矩阵理论 课件 第1章第4节矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量1.4定义1.9设若和非零向量使得

(1.5)成立,则称为的特征值,为的属于(或对应)特征值的特征向量.将式(1.5)改写为这是含有个未知数的个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是系数行列式

即

这是以为未知数的一元次方程,其最高次项的系数为1(称为首一的).矩阵的特征值与特征向量定义1.10设称为的特征矩阵,为的特征多项式,

为

的特征方程.注的特征值就是特征方程的根.由代数学的知识知,特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此阶方阵在复数范围内有个特征值.计算阶方阵的特征值与特征向量可按如下步骤进行：第一步：求特征方程的个根,即为的全部特征值;第二步：求解齐次方程组,其非零解即为

的属于特征值的特征向量.例1.7求下列矩阵的特征值与特征向量：(1)(2)矩阵的特征值与特征向量解(1)

的特征多项式为

因此的特征值为

当时,解方程组.由得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为(为不等于零的任意常数).

当时,解方程组.由矩阵的特征值与特征向量得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为(为不等于零的任意常数).

(2)

的特征多项式为所以的特征值为

当时,解方程组.由矩阵的特征值与特征向量得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为(为不等于零的任意常数).当时,解方程组.由得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为

(不同时为零).矩阵的特征值与特征向量定义1.11设(互不相同,且),称为的代数重数,对应的线性无关的特征向量个数为的几何重数.例如,例1.7中的第一个矩阵,特征值1的代数重数是2,几何重数是1；第二个矩阵,特征是2的代数重数是2,几何重数是2.定理1.7设是的特征值,则其代数重数与几何重数满足证设属于特征值的线性无关的特征向量为,显然,由基的扩充定理可找到个向量,使线性无关.

令,则是可逆矩阵,且矩阵的特征值与特征向量即

从而,,故矩阵的特征值与特征向量定义1.12设是的多项式：

对于

规定

称

为矩阵的多项式.定理1.8设的个特征值为

对应的特征向量为；又设为一多项式,则的特征值为,对应的特征向量仍为如果,则的任意一个特征值满足证因为所以对于正整数,有故矩阵的特征值与特征向量当时,

.由可知定理1.9设是方阵的互不相同的个特征值,是分别与之对应的特征向量,则线性无关.证利用数学归纳法来证明.当,由于,因此线性无关,即定理成立.

假设对于个互不相同的特征值定理成立,下面证明对于个互不相同的特征值定理也成立.为此,设有常数使用左乘上式,得即从上面两个等式中消去,得由假设可知线性无关,故矩阵的特征值与特征向量而互不相同,故

进而可得因此线性无关.注定理1.9还可以推广到如下的定理1.10,其证明类似,故略去.定理1.10设是方阵的互不相同的个特征值,是对应特征值

的线性无关的特征向量,那么向量组也线性无关.定理1.11

设

阶方阵的特征值为,则有以下结论：(1)(称为矩阵的迹,简记为).(2).(3)

的特征值是的特征值是(4)方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0.矩阵的特征值与特征向量定理1.12设则证

设