湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(1+2i)(z−1)=2−i，则z=(

)A.1−i B.1+i C.2−i D.2+i2.已知向量a=(2,−1)，b=(m,3)，且a⊥b，则A.35 B.45 C.33.已知直线y=12x是双曲线C:x2aA.32 B.52 C.4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a=2，b+c=3aA.83−12 B.4335.已知函数f(x)=x3+x，且f(m2−2m+1)+f(−m−5)>0A.(−∞,−1)∪(4,+∞) B.(−1,4)

C.(−∞,−2)∪(3,+∞) D.(−2,3)6.如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，C在底面圆周上，AB=4，∠BAC=30∘M是BC的中点，PM与圆锥底面所成角的大小为60∘，则圆锥PO的体积为(

)A.123π C.43π7.曲线|y|=cosx+1(0≤x≤π)和曲线x2+(|y|−1)2=1(x≤0)组合围成“心形图”(如下图所示)，记“心形图”为曲线C，曲线A.π+6 B.π+8 C.3π D.4π8.如果对于正整数集A={x=a+i,a∈N|i=1,2,3,⋯,48}，将集合A拆分成16个三元子集(子集有三个元素)，且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合A是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合A是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则a的最大值为(

)A.12 B.9 C.7 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.早在1733年,法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时,提出了正态密度函数的形式,其解析式为f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,则下列说法正确的是()(参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ​​​​​​​)≈0.9545,P(A.曲线y=f(x)关于直线x=μ对称

B.曲线y=f(x)在x=μ处达到峰值12π

C.当σ较小时,正态曲线“矮胖”,当σ较大时,正态曲线“瘦高”

D.若σ2=4,μ=60,则P(62≤10.已知函数f(x)=2sin(2x−A.f(x)的最小正周期为2π

B.若f(x)在区间(0,m)恰有两个零点，则m的取值范围为(5π8,9π8]

C.若f(x)≥−1，且0≤x≤2π，则0≤x≤3π4

D.11.已知函数f(x)=2x3−3axA.若f(x)在x=1处取得极小值，则a=1

B.a<0，x1>x2>1，则f(x1)<f(x2)

C.若a=2，则曲线y=f(x)关于点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(3−2x)n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则n的值为

．13.设M是抛物线y2=6x上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，∠OFM=120∘，则|FM|=14.已知函数f(x)=(x+a)lnx(a>0).若当x>e时，存在过坐标原点O的直线l与曲线y=f(x)相切，则实数a的取值范围为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M是BC的中点，(1)证明：BC⊥平面AM(2)若AB⊥AC，AB=2，AA116.(本小题15分)已知等差数列{an}满足a2=4，a1+a(1)求数列{an}，(2)若数列{cn}满足cn=an⋅17.(本小题15分)2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人H1，H2，(1)若H1型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为910;若第一次检测不成功，则第二次检测成功的概率为34.已知H1(2)试产H1，H2，H3型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时，H1，H2，H3型合格的概率分别为34，45，35，第二次检测时，H1，H2，H3型合格的概率分别为23，3418.(本小题17分)已知函数f(x)=axe(1)当a=−1时，求f(x)在区间[−2,0]上的最大值和最小值;(2)当a=1时，证明：f(x)≥(3)若∀x∈[1e,+∞)，f(x)≤x19.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别F1(1)求椭圆C的方程;(2)若N为圆C1:(x−5)2(3)已知直线l:y=kx+1，(k≠0)与y轴交于点D，且与椭圆C交于A，B两点，E为坐标平面内不在直线l上的动点，若直线AE，DE，BE斜率的倒数成等差数列，证明：动点E在定直线L上，并求直线L的方程．

参考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.A

6.D

7.C

8.C

9.AD

10.BD

11.ACD

12.12

13.6

14.[e15.解：(1)由直三棱柱ABC−A1B1C1可得A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC，

因为M是底边BC的中点，A1B=A1C，所以BC⊥A1M，

因为A1A，A1M⊂平面A1MA，A1A∩A1M=A1，BC⊄平面AMA1，所以BC⊥平面A1MA．

(2)由已知AA1⊥平面ABC，

AC,AB⊂平面ABC

所以A1A⊥AC，A1A⊥AB，又AB⊥AC，

以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

由(1)可知AM⊥BC，所以AB=AC=2，则A1(0,0,2)，B(由图知θ为锐角，则cosθ=所以二面角B−A1C116.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1+a3+a5=3a3=18，所以a3=6，

又a2=4，所以d=a3−a2=2，所以a1=a2−d=2，所以an=a1+(n−1)d=2+(n−1)×2=2n；

设等比数列{17.解：(1)记A=“H1型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功”，

B=“H1型服务机器人第二次仿成年人拿水杯检测成功”，

则P(A)=45，P(A)=15，P(B|A)=910，P(B|A)=34．

因为P(B|A)=P(AB)P(A)，所以P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=45×910=1825，

因为P(B|A)=P(AB)P(A)，所以P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=15×34=320，

则P(B)=P(AB)+P(A18.解：(1)当a=−1时，f(x)=−xex+1，所以f′(x)=−(1+x)ex，

当x∈(−2,−1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增;

当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以f(x)在区间[−2,0]上的最大值为f(−1)=1e+1．

又f(−2)=2e2+1>f(0)=1，所以f(x)在区间[−2,0]上的最小值为f(0)=1．

所以f(x)在区间[−2,0]上的最大值为1+ee，最小值为1．

(2)证明：当a=1时，令g(x)=xex−lnx−x−1，其定义域为(0,+∞)，

因为g(x)=xex−ln(xex)−1，令t=xex>0，得ℎ(t)=t−lnt−1，ℎ′(t)=1−1t=t−1t，

所以当0<t<1时，ℎ′(t)<0，ℎ(t)单调递减;当t>1时，ℎ′(t)>0，ℎ(t)单调递增，

所以ℎ(t)≥ℎ(1)=0.故f(x)≥lnx+x+2．

(3)由∀x∈[1e,+∞)，f(x)≤x2lnx−x3+x2+1，得∀x∈[1e,+∞)，axex+1≤x2lnx−x3+x2+1，

即x∈[1e,+∞)，aex≤xlnx−x2+x，即x∈[1e,+∞)，a≤xlnx−x2+xex，

令F(x)=xlnx−x2+xex，x∈[1e,+∞)，则F′(x)=(1−x)(lnx−x+2)19.解：(1)设椭圆的半焦距为c，因为|F1F2|=2c=2，所以c=1，

由椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a=4，所以a=2，所以b=a2−c2=22−12=3，

所以C的方