2025年贵州省铜仁市高考数学三模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年贵州省铜仁市高考数学三模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={0,1,2,3}，B={x|x2−x−2<0}，则A∩B中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.42.若复数z=(a−i)(2+3i)为纯虚数，则实数a=(

)A.1 B.−1 C.15 D.3.已知向量a=(−2,1)，b=(32,−2)，则b在A.(2,−1) B.(−25,15)4.在处理一组数据时，若未计入数值9，计算所得的平均值为9，方差为3.若将数值9纳入分析，则该组数据(

)A.平均数等于9，方差等于3 B.平均数等于9，方差小于3

C.平均数大于9，方差小于3 D.平均数小于9，方差大于35.随机变量ξ～N(2,1)，若P(ξ>2a+1)=P(ξ<a)，则(x+a)6的展开式中x4的系数为A.12 B.15 C.16 D.206.在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=2AB=2BC=4，AC=22.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A.46π B.12π C.87.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点.A.−43 B.34 C.48.已知函数f(x)=(x−1)ex−12x2+1，g(x)=sinx−ax.用max{m,n}表示m，n的最大值，记F(x)=max{f(x),g(x)}.若对任意x∈RA.(−∞,0] B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos4x−sinA.f(x)的最小正周期为π B.x=π4是C.f(x)在区间[−π2,0]上单调递增 D.λ≥−110.已知圆C1：x2+(y+2)2=4，圆CA.a<4

B.若a=0，则圆C1与圆C2有且仅有1个公共点

C.若圆C1与圆C2的相交弦长为4，则a=−16

D.当a=−32时，若动圆M与圆C1外切，同时与圆11.已知点An(ann,yn)(n∈N∗)在焦点为F(1,0)A.an=n2 B.数列{lnan}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x3−mx2的一个零点为313.数列{an}满足an+1=1+an14.一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为______；在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在△ABC中，sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C，其中内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)求角A的大小；

(2)若D为16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+a(1−x)x．

(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若函数f(x)有极小值，且极小值不大于0，求实数a17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是棱长为2的菱形，BC=1，点M是棱A1C1上的动点，AM⊥BC恒成立．

(1)若M，N分别为线段A1C1，AB118.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，短轴长为6，过右焦点的直线与C交于M，N两点．

(1)求C的标准方程；

(2)已知点Q(8,y0)，

19.(本小题17分)

近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注.研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．

(1)某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡.下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计．月份(x)12345睡眠质量显著改善人数(y)280250200160110若睡眠质量显著改善人数(y)与月份变量(x)具有线性相关关系(月份变量x依次为1，2，3，4，5)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？

(2)该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为12，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为34,14；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为34,14．

(i)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望；

(ii)定义：已知数列{an}，若对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正整数N0，使得当n>N0时，|an−A|<ε(A是一个确定的实数)，则称数列{an}为“聚点数列”，A称为数列{参考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.B

6.C

7.C

8.D

9.AC

10.ABC

11.ACD

12.(0,2)

13.1

14.35

515.解：(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆半径)，

将sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R代入sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C，

可得(a2R)2+b2R⋅c2R=(b2R)2+(c2R)2，

化简后得到a2+bc=b2+c2，即b2+c2−a2=bc，

根据余弦定理cosA=b2+c2−a22bc，把b2+c2−a2=bc代入可得cosA=bc2bc=12，

因为0<A<π，所以A=π3；

(2)在△ABD中，根据余弦定理BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcosA，

因为D为AC中点，设AB=c,AD=b2，已知BD=3,A=π3，

则9=c2+b24−2c⋅b2cosπ3，即9=c2+b24−bc2，

根据基本不等式c2+b24≥2c2⋅b24=bc(当且仅当c=b2时取等号)，

所以9=c2+b24−bc2≥bc−bc2=bc2，即bc≤18，当且仅当c=b2时取等号，

将c=b2代入9=c2+b24−bc2，可得9=(b2)2+b24−b2⋅b2，

解得b=6，c=3，满足条件，所以bc的最大值为18．

16.解：(1)当a=2时，f(x)=lnx+2(1−x)x=lnx+2x−2，

f′(x)=1x−2x2，

f(1)=ln1+21−2=0，f′(1)=1−2=−1，

所以切线方程为y−0=−1×(x−1)，即x+y−1=0．

(2)f′(x)=1x−ax2=x−ax2,x>0，

当a≤0时，x−a>0，则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值，不符合题意．

当a>0时，令f′(x)=0，即x−ax2=0，解得x=a．

当0<x<a时，x−a<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>a时，x−a>0，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以f(x)在x=a处取得极小值，f(x)极小酒=f(a)=lna+1−a．

因为f(x)的极小值不大于0，即lna+1−a≤0．

令g(a)=lna+1−a，a>0，对g(a)求导得g′(a)=1a−1=1−aa．

令g′(a)=0，解得a=1．

当0<a<1时，1−a>0，g′(a)>0，g(a)单调递增；

当a>1时，1−a<0，g′(a)<0，g(a)单调递减，

所以g(a)在a=1处取得最大值g(1)=ln1+1−1=0，

且当a→0或a→+∞时，g(a)→−∞，

因此对于a>0，均有lna+1−a≤0，

所以a>0，即实数a的取值范围是(0,+∞)．

17.解：18.解：(1)因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长2b=6，所以b=3，

又离心率e=ca=22，且a2=b2+c2，把b=3代入a2=b2+c2，得a2=9+c2，

再结合ca=22，即c=22a，可得a2=9+12a2，解得a2=18，c2=9，

所以椭圆C的标准方程为x218+y29=1．

(2)(i)当y0=0时，右焦点坐标为(3,0)，

显然直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my+3，

联立x=my+3x218+y29=1，消去x得(m2+2)y2+6my−9=0，Δ=36m2+36(m2+2)>0恒成立，

设M(x1,y1)，N(x2,y2).则y1+y2=−6mm2+2，y1y2=−9m2+2，

所以|MN|=1+m2⋅(y1+y2)2−4y1y2=1+m