重庆市南岸区南坪中学2024-2025学年高一（下）4月月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页重庆市南岸区南坪中学2024-2025学年高一（下）4月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z=1+1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设e1,e2是平面内两个不共线的向量，则以下aA.a=e1+e2,b=3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=105°，A=A.2 B.6−2 4.下列哪个函数是单调递减函数(

)A.y=cosx B.y=5.如图所示，四边形ABCD是正方形，M，N分别BC，DC的中点，若AB=A.43

B.52

C.−26.在△ABC中，若asinB=A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7.已知向量a,b,c满足|a|=|b|A.π6 B.π3 C.2π8.函数f(x)=cA.函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称

B.函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若向量a=(0,−1)，A.|b|=5 B.(a+c)/10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则A.若|AB+AC|=|AB−AC|，则△ABC为直角三角形

B.若a11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z(3−4i)=13.如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有160多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度MN，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为10m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A和文峰塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2csin(A+π6)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°．

(1)求|216.(本小题15分)

已知f(α)=sin(α−π2)cos(3π2−17.(本小题15分)

已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a：b：c=7：2：1．

(1)求角A的值；

(2)若点18.(本小题17分)

如图，在平面直角坐标系中，角α、β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α、β的终边与单位圆分别交A、B两点(点A在第一象限)，点C是单位圆与x轴的交点．

(1)当A(55,255)、B(−721019.(本小题17分)

A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与点P，Q任一点均不重合)，我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q；M)=|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记(P,Q；M)=−|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为z=1+12i，所以z−=1−12i，

所以z2.【答案】B

【解析】解：对于A，因为a=e1+e2,b=e1，不存在实数λ，使b=λa，

所以a、b不共线，可以作为该平面内所有向量的一组基底；

对B，因为a=2e1+e2,b=12e1+14e2，可得b=14a，

所以a、b共线，不能作为该平面内所有向量的一组基底；

对C，因为a=e1+e2,b=e1−3.【答案】C

【解析】解：根据B=105°，A=30°，由三角形内角和定理得C=45°，

由正弦定理asinA=c4.【答案】D

【解析】解：对于A，y=cosx不是定义域R上的单调递减函数；

对于B，y=1x不是定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上的单调减函数；

对于C，5.【答案】D

【解析】解：由题可得：AB=AM+MB=AM+CM=AM+12DA

=AM+12(DN+NA)6.【答案】D

【解析】解：已知asinB=3bcosA，

则sinAsinB=3sinBcosA，

则tanA=3，

即A=π3，

7.【答案】D

【解析】解：因为a+b+c=0，所以a+c=−b，

所以(a+c)2=b2，即|b|2=|a|2+|c|2+2a⋅c8.【答案】C

【解析】解：函数f(x)=cosωx−3sinωx=−2(32sinωx−12cosωx)=−2sin(ωx−π6)，

由函数f(x)的部分图象知，34T=π3−(−5π12)=3π4，解得T=9.【答案】CD【解析】解：对于A，因为b=(−3,4)，所以|b|=(−3)2+42=5，故A错误；

对于B，因为a=(0,−1)，b=(−3,4)，c=(4,4)，

所以a+c=(4,3)≠λb，所以a+c与b不平行，故B错误；

对于C，因为a=(010.【答案】AC【解析】解：对于A：因为|AB+AC|=|AB−AC|，即|AB+AC|2=|AB−AC|2，

则AB2+2AB⋅AC+2AC2=AB2−2AB⋅AC+2AC2，整理得AB⋅AC=0，

所以AB⊥AC，即△ABC为直角三角形，故A正确；

对于B11.【答案】AB【解析】解：A选项，因为SA：SB：SC=1：1：1，所以MA+MB+MC=0，

取BC的中点D，则MB+MC=2MD，所以2MD=−MA，

故A，M，D三点共线，且MA=2MD，

同理，取AB中点E，AC中点F，可得B，M，F三点共线，C，M，E三点共线，

所以M为△ABC的重心，A正确；

B选项，若M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，

则SA=12BC⋅r，SB=12AC⋅r，SC=12AB⋅r，

所以12BC⋅r⋅MA+12AC⋅r⋅MB+12AB⋅r⋅MC=0，

即BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0，B正确；

C选项，若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，

则SA：SB：SC=3：4：5，

如图，AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，相交于点M，

又S△ABC=SA+SB+SC，

SAS△ABC=312=14，即AM：MD=3：1，

SBS△ABC=412=13，即MF：BM=1：2，

SCS△12.【答案】25【解析】解：由题意，z=1+2i3−4i=(1+2i)(3+13.【答案】20

【解析】解：AB=10，

由题意，在Rt△ABC中，AC=ABsin30∘=1012=20，

在△ACM中，可得∠CAM=30°+15°=45°，∠ACM=14.【答案】(12【解析】解：根据题意可得2sinC⋅(32sinA+12cosA)=sinA+sinB，

即3sinCsinA+sinCcosA=sinA+sin(A15.【答案】解：(1)根据题意，|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，

∴|2a−b|=(2a−b)2【解析】(1)由|2a−b|=(16.【答案】f(α)=−【解析】解：(1)f(α)=−cosα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=−cos17.【答案】解：(1)设c=k，则a=7k，b=2k，

利用余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=4k2+k2−7k22⋅2k⋅k=−12，

又因为A【解析】(1)设c=k，则a=7k，b=2k，利用余弦定理即可求得co18.【答案】−91050；

−【解析】解：(1)因为A(55,255)、B(−7210,210)，

由题知，cosα=55，sinα=255，cosβ=−7210，sinβ=210，

所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

=55×(−7210)−255×210=−91050．

(2)因为P为劣弧AC上的动点，且点A的横坐标为12，

所意cosα=12，sin19.【答案】解：(1)因为AD是角A的平分