高中集合的知识点归纳

高中集合的知识点归纳汇报人：23目录02子集、真子集和超集01集合的基本概念与性质03交集、并集与补集运算04集合的划分与覆盖05集合的基数（势）与可数性06集合论在数学中的应用01集合的基本概念与性质Chapter集合是数学中的基本概念，是由一些确定的对象组成的整体。集合的定义常用大写字母表示集合，如A、B、C等，集合中的元素用小写字母表示，如a、b、c等。集合的表示方法列举法、描述法、区间法。集合的常用表示法集合定义及表示方法元素与集合关系判断如果一个元素不是某个集合的成员，则称该元素不属于该集合。元素不属于集合如果一个元素是某个集合的成员，则称该元素属于该集合。元素属于集合集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。元素的特性集合的相等集合的子集一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。集合的差集两个或两个以上集合中共有的元素组成的集合。集合的交集由两个或两个以上的集合合并而成的集合，包含所有集合的元素。集合的并集如果两个集合包含相同的元素，则称这两个集合相等。如果一个集合的元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合是后一个集合的子集。集合间关系及运算规则常见数集及其符号表示自然数集表示所有自然数的集合，通常用大写字母N表示。整数集表示所有整数的集合，通常用大写字母Z表示。有理数集表示所有有理数的集合，通常用大写字母Q表示。实数集表示所有实数的集合，通常用大写字母R表示。02子集、真子集和超集Chapter子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。子集性质传递性，即若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；反身性，即任何集合都是其自身的子集。子集定义及性质如果集合A是集合B的子集，且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集。真子集定义若A是B的子集，并且存在至少一个元素在B中但不在A中，则A是B的真子集。真子集判断方法真子集概念与判断方法超集定义及示例超集示例{1,2,3}是{1,2}的超集，{1,2,3,4}也是{1,2,3}的超集。超集定义如果一个集合S2中的每一个元素都在集合S1中，且集合S1中可能包含S2中没有的元素，则集合S1就是S2的一个超集。相互关系一个集合可以是另一个集合的子集和超集，这取决于两个集合中元素的包含关系。真子集与超集关系若A是B的真子集，则B是A的超集，且这种关系是真超集与真子集的关系。子集和超集之间的关系03交集、并集与补集运算Chapter交集定义设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。交集运算规则符号“∩”表示交集运算，满足交换律和结合律，即A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。交集定义及运算规则给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集。并集定义符号“∪”表示并集运算，满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。并集运算规则并集定义及运算规则补集定义及运算方法补集运算方法符号“-”或“”表示补集运算，绝对补集具有唯一性，且A∪(S-A)=S，A∩(S-A)=∅。绝对补集定义设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在S中的绝对补集。示例1设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，求A∩B，A∪B，(U-A)∩B。综合运算示例与解析01解析A∩B={3}，A∪B={1,2,3,4,5}，(U-A)∩B={4,5}。02示例2已知集合A={x|x<3}，B={x|x>2}，求A∩B，A∪B，(A的补集)∩B。03解析A∩B={x|2<x<3}，A∪B={x|x<3或x>2}，(A的补集)∩B={x|x≥3且x>2}={x|x>2}。0404集合的划分与覆盖Chapter将集合分割成若干不交叠的部分或单元，这些单元关于被划分的集合既是全无遗漏又相互排斥的。集合划分定义每个元素属于且仅属于一个划分单元；划分结果唯一，不同的划分方式产生不同的划分单元。集合划分的性质有助于对集合进行分类、计数和组合，简化问题处理过程。集合划分的意义集合划分概念及性质划分诱导等价关系对集合进行划分，划分得到的单元之间可以建立等价关系，同一单元内的元素视为等价。等价关系决定划分在一个集合上定义等价关系，可以根据等价关系将集合划分为若干个等价类，每个等价类就是一个划分单元。划分与等价关系的相互转化通过划分可以确定等价关系，通过等价关系也可以实现划分。划分与等价关系之间的联系覆盖定义及示例覆盖的定义指空中某点发出的电波笼罩下方一定范围的地面，或指某事物遮盖、掩盖其他事物的行为或状态。覆盖的示例覆盖与划分的关系在集合论中，覆盖通常指一个集合的子集族，这些子集能够“覆盖”原集合的所有元素，即每个元素都至少属于其中一个子集。覆盖不一定要求子集之间互斥，但划分要求单元之间互斥且并集等于全集。划分要求单元之间互斥且并集等于全集，而覆盖只要求子集的并集包含原集合，不要求互斥；划分是唯一的，而覆盖可以有多种可能。区别在实际应用中，有时需要将划分和覆盖结合起来使用，既要求覆盖全面又要求划分清晰；此外，划分和覆盖都是对集合进行某种形式的分解或表示。联系划分与覆盖之间的区别和联系05集合的基数（势）与可数性Chapter集合基数定义集合中元素的个数，用于描述集合的“大小”。基数性质对于任意两个集合，若它们元素之间存在一一对应关系，则这两个集合具有相同的基数。集合基数概念介绍若集合的元素可以与自然数集建立一一对应关系，则该集合为可数集。可数集定义无法与自然数集建立一一对应关系的集合，称为不可数集。不可数集定义如实数集、无理数集等。典型不可数集可数集与不可数集区分010203有限集与无限集特点对比有限集特点元素个数可数，与自然数存在一一对应关系，易于处理。元素个数无法精确计数，但可通过定义集合的基数来比较“大小”。无限集特点可数无限集与不可数无限集在基数上存在本质区别。无限集的性质有限集与无限集的运算注意有限集与无限集在并、交、补等运算中的性质，如有限集与无限集的并集仍为无限集等。如何判断一个集合是否可数尝试建立该集合与自然数集之间的一一对应关系，若能建立，则为可数集；否则为不可数集。无限集的比较方法通过比较集合的基数来判断两个无限集的大小，如实数集与有理数集的比较。常见问题解析及应对策略06集合论在数学中的应用Chapter集合论是现代数学的基础集合是现代数学的基本概念之一，集合论为数学提供了严谨的基础。集合论推动数学发展集合论的出现推动了数学的发展，使得数学更加抽象和广泛。集合论对于现代数学影响集合论被广泛应用于物理学中，如量子力学、相对论等。集合论在物理学中的应用集合论是计算机科学的重要基础，如数据库、算法等。集合论在计算机科学中的应用集合论在其他学科中应用罗素悖论罗素悖论是集合论中的一个经典问题，它揭示了集合论的内在矛盾。康托尔定理