高考数学一轮复习：导数与函数的极值、最值 专项练习（学生版+解析）

第03讲导数与函数的极值、最值

（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析函数的性质、奇偶性的定义与判断

基本（均值）不等式的应用、求平面轨迹

2023年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（不含参）

方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长

2023年新D卷,第11题,5分根据极值求参数根据二次函数零点的分布求参数的范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年新D卷,第22题,12分根据极值点求参数利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

锥体体积的有关计算球的体积的有关计算

2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值（不含参）

多面体与球体内切外接问题

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

2022年新I卷，第10题,5分求已知函数的极值点

利用导数研究函数的零点

2022年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（含参）利用导数研究方程的根

2021年新I卷，第15题,5分由导数求函的最值（不含参）无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分

【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值

3体会导数与极大（小）值、最大（小）值的关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的

极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习

知识讲解

1.函数的极值与导数

(1)函数的极小值与极小值点

若函数寅X)在点x=。处的函数值五。)比它在点x=。附近其他点的函数值都小，/'(a)=0,

而且在点x=a附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)〉0,则点。叫做函数的极小值点，义。)叫做函

数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数小)在点x=b处的函数值五6)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/'(3=0,

而且在点x=b附近的左侧/'(x)〉0,右侧/'(x)<0,则点b叫做函数的极大值点，义切叫做函

数的极大值.

(3)极值与导数的关系

/(x)是极值点n/'(x)=0

/［x)=O»/(x)是极值点，即：/'(x)=0是/(x)为极值点的必要非充分条件

2.函数的最值与导数

(1)函数段)在［。，回上有最值的条件

如果在区间［。，切上函数y=y(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求j=上)在［a,回上的最大(小)值的步骤

①求函数了=加)在他，、)内的极值；

②将函数歹=义工)的各极值与端点处的函数值大。)，寅3比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值.

考点一、求函数的极值或极值点

☆典例引领

1.(天津•高考真题)已知函数〃尤)=M+cx+d(awO)在&上满足f(r)=-/(x),当x=l时/(尤)取得极

值-2.

(1)求/(x)的单调区间和极大值；

(2)证明：对任意外、x2e(-l,l),不等式|/(占)-/七)|〈4恒成立.

2.(全国•高考真题)已知函数/(x)=x-l+W(aeR,e为自然对数的底数)

e

(1)若曲线了=〃尤)在点(1J(X))处的切线平行于X轴，求。的值；

(2)求函数/(x)的极值；

(3)当。=1时，若直线/：y=丘-1与曲线y=没有公共点，求上的最大值.

3.(天津•高考真题)已知函数〃x)=xeT(xe©

(I)求函数〃无)的单调区间和极值；

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数V=/(x)的图象关于直线X=1对称，证明当X>1时，/(x)>g(x)

(III)如果且/(》)=/(3,证明,+马>2

4.(山东•高考真题)设函数〃x)=ln(x+l)+a(x2-x)*其中aeR.

(I)讨论函数/(x)极值点的个数，并说明理由；

(II)若Vx>OJ(x"O成立，求。的取值范围.

段即时检测

X

1.(2023•湖北黄石•统考模拟预测)已知。>2,函数/(x)=x-a-(a-l)ln二，x>0.

a

⑴求函数的单调区间和极值；

(2)设/(x)较小的零点为不，证明：a-2<x<a-2+~.

la

2.(2023•河北沧州•校考模拟预测)已知函数=

⑴求函数〃x)的极值点个数;

⑵若不等式(x+l)2f(x+l)>切-子-1在。,+⑹上恒成立，求加可取的最大整数值.

3.(2023•江苏无锡・辅仁高中校考模拟预测)已知函数〃x)=f+lnx,g(x)=4-2x-

⑴求函数〃x)的极值点；

(2)若/(x)Vg(x)恒成立，求实数机的取值范围.

4.(2023•福建龙岩•统考模拟预测)设函数〃x)=g+lnx-x.

⑴求/(x)的极值；

(2)已知/(占)=/。2)(石<々),包+%2有最小值,求人的取值范围.

5.(2023,山东青岛•统考二模)已知函数/(x)=Inx——],a>0.

(1)讨论/(无)极值点的个数；

⑵若/(X)恰有三个零点tx,t2,t3(tx<t2<。和两个极值点尤Je(再<%).

(i)证明：/(^)+/(%2)=0；

(ii)若m<n,且加lnM二〃ln〃，证明：--------->n(]nn+lY

t/2t3

6.(2023•浙江胶联考模拟预测)己知函数"X)=竺二lire-x有三个极值点西户2，%(项<马<三)，其中。eR.

(1)求。的取值范围；

(2)求证：匹+%>2；

八、龙:+/(*)/(』)2

(3)求址：-----++----->

国x3ae

考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围

☆典例引领

1.(2023•全国•统考高考真题)(多选)若函数/(x)=alnx+?+/(aw0)既有极大值也有极小值，则().

A.bc>QB.ab>0C.b2+8tzc>0D.ac<0

即时检测

1.(2023・广东•校联考模拟预测)已知函数/(x)=(Y-ox+a)e，-V,aeR,若函数/(无)在x=0处取得极

小值，则。的取值范围为.

2.(2023•辽宁鞍山•统考模拟预测)已知函数/(耳=，+机二-1有两个极值点不，巧，且马22占，则实数

m的取值范围是.

3.(2023•安徽阜阳•安徽省临泉第一中学校考三模)已知函数/(x)=(lnx『-"有两个极值点，则实数。的

取值范围是.

4.(2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测)已知函数/⑺=2e'-办2+2存在两个极值点玉，%(为<%),

则以下结论正确的为()

A.0<a<eB.0<Xj<1<x2

C.若马=2再，贝！Ja=21n2D.InXj+x2>0

考点三、利用导数求函数最值

W典例引领

1.(2022•全国•统考高考真题)函数f(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为()

71713717r兀兀c3兀兀c

A.一一，一B.-----C.——，一+2D.------,—+2

22222222

2.(2022•全国,统考高考真题)已知函数/(x)=ax-L-(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求/(x)的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围.

☆即时检测

1.(2023•广东佛山•校考模拟预测)已知函数/'(x)=hu+siiu.

⑴求函数〃x)在区间［l,e］上的最小值；

(2)判断函数/(x)的零点个数，并证明.

2.(2023•江苏南通・统考模拟预测)已知函数〃x)=7广+"-2,其中。为实数.

⑴若a=l,求函数/(x)在区间［0,+“)上的最小值；

2

(2)若函数/(x)在R上存在两个极值点为，X?,且为<尤2.求证：十-e』>-—2.

a

3.(2023浙江•校联考二模)设a<■!，已知函数/(x)=(x-2)e，-a1-公)+2有3个不同零点.

⑴当“=0时，求函数“X)的最小值：

(2)求实数。的取值范围；

(3)设函数/(无)的三个零点分别为外、*2、工3，JEL^-XJ<0,证明：存在唯一的实数0,使得不、4、X3成

等差数列.

4.(2023•福建福州•福州三中校考模拟预测)已知函数/(司="-111苍8(%)=友，+’.

e

⑴求函数“X)在明+1］。>0)上的最小值；

(2)证明：当x>0时，犷(无)<g(x).

5.(2023・湖南岳阳•统考一模)已知函数/(尤)=左皿1+力,g(x)=x,(左eR).

(1)讨论函数>=/(x)-g(x)在区间［0,+句上的最大值；

⑵确定后的所有可能取值，使得存在"0,对任意的xe(0,。，恒有

6.(2023,江苏,二模)己知函数/(x)=(尤-a-l)e''-~+“x.

(1)当。=1时，求函数“X)的单调递增区间；

(2)若函数〃x)在(0,+8)的最小值为-;，求“的最大值.

考点四、由函数最值求参数值或范围

☆典例引领

1.(2022・全国•统考高考真题)当无=1时，函数〃x)=alnx+2取得最大值一2,贝！］/'⑵=()

X

11

A.—1B.—C.-D.1

22

仝即时检测

1.(2023•山东・山东省实验中学校考一模)若函数=+在区间(a-4,a)上存在最小值，则整数

。的取值可以是.

2.(2023•广东广州广州六中校考三模)已知/1x)=("-1对与g(x)=x(lnx-a)有相同的最小值.

⑴求实数”的值；

2

(2)已知冽<0,函数尸(x)=/(x)-加有两个零点再广2，求证：x1-x2>-m-m.

【基础过关】

一、多选题

1.(2023•河北石家庄・统考三模)设函数/(x)的定义域为R,尤。(％片0)是/(x)的极大值点，以下结论一定

正确的是()

A.VxeR,/(x)</(x0)B.-毛是/(-x)的极大值点

C.%是-/(x)的极小值点D.r。是-1(f)的极大值点

+1

2.(2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)设函数/("=软，则()

A.〃x)是奇函数

B.当xe(0,+oo)时，〃尤)有最小值2

C.〃x-l)在区间(1,2)上单调递减

D.7(x)有两个极值点

二、填空题

3.(2023•安徽六安・安徽省舒城中学校考模拟预测)已知实数。,6,G4成等比数列，且函数y=ln(x+2)-x,

当x=b时取到极大值c,则"等于.

三、解答题

4.(2023・福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测)已知函数〃x)=&+6x+2在x=-2处取得极值-14.

(1)求a,6的值；

⑵求曲线了=/(x)在点处的切线方程；

⑶求函数“X)在［T3］上的最值.

5.(2023•浙江温州•统考二模)已知函数/(X)=44—3,g(x)=_1%2+

e2

(1)若>=/(x)在X=1处的切线与歹=g(x)也相切，求。的值；

(2)若4=1,求函数V=/(')+g(x)的最大值.

6.(2023•江苏常州・常州市第三中学校考模拟预测)设函数〃x)=lnx-；a/-6x.

(1)当。=6=|■时，求函数“X)的最大值；

(2)当a=0,b=~\,方程2时(x)=/有唯一实数解，求正数加的值.

7.(2023•安徽马鞍山•统考三模)已知函数/(x)=(x+l-2a)ln(x-a)

(1)当a=2时，求函数/(x)的极值；

⑵当x*+l时，/(x)Nx-l恒成立，求实数。的取值范围.

8.(2023•辽宁丹东•统考二模)已知x='为函数/(x)=lnx-ax+a的极值点.

2

⑴求。；

(2)证明：当0<x<"I时，切(x)+(x->0.

9.(2023・福建・统考模拟预测)已知函数"》)=工.

x-e

(1)求/(X)的单调区间和极值；

(2)右g(x)=«”-aj2x+l-2e-W21nx-1有零点，求/+t>2的取小值，

10.(2023•山东淄博・山东省淄博实验中学校考三模)已知函数/(x)=e，sinx-2x.

⑴求曲线y=〃x)在点(0j(o))处的切线方程；

(2)求/(X)在区间上的最大值；

(3)设实数。使得/(x)+x>ae*对xeR恒成立，写出。的最大整数值，并说明理由.

【能力提升】

1.(2023•重庆万州•统考模拟预测)已知函数/。)=竺¥(℃0.

ex

⑴讨论“X)的极值；

⑵当。=1时，关于X的不等式为Nl+m-ln(x+l)在［0,+司上恒成立，求实数冽的取值范围.

2.(2023・重庆万州・重庆市万州第三中学校考模拟预测)已知函数f(x)=x(lnx+"7).

(1)若/(x)在区间(1,e)上有极小值，求实数机的取值范围；

(2)求证：/(x)<x3ex+(m-l)x.

3.(2023•全国■模拟预测)已知函数/(x)=alnx+gx-a,aeR.

(1)讨论函数/(x)的最值；

⑵若函数秋x)=(x-l)e，-力(x)-有两个极值点，求实数a的取值范围.

4.(2023•安徽合肥哈肥一六八中学校考模拟预测)已知函数=其中〃机>0.

⑴若x=4时，“X)有极值_山2,求，皿的值；

(2)设加Wp-1,讨论/(x)的零点个数.

5.(2023・湖北武汉•武汉二中校联考模拟预测)己知函数/(x)=lnm+(a-2]x-x2.

a\aJ

⑴若a<0J(x)的极大值为3,求实数。的值；

(2)^Vxe(O,+a)),/(x)<axe1+^a--1-l^x-x2,求实数。的取值范围.

6.(2023•广东佛山・统考模拟预测)已知函数其中aeR.

(1)讨论函数/(x)极值点的个数；

(2)对任意的x>0,都有/(尤)4-lnx-l,求实数a的取值范围.

7.(2023•湖南长沙•长郡中学校考二模)已知函数〃x)=(cosx-l)eT,g(x)=#+0-e'卜(aeR).

⑴当xe(0,7t)时，求函数〃x)的最小值；

(2)当xe时，不等式力(x”景恒成立，求实数。的取值范围.

8.(2023•江苏淮安・江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)已知函数/(x)=■(：+“),xe(O,+s).

⑴若a=l,证明:/(x)>l-j；

(2)若函数/(x)最大值为卡，求实数。的值.

9.(2023•湖北黄冈•黄冈中学校考三模)已知函数/(%)=xsinx+cosx+ax2,g(x)=xIn—.

71

⑴当a=0时，求函数〃X)在[-兀,可上的极值；

⑵用11^{加,“}表示/,"中的最大值，记函数无)=max{/(x),g(x)}(x>0),讨论函数/z(x)在(0,+<»)上的

零点个数.

10.(2023・重庆・统考模拟预测)已知函数/(x)=/和g(x)="?在同一处取得相同的最大值.

⑴求实数。；

⑵设直线了=6与两条曲线y=〃x)和了=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为占,乙,演,看

(再〈工2<工3<%4)，证明：m%4=%2%3.

【真题感知】

一、单选题

1.(2021•全国•统考高考真题)设QWO,若x=a为函数/(x)=a(x-a)2(x-6)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a1

二、多选题

2.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(尤)=f-尤+1,则()

A./⑴有两个极值点B./⑴有三个零点

C•点(0,1)是曲线V=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

三、填空题

3.(202「全国•统考高考真题)函数f(x)=|2x-l卜21nx的最小值为.

四、解答题

4.(2023•全国•统考高考真题)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数/'(x)=cosax-ln(l-x2),若x=0是/(x)的极大值点，求a的取值范围.

5.(2021•北京・统考高考真题)已知函数/卜)=点言.

(1)若a=0,求曲线了=/(尤)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若/(x)在x=T处取得极值，求/(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

6.(2021•天津•统考高考真题)已知a>0,函数/1(x)=av-xe，.

(D求曲线y=/(x)在点(oj(o。处的切线方程:

(in证明/a)存在唯一的极值点

(III)若存在a,使得/(x)Va+&对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

第03讲导数与函数的极值、最值

（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析函数的性质、奇偶性的定义与判断

基本（均值）不等式的应用、求平面轨迹

2023年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（不含参）

方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长

2023年新D卷,第11题,5分根据极值求参数根据二次函数零点的分布求参数的范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年新D卷,第22题,12分根据极值点求参数利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

锥体体积的有关计算球的体积的有关计算

2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值（不含参）

多面体与球体内切外接问题

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

2022年新I卷，第10题,5分求已知函数的极值点

利用导数研究函数的零点

2022年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（含参）利用导数研究方程的根

2021年新I卷，第15题,5分由导数求函的最值（不含参）无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分

【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值

3体会导数与极大（小）值、最大（小）值的关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的

极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习

知识讲解

3.函数的极值与导数

(1)函数的极小值与极小值点

若函数寅X)在点X=a处的函数值五。)比它在点X=a附近其他点的函数值都小，/'(。)=0,

而且在点x=a附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)〉0,则点。叫做函数的极小值点，义。)叫做函

数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数小)在点x=b处的函数值五6)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/'(3=0,

而且在点x=b附近的左侧/'(x)〉0,右侧/'(x)<0,则点b叫做函数的极大值点，义切叫做函

数的极大值.

(3)极值与导数的关系

/(x)是极值点n/'(x)=0

/［x)=O»/(x)是极值点，即：/'(x)=0是/(x)为极值点的必要非充分条件

4.函数的最值与导数

(1)函数段)在［。，回上有最值的条件

如果在区间［。，切上函数y=y(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求j=上)在,回上的最大(小)值的步骤

①求函数了=加)在他，、)内的极值；

②将函数歹=义工)的各极值与端点处的函数值大。)，寅3比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值.

考点一、求函数的极值或极值点

☆典例引领

1.(天津•高考真题)已知函数〃尤)=M+cx+d(awO)在&上满足f(r)=-/(x),当x=l时/(尤)取得极

值-2.

(1)求/(x)的单调区间和极大值；

(2)证明：对任意外、x2e(-l,l),不等式|/(占)-/七)|〈4恒成立.

【答案】(1)单调递增区间为(-咫-1)、(1，+W，单调递减区间为(-M),极大值为2；(2)证明见解析.

【分析】(1)由/(-x)=-/(x)可求得d=o,由题意得出I可解出0、c的值，可得出函数y=/(x)

17Ub-2

的解析式，然后利用导数可求得函数了=/(x)的单调区间和极大值；

(2)求得函数了=/(x)在区间上的最大值2,最小值-2,由此可得出|/(西)-/仁)|<2-(-2)=4,

进而可证得结论.

【详解】(1)f(x)=ax3+cx+d,由/(-x)=-/(x),~ax3-cx+d=~(axi+cx+d^j,可得"=0.

f(x)=ax3+cx,/'(x)=3办2+c,

z、1/⑴=a+c=—2(a=l

由于函数了=/x在工=1处取得极值-2,贝|J2八，解得2，

(1)=3Q+C=0[C=—3

f(x)=x3-3x,

广⑺=3X2—3=3(%-1)(%+1),从而/")=r(—l)=0.

当时，/0(x)>0,则函数y=/(x)在(-8,-1)上是增函数；

在xe(Tl)时，r(x)<0,则函数y=/(x)在上是减函数；

当xe(l,+⑹时，/个)>0,则函数尸/⑺在(1收)上是增函数.

所以，函数>=/(》)在x=T处取得极大值，即〃-1)=2：

(2)由(1)知，函数/(司=/一3工在11,1]上是减函数，

当xe[T,l]时,/(x)max=/(-l)=2,/(x)mi„=/(1)=-2.

所以，对任意不、x2e(-l,l),不等式|/(再)-/仁)|<2-(-2)=4.

【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间和极值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计

算能力与推理能力，属于中等题.

2.(全国•高考真题)已知函数/(x)=x-1+=(。£凡£为自然对数的底数)

e

(1)若曲线y=/(x)在点(ij(x))处的切线平行于x轴，求。的值；

(2)求函数/(X)的极值;

(3)当。=1时，若直线/：/=米-1与曲线y=〃x)没有公共点，求上的最大值.

【答案】(1)a=e(2)当时，函数/(尤)无极小值；当。>0,/(x)在x=lna处取得极小值Ina,无

极大值(3)后的最大值为1

【分析】(1)求出厂(x),由导数的几何意义，解方程/⑴=0即可；(2)解方程/'(x)=0,注意分类讨论,

以确定了'(X)的符号，从而确定〃x)的单调性，得极大值或极小值(极值点多时，最好列表表示)；(3)题

意就是方程〃x)=kx-l无实数解，即关于x的方程=/在尺上没有实数解.一般是分类讨论，k=l

时，无实数解，时，方程变为」=加工，因此可通过求函数g(x)=W的值域来求得人的范围.

k-1

【详解】(1)由/(x)=xT+W，得/'(x)=l-£.

ee

又曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线平行于x轴，

得/'(1)=0,即1-2=0,解得“=e.

e

⑵rw=i-1,

①当aV0时,H(x)〉0J(x)为(f+8)上的增函数，

所以函数/(x)无极值.

②当。>0时，令/'(x)=0,得H=a,x=lna.

xe(-oo,lna),/,(x)<0；xe(lna,+co),#(x)>0.

所以/(x)在(F』na)上单调递减，在(Ina,+a>)上单调递增，

故/(x)在尤=ln。处取得极小值，且极小值为/(Ina)=In。，无极大值.

综上，当a<0时，函数/(x)无极小值

当。>0,/(》)在工=111。处取得极小值111.,无极大值.

(3)当a=l时,/(x)=x-l+g

令g(x)=/(x)-体-1)=(1-左)龙+g,

则直线=与曲线y=/(x)没有公共点，

等价于方程g(X)=o在&上没有实数解.

假设无＞1,此时g(o)=l＞O'g［士〉-1+3<0,

又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可知g(x)=0在R上至少有一解，与“方程g(x)=0在R上没有

实数解”矛盾，故后41.

又上=1时,g(x)=，＞0,知方程g(x)=0在R上没有实数解.

所以上的最大值为1.

解法二：

(1)(2)同解法一.

(3)当a=l时=+

直线/：＞=辰-1与曲线y=/(x)没有公共点,

等价于关于X的方程Ax-l=x-l+!在区上没有实数解，即关于X的方程:

e

化-l)x=4(*)

在尺上没有实数解.

①当上=1时，方程(*)可化为二=0,在尺上没有实数解.

e

②当心1时，方程(*)化为丁1=尤/.

K-1

令g(x)=xe*,则有短(x)=(1+x)e*.

令g'(x)=0,得x=-l,

当x变化时,g'(x)的变化情况如下表：

(-CO,-1)

X-1(-l,+°o)

g'(x)-0+

g(x)减增

e

当X=-l时,g(x)1nhi=-J同时当X趋于+8时,g(x)趋于+8,

从而g(x)的取值范围为

所以当€时，方程(*)无实数解，解得上的取值范围是

K-1e

综上，得左的最大值为1.

考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布.

3.(天津•高考真题)已知函数/(x)=xeT(xe©

(I)求函数/(x)的单调区间和极值；

(II)已知函数>=g(x)的图象与函数V=的图象关于直线x=l对称，证明当x>l时，/(x)>g(x)

(III)如果七片/，且/(网)=/(工2),证明再+%>2

【答案】(I)f(x)在(9,1)内是增函数，在(1,+8)内是减函数.函数f(x)在x=l处取得极大值f(l)且f(l)=J

e

(II)见解析(III)见解析

【详解】(I)解：f，(x)=(1-尤)**

令f'(x尸0,解得x=l

当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表

X(-00,1)1(1,+℃)

f'(x)+0-

f(x)/极大值/

所以f(x)在(-*1)内是增函数，在(1,+8)内是减函数.

函数f(x)在x=l处取得极大值f(l)且f(l)=-

e

(II)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),Wg(x)=(2-x)/2

令F(x)=f(x)-g(x),iPF(x)=xe~x+(尤一2)^-2

于是尸(x)=(x-l)(e2A2_比-"

当x>l时，2x-2>0,从而e2x2_i>0,又6-工>0,所以F，(x)>0,从而函数F(x)在［1,+◎是增函数.

又F(l)=0,所以x>l时，有F(x)>F(l)=0,即f(x)>g(x).

(Ill)证明：(1)

若(再-1)@2-1)=0,由(I)及f(x)=f(xj,购气=1.与f矛盾。

(2)若(再-1)(%T)>0,由(I)及f(x)=f(X),得；］=%.与产％矛盾。

根据(1)(2)得(西-1)(9-1)<0,不妨设

由(II)可知，/(x2)>g(x2),plijg(x2)=f(2-X2),所以/(X2)>f(2-X2),从而/(xj>f(2-X?).因为z>1，所以

2-X2<1,又由(I)可知函数f(x)在区间(-oo,1)内事增函数，所以毛>2-々,即XJ+X2>2.

4.(山东•高考真题)设函数/(x)=ln(x+l)+a(x2-x),其中aeA.

(I)讨论函数/(x)极值点的个数，并说明理由；

(II)若Vx>0J(x)20成立，求。的取值范围.

【答案】(I)见解析(II)〃的取值范围是[0』.

【详解】试题分析：(I)先求/'卜)=，+如-°=即巨土竺‘二巴，令g(x)=2办2+"+1-。

X+1X+1

通过对。的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数/(X)的单调区间；(II)根据(1)

的结果/(o)=o这一特殊性，通过对参数的讨论确定a的取值范围.

试题解析：函数/(x)=ln(x+l)+a(/-x)的定义域为(-1,+8)

\1_2ax2+ax+\-a

JIX)=----Fz£LX—a=--------------

v7x+1x+1

令g(x)=2办2+办+1-〃，X£(-1,+OO)

(1)当4=0时，g(x)=l>0,r(x)>0在(T+⑹上恒成立

所以，函数/(x)在(-1,+8)上单调递增无极值;

(2)当Q〉0时，A="2—8。(1-a)="(9〃-8)

Q

①当0<aV,时，A<0,g(x)>0

所以，r(x)>0,函数/(X)在(-1,+8)上单调递增无极值;

O

②当。>3时，A>0

设方程2〃/+"+1_a=0的两根为玉,％2区<%2)，

因为再+/=

所以，玉(一T/，—7

由g(_l)=l>0可得：-1<Xl<―,

所以，当xe(-l,xj时，g(x)>0，r(x)>0,函数“X)单调递增;

当xe(x],尤2)时，g(x)<0,/,(x)<0,函数/(无)单调递减；

当无+oo)时,g(x)>0,/f(x)>0,函数单调递增；

因此函数/(x)有两个极值点.

(3)当”0时，A>0

由g(-l)=l>0可得：X]<-1,

当xe(-l,X2)时,g(x)>0，r(x)>0,函数〃x)单调递增；

当无e(尤2，+℃)时，g(x)<0,/,(x)<0,函数/(x)单调递减；

因此函数“X)有一个极值点.

综上：

当a<0时，函数/(x)在(-1,+s)上有唯一极值点；

Q

当OWaV、时，函数”X)在(-1,+8)上无极值点；

Q

当时，函数”X)在(-1,+⑹上有两个极值点；

(II)由(I)知，

O

(1)当时，函数“X)在(0,+8)上单调递增，

因为/(0)=0

所以，xe(0,+co)时，/(x)>0,符合题意；

Q

(2)当时，由g(0)20,得马(0

所以，函数/(X)在(0,+8)上单调递增，

又/(0)=0,所以，xe(o,+s)时，/(x)>0,符合题意；

(3)当”>1时，由g(0)<0,可得遍>0

所以尤e(O，W)时，函数/(x)单调递减；

又/(0)=0

所以，当xe(O,/2)时,/(x)<0不符合题意；

(4)当a<0时，设〃(x)=x-ln(x+l)

1

因为X£(0,+00)时，/(X)=1-----=---Y->0

X+1X+1

所以〃(X)在(0,+8)上单调递增，

因此当x£(0,+°°)时，A(x)>A(0)=0

即：ln(x+l)<x

可得：/(%)<x+a(%2-%)=ox?+(l-q)x

当工〉1一工时，ax2+(l-4Z)x<0

a

此时，y(x)<o,不合题意.

综上所述，。的取值范围是[o,i]

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.

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X

1.(2023•湖北黄石•统考模拟预测)已知a>2,函数/(x)=x-a-(a-l)ln二，x>0.

a

⑴求函数〃x)的单调区间和极值；

(2)设/(x)较小的零点为不，证明：a-2<xl<a-2+~.

a

【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为(。-1,+8);极小值无极大值

a

(2)证明见解析

【分析】(1)由导数法求极值及单调区间即可；

(2)先由零点存在定理说明/(X)存在两个零点玉户2(演<X2)，

法一：由导数法证/("2)>0,/[-2+£|<0,结合函数单调性即可证明；

法二：由导数法证明证明当0<x<l时，7<lnx<，_4，再令尤=土代入不等式化简得证.

yjxX+1a

【详解】(1)因为/(x)=x—a—(a—l)ln—,x>0,所以r(x)=l-----=--------,

axx

当0<x<a-l时，/V)<0；当x〉"l时，/V)>0,所以函数/(%)的单调递减区间为(o,〃-1),单调递

增区间为(a-L+8),

故“X)有极小值=无极大值；

a

(2)因为当x>0时，\nx>l--,所以ln0>l--―,

xaa-1

所以=-一—|=0,

ava-1J

又X-0时，f(X)+00；Xf+8时，/(%)-+00,

所以/(X)有两个零点再/2(再<%2)；

法1：下面证明/(。-2)>0,/("2+：<0,

n—2a—22

7(61-2)=-2-(4z-l)ln^^>0«In^^+^-<0

aaa—\

、n_/、、a-22

设g(a)—ln-----1----7，

aa-\

-3-------\>0，所以g(a)=lnS+々在(2,+对上递增,

a1-la(a-1)2aa-1

a-22a-22

又“f+8时，g(q)=In----1------->0,所以g(a)=ln----1-----<0对〃>2成立，

aa-1aa—I

所以/(〃-2)>0得证,

/IQ_2H—a-2+——2+—/\2_2H—

/Q-2+—=-2+—(a-1)In------0<=>In-----------------—«In1—<....-

Va)aaaa\a)a-1

令"1——x,贝！]——1—xfci----->2,一<%<1,•*.Inx?>x—21nx>%.

aa1-x2xx

设〃(%)=21nx-x+—,—<x<1,

x2

则"(x)=2-i-二=-11-口2<0,所以再⑺在上递减，

所以力(%)>7?(1)=0,所以21nx>%—!，

'x

所以了,-2+£|<0得证，

因为函数/(x)区间(0M-1)单调递减，

乂—2)>0,/(a—2H—]<0,f(%))=0,a-2、/、a-1-\—e(0,a—1),

所1以Q—2<西<Q—2H;

a

x-\

法2：下面证明当0<x<1时，/—<Inx<--,

yjxx+l

x—1

设g(x)=厂-Inx,0<x<1,

所以g⑺在(0,1)上递增,

Y—1

所以g(x)<g⑴=0，所以一L<lnx,

再设/(x)=lnx-2(xT),0<x<l.

x+1

2(x+D-2(xT).匚_J_=(…

X(X+1)2X(%+1)2x(x+1)2

所以〃(x)在(0,1)