矩阵理论 课件 第2章第4-5节线性变换值域、核及不变子空间~线性空间的同构

线性变换的值域、核及不变子空间2.4线性变换的值域、核及不变子空间线性变换的值域与核定义2.15设是数域上的线性空间,是上的线性变换,中的所有向量在下的像的集合称为的值域,记为即

所有被变为零向量的原像构成的集合称为的核,记为即定理2.21线性空间的线性变换的值域与核都是的子空间.证

因为所以非空.对任意,都有

从而,是的子空间.由可知故非空.对任意都有此时线性变换的值域、核及不变子空间

即故是的子空间.因此,我们把的值域称为的像子空间；将核称为的核子空间或零化空间；称的维数为的秩,记为；称的维数为的零度或亏度,记为定理2.22设是维线性空间的线性变换,是一个基,且在此基下的矩阵是,则有以下结论.(1)(2)(3)证

(1)因为,所以

反之,对任意,存在,使设则有线性变换的值域、核及不变子空间

即(2)由(1)可知,等于的维数,即等于的秩.另外,注意到

其中,矩阵是由在基下的坐标按列排成的,而线性空间中的向量与其坐标之间的一一对应保持线性关系不变,因此与它们的坐标组(矩阵的列向量组)有相同的秩.(3)设且是的一个基,将其扩充成的基注意到于是

下面证明线性无关.设有中的一组数使得线性变换的值域、核及不变子空间即,故从而,存在使得

即

由线性无关可得,故

线性无关.于是

注虽然但是并不一定等于.例如,在线性空间中,微分变换

显然,

线性变换的值域、核及不变子空间例2.38考虑例2.32的线性变换求和的一个基.解设则有于是因此又因为且线性无关,所以是的一个基.

取的一个基于是

线性变换的值域、核及不变子空间而因此显然,线性无关,故是的一个基.

线性变换的值域、核及不变子空间线性变换的不变子空间定义2.16设是数域上线性空间的线性变换,是的一个子空间.

若对任意都有则称是的不变子空间,记为子空间.例2.39下列的子空间都是子空间.(1)本身和的子空间(2)和.基于此,称线性空间及的子空间为线性变换的平凡不变子空间,除此以外的其他不变子空间称为非平凡不变子空间.例2.40设和都是子空间,则和也是子空间.证

任取由于因此故是子空间.任取则且.由于和是子空间,因此且

于是故是子空间.

线性变换的值域、核及不变子空间例2.41若线性空间上的线性变换与可交换,即则和都是子空间.证对任意都存在使于是

因此是子空间.对任意都有

因此即是子空间.定理2.23设是线性空间的线性变换,是的子空间,则是子空间的充要条件是证必要性显然成立.充分性：对任意有于是

因此是子空间.线性空间的同构2.5线性空间的同构线性空间的同构定义2.17

设和是数域上的两个线性空间,如果存在线性映射它是到的一个一一映射,即它既是单射又是满射,则称线性空间与同构,记为称为同构映射.定理2.24设和是数域上的两个线性空间,是到上的一个同构映射,则有以下结论.(1)(2)对任意(3)对任意和都有

(4)向量组线性相关的充要条件是线性相关.(5)到上的同构映射的逆映射是到上的同构映射.线性空间的同构证(1)因为是线性映射,所以(2)因为所以(3)由是线性映射易得结论.(4)若存在不全为零的使得则

故线性相关；反之,若线性相关,则存在不全为零的数使得

即因为是单射,所以必有故线性相关.由此可知,向量组与同时线性相关或线性无关.(5)因为是到上的一一映射,所以的逆映射是到上的一一映射.设因为是到上的同构映射,所以线性空间的同构又因为是单射,所以同理可证对任意有故逆映射是到上的同构映射.定理2.25数域上的两个有限维线性空间和同构的充要条件是它们有相同的维数,即

证必要性：如果是到的同构映射,设是的一个基,那么接下来只需证明是的一个基.由定理2.24可知,线性无关.又因为存在使得

所以是的一个基.充分性：设令与分别为和的基.对中任一向量