间距离公式需要分情况讨论，三种情况下的公式是一致的.【追问1】原点O0，0与任一点Px,y【预设】OP【追问2】此公式与两点的先后顺序有关吗？【预设】此公式与两点的先后顺序无关.【追问3】能否用文字语言表述两点间的距离公式？【预设】两点间的距离等于这两点横纵坐标差的平方和的算术平方根.设计意图：提出问题让学生自由思考解决，让课堂更有活力.学生已经学过向量及其运算的坐标表示，这里已知了两点的坐标，联系向量知识不难得出两点间的距离公式.几何法中对于一般的情形，学生容易想到构造直角三角形利用勾股定理解决问题，然而可能忽略点P1【环节二】初步应用公式例3：已知点A−1,2,B2,7，在x轴上求一点P，使PA分析：到两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线所在的直线，该轨迹与x轴交点的即为点.由题可知，到点A和点B距离相等的动点M的轨迹满足M|MA设点Mx,y，则MA=x+1由已知MA=MB建立点M3则动点M与x轴交点的坐标即为点P,3x−所以所求点为P1,0，且PA设计意图：通过设点P的坐标，借助两点距离公式建立关于P点横坐标的方程，通过解方程来解决问题.完成课后练习【环节三】通过例4归纳“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤例4：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.（平行四边形的勾股定理或广义勾股定理）图5分析图5【追问1】平行四边形的4个点是否需要设出8个不同的参数呢？如何建立平面直角坐标系使得未知量尽量少且不失一般性呢？【预设】不需要设8个不同的参数，为了方便计算，可以利用平行四边形的对称性等几何性质以及让平行四边形的四条边或对角线落在坐标轴上以减少参数.【追问2】建立直角坐标系解决问题，比较不同建系方法的优劣.（学生展示）【预设】可令顶点A为坐标原点，边AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.图6设Ba,0，Db,c图6AC2=a+b2+c2所以，AC2+BD2=所以，AC2将代数表达转化为几何关系：平行四边形两条对角线的平方和等于两条领边的平方和的两倍.图图7师生总结：建立坐标系的方法很多，但在不同坐标系下的计算结果是相同的，因此在选择坐标系时，尽量选择有利于计算的.设计意图：让学生展示自己的建系方法，通过比较不同的建系方法，引导学生体会建立直角坐标系的方法不是唯一的，但不同坐标系下的计算结果是一样的，因此选择坐标系应让尽可能多的点落在坐标轴上，让参数少一些以方便计算.【追问3】你能概括用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤吗？【预设】1.建立坐标系，用图形点的坐标表示有关的量；2.进行相关代数运算；3.把代数运算的结果“翻译”成几何结论.图8图8【预设】1.取AB，2.用AB，3.代数结果“翻译”成几何结论.【环节四】回顾过程，小结提升知识点一：两点间距离公式的推导与内容知识点二：两点间距离公式的简单应用知识点三：“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤设计意图：引导学生回顾梳理本节课所学内容，对知识进行再记忆，对能力进行再提升，对存在的问题进行再答疑。作业设计1.点关于y轴的对称点到原点的距离为（）A.2B.1C.5D.52.设点在x轴上，点在y轴上，的中点是，则（）A．5B.42C.23.求下列两点间的距离.(1)(2)(3)4.已知平面上两点，，则AB的最小值为（）A.1B.