2024-2025学年天津市西青区杨柳青一中高三（下）统练数学试卷（三）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市西青区杨柳青一中高三（下）统练数学试卷（三）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集为R，集合A={x||x|≥1}，B={x|lgx≤0}，则(∁RA)∪B=A.(0,1] B.(−1,1] C.(−1,1) D.(−∞,1]2.A，B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A.若m//α，α//β，则m//β B.若m⊥α，α⊥β，则m//β

C.若m//n，n//α，则m//α D.若m⊥α，α//β，则m⊥β4.如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(

)A.y=−x2+2|x|

B.y=x5.若f(x)=ln(x2+1)−1|x|，设a=f(−3)，b=f(ln2)，c=f(20.3)A.c>a>b B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b6.下列说法不正确的是(

)A.一组数据5，7，9，11，12，14，15，16，18，20的第80百分位数为17

B.若随机变量ξ～N(2,σ2)，且P(ξ>5)=0.2，则P(−1<ξ<5)=0.6

C.若随机变量ξ～B(9,237.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA1⊥底面，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且CD=2，则该曲池的体积为A.9π2B.6π

C.11π28.已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A在C上，若|A.x29−y26=1 B.9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))在区间(π3,5π6)上单调递减，A.π3 B.5π6 C.11π27二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知i是虚数单位，若z=i+a1+i为纯虚数，则实数a=______．11.已知(2x−1x)n12.圆C过点(0,2)，且圆心C在抛物线y2=x上(不与原点重合)，若圆C与y轴交于点A，B，且|AB|=4，则圆心C的坐标为______．13.某校高三1班第一小组有男生5人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，则恰有一名女生参加劳动学习的概率为______；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______．14.在平行四边形ABCD中，∠A=60°,AD=23AB，点E在边DC上，满足DE=13DC，则向量AE在向量AD上的投影向量为______(请用AD表示)；若AB=3，点M，N分别为线段AB，BC15.已知函数f(x)=x2−4x+2,x<a2x,x≥a，其中0<a<4.若方程三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且asinA+csinC−bsinB=asinC．

(1)求角B的大小；

(2)若3a=2b．

(i)求cosA的值；

(ii)求sin(2A+B)的值．17.(本小题15分)

如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．

(Ⅰ)若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；

(Ⅱ)求二面角B−PA−D的正弦值．

(Ⅲ)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为38，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．18.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为3，右顶点到右焦点的距离为12．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图所示，设点A是椭圆C的右顶点，过点(3,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点E，F19.(本小题15分)

已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=6，a2，a4，a8成等比数列，n∈N∗．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及Sn；

(Ⅱ)设A=2S20.(本小题16分)

已知函数f(x)=(x−2)ex−mx，g(x)为f(x)的导函数．

(1)当m=0时，求曲线g(x)在(1,g(1))处的切线方程；

(2)若f(x)的两个极值点分别x1，x2(x1≠x2)，参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.D

7.B

8.B

9.C

10.−1

11.240

12.(16,4)

13.1021

1014.54AD

15.(2−16.解：(1)因为asinA+csinC−bsinB=asinC，

所以由正弦定理得：a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac=12，

因为0<B<π，所以B=π3．

(2)(i)因为3a=2b，

所以由正弦定理得：3sinA=2sinB=3，即sinA=317.(Ⅰ)证明：∵平面ABCD⊥平面

PCD，平面

ABCD∩平面

PCD=CD，四边形

ABCD

是矩形．

∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，

若O是CD

的中点，OP⊥CD，OP=3，

建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2，

则O(0,0,0)，B(1,0,1)，A(−1,0,1)，

P(0,3,0)，

∴OB=(1,0,1)，PA=(−1,−3,1)，

∴OB⋅PA═0，

∴OB⊥PA，∴BO⊥PA．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知：AB=(2,0,0)，

设平面BPA的法向量为n1=(x,y,z)，

由−x−3y+z=02x=0，取y=1，

平面BPA的一个法向量为n1=(0,1,3)，

取DA=(0,0,1)，设平面PAD的法向量为n2=(a,b,c)，

则c=0−a−3b+c=0，取b=1，则n2=(−3,1,0)，

∴cos<n1，n2>=12⋅2=14，

所以二面角B−PA−D的正弦值为154．

(Ⅲ18.解：(1)依题意得2b=3a−c=12a2=b2+c2，

解得a=1,b=32,c=12，

所以椭圆C的标准方程为：x2+y234=1；

(2)存在点P，使∠APE=∠OPF，点P的坐标为(13,0)，理由如下：

因为直线l过点(3,0)，与椭圆C：x2+43y2=1交于不同的两点E，F，且都在x轴上方，

所以直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x−3)，k≠0，设E(x1,y1)，F(x2,19.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

因为S3=6，所以3a1+3d=6，即a1+d=2①，

因为a2，a4，a8成等比数列，所以a42=a2a8，

即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)②，

由①②可得：a1=1，d=1，

所以an=a1+(n−1)d=n，

所以Sn=1+2+…+n=n(n+1)2．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得：A=2Sn+a19an=n2+n+19n=n+1+19n20.解：(1)当m=0时，f(x)=(x−2)ex，

则g(x)=f′(x)=(x−1)ex，g(1)=0，

∴g′(x)=xex，则g′(1)=e，

∴g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y−0=e(x−1)，即y=ex−e；

(2)(i)∵f(x)=(x−2)ex−mx，

∴f′(x)=(x−1)ex−m，则x1，x2是方程(x−1)ex−m=0的两根，

即(x1−1)ex1=m，(x2−1)ex2=m，

令p(x)=(x−1)ex，则p′(x)=xex，

当x∈(−∞,0)时，p′(x)<0，p(x)单调递减，

当x∈(0,+∞)时，p′(x)>0，p(x)单调递增，

∴p(x)min=p(0)=−1，

而当x<0时，p(x)<0，且p(1)=0，方程(x−1)ex−m=0有两根，

即直线y=m与函数y=p(x)的图象有两个交点，如图，

则−1<m<0，

即实数m的取值范围为(−1,0)；

(ii)证明：由(i)不妨设x1<0<x2<1，

由图象知，当x∈(−∞,1)时，直线y=ex−e恒在曲线p(x)=