2024-2025学年浙江省A9协作体高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省A9协作体高二下学期4月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−2<x<2}，N={x||x−1|<2}，则M∩N=A.{x|−2<x<3} B.{x|−2<x≤1} C.{x|−1<x<2} D.{x|−2<x<2}2.下列结论正确的是A.(ln2)′=12 B.1x3.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1,3)A.a>0 B.ab>0 C.bc<0 D.abc<04.已知函数f(x)=2x3−xf′(1)，则f′(1)的值为A.3 B.2 C.1 D.05.已知a>0，b>0，且a+2b=ab，则a+2b的最小值为A.12 B.9 C.8 D.66.(x2−x+y)6的展开式中A.60 B.20 C.−20 D.−607.已知正四面体ABCD的顶点A处有一质点P，点P每次随机沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，则点P经过4次移动后仍回到顶点A处的概率为A.1181 B.29 C.7278.已知函数f(x)=(2x−a)(x−2a)2−a2A.−1 B.1 C.2 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X∼B6,13A.P(X=2)=P(X=4) B.E(3X+2)=8

C.D(X)=43 10.有大小、形状、质地完全相同的白色、黄色、蓝色小球各3个，红色小球1个，并且将这个红色小球命名为“幸运A9球”，现将这10个小球装在一个盒子里，依次任取3个小球，则下列说法正确的是A.“幸运A9球”被选中的概率为310

B.每次取后再放回，则第3次才取到“幸运A9球”的概率811000

C.每次取后不放回，则第3次取到“幸运A9球”的概率最大

D.记事件A为“幸运A9球”被选中，事件B为“取得的311.已知函数f(x)=ex(ax−1)A.若a=0，则f(x)有极大值，无极小值

B.若a=12，则f(x)有四个单调区间

C.若a=1，且g(x)=f(x)−mx+1有两个零点x1，x2，则x1+x2>2+2m成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量ξ～N(1,2)，则E(ξ)=

．13.甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有

种．14.已知函数f(x)=ex−2x，g(x)=x−2lnx，对于任意的t>2，存在x1>1，x2>1使得f(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知(x+a)n(n∈N ​∗，a>0)(1)求n和a的值；(2)求展开式中系数最大的项．16.(本小题15分)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；(2)若该考生选到985高校的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17.(本小题15分)已知函数f(x)=aln(1)当a=1时，求曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．18.(本小题17分)某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课、舞蹈课、影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为13，乙每节课表现优秀的概率为1(1)求甲第一个月得分的分布列及数学期望；(2)求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率；(3)若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率．19.(本小题17分)英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数f(x)=ex的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：ex=1+x+x(1)若f(x)=ex，利用泰勒展开式证明：(2)当x>0时，证明：xe(3)当x>0时，不等式x(xe2x−a)≥2lnx+1恒成立，求实数a参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.1

13.36

14.1e15.解：(1)展开式中第4项的二项式系数为Cn3，只有这一项二项式系数最大，

则展开式中一共有7项，则n=6，

因为所有项的系数和为729，因为a>0，解得a=2；

(2)(x+2)6的展开式的通项为

Tr+1=C6rx6−r⋅(2)r=(2)rC6rx6−r，r=0，1，2，3，16.解：(1)从10所高校中，任取4所，共有C104=210种取法，

恰有2所985高校的取法为：C32C72=63，

该考生恰好选到2所985高校的概率为P=63210=310；

(2)设X为该考生选到985高校的个数，则X的取值为0，1，2，3．X0123P1131数学期望为：E(X)=0×1617.解：(1)当a=1时，f′(x)=1x+2x2=2+xx2，

则f′(1)=3，f(1)=−2;

所以曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=3x−5；

(2)函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax+2x2=ax+2x2，

 ①当a≥0时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)≤0不恒成立;

 ②当a<0，令f′(x)=0，则x=−2a，

当x∈(0,−2a)时，f′(x)>0，则18.解：(1)记甲在第一个月的得分为X，则X的取值为4，5，6，7，8，则

P(X=4)=(23)4=1681，

P(X=5)=C4113X45678P1632881E(X)=4×1681+5×3281+6×827+7×881+8×181=163;

(2)记事件A为“甲、乙第二个月可以一起选择其他兴趣课”，

设甲在第一个月的得分为Y45678P11311P(Y≥6)=P(Y=6)+P(Y=7)+P(Y=8)=C42(12)2(12)2+C43(12)3(12)1+C44(12)4=1116，

所以P(A)=P(X≥6)⋅P(Y≥6)=12119.解：(1)由ex=1+x+x22!+⋯+xn!+O(xn)，两边求导得：

(ex)′=0+1+2x2!+⋯+nxn−1n!+(n+1)xn(n+1)!+⋯=1+x+x22!+⋯+xn−1(n−1)1+xnn!，

即f′(x)=ex;

(2)解法1:由ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+O(xn)知，对于x∈R，ex≥1+x．

先证x∈R时，ex≥1+x，

令φ(x)=ex−1−x，则φ′(x)=ex−1=0，得x=0，

所以x∈(−∞,0)时，φ′(x)<0，φ(x)在(−∞,0)上单调递减，

x∈(0,+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,+∞