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矩阵的奇异值分解6.4从Beltrami(1873)和Jordan(1874)提出奇异值分解(SVD,Singularvaluedecomposition)至今，SVD及其推广已经成为矩阵计算最有用和最有效的工具之一，在最小二乘问题、最优化、统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制、最佳逼近问题和实验数据处理等领域被广泛使用。矩阵的奇异值分解定义6.7设，则阶Hermite矩阵是半正定的，因而特征值

均为非负实数，可以表示为称其算术平方根为矩阵的奇异值．定理6.10设,则存在阶酉矩阵以及阶酉矩阵，使

其中,且是矩阵的正奇异值．这时式（6-7）称为矩阵的奇异值分解式．证明由定理6.5，阶矩阵是半正定的Hermite矩阵,因而，不妨设的特征值为

由定义令均为的奇异值，且满足矩阵的奇异值分解由为半正定的Hermite矩阵，从而存在阶酉矩阵，使其中令，其中是列，则

矩阵的奇异值分解比较上式左右两边的矩阵，可得

又因为所以令则即为阶矩阵且列向量是两两正交的单位向量，记为将其扩充成酉空间的一个标准正交基，令则矩阵的奇异值分解是阶酉矩阵，且有，，故定理6.11设为阶非奇异矩阵，则存在阶酉矩阵及，使得

（6-8）若将和分别写成，，则矩阵的奇异值分解证明由非奇异，为阶正定的Hermite矩阵，故存在阶酉矩阵，使其中为的特征值，令则令矩阵的奇异值分解则故而且酉对角分解的求法正如证明中所给：先对对角化（酉对角化），求出变换酉矩阵，再令即可．例6.11求矩阵的奇异值分解．解，则，可得的特征值为

.由此可得矩阵的奇异值分解又的特征值所对应的特征向量分别是由于是Hermite矩阵，故两两正交，将其单位化

矩阵的奇异值分解得正交矩阵

取取的列向量生成子空间的正交补的基

，得，从而矩阵的奇异值分解因此，的奇异值分解为矩阵的奇异值分解例6.12设矩阵且矩阵的奇异值分解为

，其中

证明的列向量是的特征向量，而的列向量是的特征向量．证明由的奇异值分解式可得

故

令，代入上式得到

矩阵的奇异值分解故的列向量是标准正交的特征向量．同理可证,从而令，代入上式得故的列向量是标准正交的特征向量.

矩阵的奇异值分解例6.13求矩阵的奇异值分解．解因为,所以，因此，可计算的特征值为它们所对应的单位特征向量分别是

又因为

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