高考数学复习宝典

2011年高考数学

一、2011年高考数学全部知识点整理+经典例题详细解析

高中数学必修一、高中数学必修二、高中数学必修三、高中数学必

修四、

高中数学必修五、高中数学选修2-1、高中数学选修2-2、高中数学

选修2-3

高中数学选修4-5

二、【内部资料】2009-2010年高考数学模拟压轴大题总结+详细解

析

《20H年高考数学总复习系列》—高中数学必修一

第一章、集合

一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集

合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用

小写字母来表示，元素x在集合4中，称x属于Z,记为xe/,

否则称x不属于记作

例如，通常用N,Z,Q,B,。+分别表示自然数集、整数集、有理

数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用0

来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括

号内并用逗号隔开表示集合的方法，如｛1,2,3｝；描述法：将集合

中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如｛有理数｝,

｛x|x>0｝分别表示有理数集和正实数集。

定义2子集：对于两个集合彳与8,如果集合/中的任何一个元

素都是集合8中的元素，则/叫做B的子集，记为Nq8,例如

N三Z。规定空集是任何集合的子集，如果/是5的子集，B也是

/的子集，则称/与8相等。如果4是8的子集，而且8中存在元

素不属于4则/叫8的真子集。

使[理解c8包含两个意思：①/与8相等、②4是5的真

子集

定义3交集，=

定义4并集，A^B=｛^\xeAs^ceB].

定义5补集，若N=/,则GA=｛x|xe/,且xeZ｝称为/在/中

的补集。

定义6集合｛x[“<x<b,xe火,“<毋记作开区间（a,6）,集合

｛x|<7<x<Z）,xe<6｝记作闭区间[a,6],R记作（一8,+8）.

定义7空集。是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

对集合中元素三大性质的理解

（1）确定性

集合中的元素，必须是确定的.对于集合/和元素。，要么

aeA,要么。任4,二者必居其一.比如：”所有大于100的数”

组成一个集合，集合中的元素是确定的.而“较大的整数”就不能构

成一个集合，因为它的对象是不确定的.再如，“较大的树”、”较高

的人”等都不能构成集合.

(2)互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.任何两个

相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素.如：

由。，片组成一个集合，则。的取值不能是0或1.

(3)无序性

集合中的元素的次序无先后之分.如：山1,2,3组成一个集合，

也可以写成1,3,2组成一个集合，它们都表示同一个集合.

帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题

(1)注意a与｛。｝的区别.a是集合｛。｝的一个元素，而｛a｝是含

有一个元素。的集合，二者的关系是aw｛a｝.

(2)注意0与｛0｝的区别.。是不含任何元素的集合，而｛0｝是含

有元素0的集合.

(3)在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或｛R｝来表

示实数集R这一类错误，因为这里"大括号''已包含了“所有”的意思.

用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素

是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义.例

如：

集合｛(%,=中的元素是(x,y),这个集合表示二元

方程歹=4的解集，或者理解为曲线歹=正上的点组成的点集；

集合卜卜=中的元素是x,这个集合表示函数y=4中

自变量X的取值范围；

集合卜卜=4｝中的元素是丁，这个集合表示函数y=«中

函数值y的取值范围；

集合k=五｝中的元素只有一个(方程丁=五),它是用列举

法表示的单元素集合.

(4)常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2巳1

个真子集，有尸-2个非空真子集。

例1已知/={y|y=x?-4x+3,xeR}

5==-x2-2x+2,XGR},求ND8.

22

正解：Vy=x-4x+3=(x-2)-l^-l,

y=-x2-2x+2=-（x+Ip+3W3,

/={y»2-1},8={y»W3},

.,./nB=3-lWyW3}.

解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y,所以

要求出两个集合中y的范围再求交集，A中的y范围是求表达式的

值域、因此此题是表示两个函数值域的集合.

例2若4={2,4a3-2a2-a+7],

B=（1,4z+1）cT—2tz+21———3tz—8）＞/+/+3。+7],且

4「8={25},试求实数a.

正解：VACIB={2,5},...由/一2〃-4+7=5,

解得Q=2或4=±1.

当a=l时，/-2。+2=1与元素的互异性矛盾，故舍去“=1；

当a=7时,5={10,5,2,4},此时405={2,4,5},这与

3口8={2,5}矛盾，故又舍去a=—1；

当a=2时，/={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时

4nB={2,5}满足题意,故。=2为所求.

解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性②互异性③无序

性

1.（2010年江苏高考1）设集合A={-l,l,3},B={a+2,I+4},ADB={3},

则实数a=______________

方法：将集合B两个表达式都等于3,且抓住集合三大性质。【答案】

1.

2V2

2.（2010.湖北卷2.）设集合人={。，7）%|1+彳=1},

8={（》））|丁=3*},则人门8的子集的个数是（)

A.4B.3C.2D.1

方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数,

有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意,

题目求子集个数，所以是22=4［答案］A

集合穿针转化引线(最新)

一、集合与常用逻辑用语

3.若p:3》2-8x+4>0,q:(x+l)(x-2)>0,则~y?是「q的

().

(A)充分条件(B)必要条件

(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件

2

解析：•.•0：3，一8%+4〉0,即x<—或x>2,

3

-:2WxW2.

3

•••q:(x+l)(x—2)>0,即x<—1或x>2,

飞：一1WxW2.

山集合关系知：-<p=>飞，而「qd-'P.

F是飞的充分条件，但不是必要条件.故选(A).

4.若左eR,则“左>3”是“方程上----匚=1表示双曲线”

k-3k+3

的().

(A)充分条件(B)必要条件

(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件

x2

解析:方程-^=1表示双曲线

k-3k+3

。（左一3）（左+3）>0=左>3或左<—3.故选（A）.

二、集合与函数

5.已知集合

尸={jk=-X?+2,xeR},Q-{x\y--x+2,xeR},那么

pn。等于().

(A)(0,2),(1,1)(B){(0,2),(1,1))

(C){1,2}(D){"W2}

解析：山代表元素可知两集合均为数集，又尸集合是函数

夕=—f+2中的y的取值范围，故P集合的实质是函数夕=一/+2

的值域.而。集合则为函数y=-x+2的定义域，从而易知

。口。=帅忘2},选⑴).

评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属

性，本题易因误看代表元素而错选(B)或(C).

三、集合与方程

6.已知/={x,2+(p+2)x+l=0,xeR},B-{x|x>0},且

“口8=0，求实数p的取值范围.

解析：集合/是方程/+(2+2)》+1=0的解集，

则由4n8=0，可得两种情况：

①/=0,则由A=(p+2)2—4<0,得-4</?<0；

②方程/+(p+2)x+1=0无正实根，因为x,x2=1〉0,

△20,

则有《于是220.

—(p+2)<0,

综上，实数p的取值范围为{p|p>-4}.

四、集合与不等式

7.已知集合

A={a辰2+4x-l，-2--。恒成立},B={x|x2-(2m+l)x+m(m+1)<0}

若求实数m的取值范围.

解析：由不等式办2+4》一12一2一一“恒成立，

可得(a+2)x2+4x+(a-l)N0,(X)

3

(1)当a+2=0,即a=—2时，(:※)式可化为X》一，显

4

然不符合题意.

(2)当a+2/0时，欲使(X)式对任意x均成立，必需满

a+2>0,

足4-

AW0,

a>—2,

即4,

42-4(o+2)(a-1)^0,

解得A={a\a^2].

集合B是不等式x2-(2m+l)x+a(加+1)<0的解集，

可求得8={x\m<x<w+1},

结合数轴，只要加+1〉2即可，解得m>\.

五、集合与解析儿何

例6已知集合A={(x,y)|x2+ZMX-y+2=0}和

B={(x,歹),一歹+1=0,0WxW2},

如果/n3*0，求实数m的取值范围.

解析：从代表元素(x,夕)看，这两个集合均为点集，又

/+加'—丁+2=0及x—歹+1=0是两个曲线方程，故

的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛

物线一+侬一^+2=0与线段x—y+l=0(0WxW2)有公共

点，求实数机的取值范围.“

,|X2+/MX-V+2=0,，口

由《，得

［x-y+1=0(0Wx<2),

x2+(w-l)x+l=0(0^x<2),①

■：AC\B^0,

方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解.

首先，由△=(〃?-1)2-4、0,得利》3或加W-1.

当m>3时，由X］+%2=—(%-1)<0及须%2=1知，方程①只

有负根，不符合要求：

当n7<—1时，山西+々=一(加一1)>0及X］》2=1〉0知，方

程①有两个互为倒数的正根，故必有•根在区间(0,1］内，从而方程

①至少有一个根在区间［0,2］内.

综上，所求加的取值范围是(—00,-1］.

第二章、函数

定义1映射，对于任意两个集合Z,B,依对应法则/,若对/中

的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称fA-B

为一个映射。

定义2函数，映射/Z—8中，若4,5都是非空数集，则这个映

射为函数。4称为它的定义域，若xJ,yeB,且_/(x)=y(即x对应

8中的y),则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{;(xpwZ}叫函数

的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有

意义的未知数的取值范围，如函数尸36-1的定义域为

｛x［%K）jX£R｝.

定义才反函数，若函数（通常记作后（x））是一一映射，则

它的逆映射/：4-8叫原函数的反函数，通常写作月"U）.这里求

反函数的过程是：在解析式尸/（x）中反解工得沙七），然后将

互换得内U）,最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：

函数尸——的反函数是产1--（xW0）.

1-XX

补充知识点：

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线尸对称。

定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）

函数。

定义4函数的性质。

（1）单调性：设函数<x）在区间/上满足对任意的X1,X2d/并且

X2,总有/（X1）勺（X2）（/（X）次㈤），则称人X）在区间/上是增（减）函数，

区间/称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数词x）的定义域为D,且D是关于原点对称的

数集，若对于任意的xGD,都有/（.尸加），则称加•）是奇函数；若

对任意的xGD,都有义-x）Yx）,则称大x）是偶函数。奇函数的图象

关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）周期性：对于函数段），如果存在一个不为零的常数T,使得

当x取定义域内每一个数时，/（x+7）=/a）总成立，则称为口为周期函

数，7称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数To,则这

个正数叫做函数Jx）的最小正周期。

摩竭如果实薮则数集｛x|aVx〈6,xGR｝叫做开区间，记作

（a,b）,集合"烂烂打^咫记作闭区间口,力，集合国。〈烂6｝记作半

开半闭区间（。力］,集合｛x|qSr<6｝记作半闭半开区间团,b）,集合｛x|x>a｝

记作开区间（。,+8）,集合｛x降a｝记作半开半闭区间（-8,4

定义《函数的图象，点集｛（x,y）片/（x）,xWD｝称为函数月（x）的图象，

其中D为兀0的定义域。通过画图不难得出函数月a）的图象与其他

函数图象之间的关系3力>0）：

（1）向右平移。个单位得到产标-"）的图象；

（2）向左平移。个单位得到尸/x+a）的图象；

（3）向下平移b个单位得到月U）年的图象；

（4）与函数月（㈤的图象关于y轴对称；

（5）与函数产由-x）的图象关于原点成中心对称；

（6）与函数月^（x）的图象关于直线产r对称；（7）与函数严次\?）

的图象关于x轴对称。________

定理3复合函数产/［以刈的单调性，记住四个字：例

如尸-----，u=2-x在（-8,2）上是减函数，尸一在（0,+oo）上是

2-xu

减函数，所以尸一!一在（-oo,2）上是增函数。

2-x

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，

求导之后是显然的。

1.二次函数：当QW0H寸，y=ax2+bx+c或J(x)=ax2-^bx-^c称为关于x

的二次函数，其对称轴为直线k-2,另外配方可得

1a

J（x）=a（x-xof+J（xo）,其中xo=・g,下同。

2.二次函数的性质：当a>0时:/（x）的图象开口向上，在区间（心,

劭］上随自变量X增大函数值减小（简称递减），在［劭,・8）上随自变

量增大函数值增大（简称递增）。当QVO时，情况相反。

3.当a>0时，方程於尸0即加+队+片。…①和不等式一+瓜+心。②

及af+bx+cvO…③与函数小）的关系如下（记△斗〜农）。

1）当△>（）时，方程①有两个不等实根，设工1/2（修〈了2），不等式②

和不等式③的解集分别是或X*｝和｛小］VxF｝，二次函数./）

图象与x轴有两个不同的交点，y（x）还可写成<x）=a（x・X］）（x・X2）.

2）当△=（）时，方程①有两个相等的实根Xi=X2=Xo=-2,不等式②

2a

和不等式③的解集分别是｛MxH—2｝和空集0,《X）的图象与x轴

2a

有唯一•公共点。

3）当△<0日，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R

和0式x）图象与x轴无公共点。

当"0时，请读者自己分析。

4ac-62

4,二次函数的最值:若a>0,当x=x时，危）取最小值火沏尸--------，

04（7

2

b4QC—b

若亦0,则当x=x（）=----时,左）取最大值-o）=--------------.对于给定

2a4a

区间［m/］上的二次函数人工）=加+云+电>0）,当x（）£［m,川时，，危）在

［m,上的最小值为於0）;当x（）vm时。心）在［m,网上的最小值为>（m）；

当配>〃时，/（x）在［m,网上的最小值为/（〃）（以上结论由二次函数图

象即可得出）。

定义I能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不

是命题。不含逻辑联结词“或”、“且"、“非”的命题叫做简单命题，

由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

“P或4”复合命题只有当p，4同为假命题时为假，否则

为真命题；“P且复合命题只有当p,夕同时为真命题时为真，否

则为假命题;P与“非P”即"P"恰好一真一假。

定义2原命题：若p则q（p为条件，g为结论）；逆命题：若q则

p；否命题:若非p贝心；逆否命题：若非4则非p。

原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命

题同真假。

反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命

题的逆否命题。

定义3如果命题“若。则q”为真，则记为否则记作在

命题“若P则夕”中,如巢已知p=>q,则p是q的充分条件;如柬q=>p,

则称p是q的必要条件；如果p=»q但q不=>p,则称p是g的完

分非必要奏件；如果p不二>［但则p森为q的必要非充分

条件；若且g=>p,则p是g的充要彖件。

二、基础例题（必懂）

1.数形结合法。

例1(09.江西)求方程的正根的个数.

X

【解】分别画出产,山和尸」的图象，由图象可知两

X

者有唯一交点，所以方程有•个正根。

例2(2010.广西模拟)求函数

尸Jx4-3x-_6x+13-—x~+1的最大值。

(解】Ax)=7(X2-2)2+(X-3)2-^(x2-l)2+(x-0)2,记点

P(x,x2),A(3,2),B(0，1)，则./)表示动点尸到点力和8距离

因为|以卜|%凶/用=132+(2—1)2=师，当且仅当P为AB延长线

与抛物线尸2的交点时等号成立。

所以

2.函数性质的应用。

(x-1)2+1997(%-1)=-1

例3(10、全国)设xjGR,且满足「\7

(y-1)3+1997(^-1)=1

求x+y.

【解】设刘尸尸+1997/,先证人/)在(Q,+oo)上递增。事实上，

若a<b,则_/(b)/a)=63-J+1997(6-a)=(6-a)(62+6a+a2+i997)>0,所以

刖递增。

山题设/(x-l尸所以x-l=l-y,所以x+■尸2.

例4(10、全国)奇函数人均在定义域(-1,1)内是减函数，又

X1-«)+/(l-t/2)<0,求a的取值范围。

【解】因为次为是奇函数，所以<1-/尸贡//)，由题设

Xl-a)</(a2-l)»

又/(x)在定义域(-1,1)上递减，所以解得(Xqvi。

例5(10、全国)设危)是定义在(-co,+oo)上以2为周期的函

数，对％EZ,用4表示区间(2h1,2好1],已知当xG/o时，

求在4上的解析式。

【解】设xG/*,则2hl<x£24+1,

所以J(x-2k)=(x-2k)2.

又因为人劝是以2为周期的函数，

所以当x64时，於)=/-2左)=(x-2女尸.

例6(10、全国)解方程：

(3x-l)(-6x+5+1)+(2x-3)(J4x~-12x+13+1)=0.

【解】令m=3x-l,n=2x-3,方程化为

m(』m?+4+1)+〃(J/+4+1)=0.①

若m=0,贝lj山①得〃=0,但m,〃不同时为0,所以mWO,〃W0.

i)若m>0,则由①得u<0,设+4+1),则如)在(0,+oo)

.4

上是增函数。又./(m)=/(・〃)，所以m=-w,所以3x-l+2x-3=0,所以x=—.

4

ii)若m<0,且/?>0o同理有m+〃=0尸不，但与m<0矛盾。

4

综上，方程有唯一实数解尸不

3.配方法。

例7(经典例题)求函数1+72x4-1的值域。

【解】y=x++1=；[2r+l+2J2x+1+1]-1

=-(72X+1+1)-1>--1=--.

222

当x=-1•时，y取最小值-；，所以函数值域是[-；,+8)。

4.换元法。

例8(经典例题)求函数

产(VT+X++2)(71-x2+1)jC[0,1]的值域。

【解】令J1+X+"-x=u,因为XG[0,1],所以2<U2=2+2A/1-X2<4,

所以后MuK,所以避上2g"1W4W2,所以

222

产”,u?G[桓+2,8]»

所以该函数值域为[2+痣，8]。

5.判别式法。

Y2——3Y+4

例9求函数尸2的值域。

【解】由函数解析式得Ol)x2+3e+l)x+4y_4=0.①

当yH1时，①式是关于X的方程有实根。

所以△=9/1)2-16"DK),解得一9W1.

7

又当尸1时，存在尸0使解析式成立，

所以函数值域为7]。

6.关于反函数。

例10(10年宁夏)若函数y=/(x)定义域、值域均为R,且存在反

函数。若人》)在G8,+00)上递增，求证：产/(X)在(•<»,+8)上也是增函

数。

【证明】设乃<》2,且为=fl(Xl),y2=yl(X2)，则X\=j[y\),应或⑸，若乃比，

则因为./U)在(-8,+8)上递增，所以片头2与假设矛盾，所以力勺2。

即产/(X)在(•<»,+8)递增。

j14Y4-1

例ii(经典例题)设函数—尸，------，解方程：於)=/(外.

V3x+2

2I

【解】首先大X)定义域为(-00,—)U[—,+00);其次，设町,必

34

是定义域内变量，且

24x,+14x,+15(x,-x,)

X1<X2<--；--------------------——=-------———-——>0,

33X24-23X14-2(3X2+2)(3.+2)

21

所以人X)在(-00,.-)上递增，同理坊)在[・一，+00)上递增。

34

在方程小)歹(外中，记上)=/*U)=y，则.庄0,又由/匕)=》得加)=%，

所以xNO,所以，+8).

4

若xWy,设则")=》勺口尸工，矛盾。

同理若也可得出矛盾。而以x=y.

即/(x)=x，化简得3X5+2X4-4X-1=0,

BP(X-1)(3X4+5X3+5X2+5X+1)=0,

因为x>0,所以3x4+5x3+5x2+5.r+1>0,所以x=1.

7.待定系数法。

例1(经典例题)设方程?4+1=0的两根是明仇求满足

加尸Kp尸切1)=1的二次函数兀0.

【解】设段)=一+以乜(〃w0),

则由已知次a)=|V(B尸a相减并整理得(a-p)[(a+p)a+6+l]=0,

因为方程f-x+l=O中Aw0,

所以a。p,所以(a+B)a+b+l=O.

又a+B=l,所以a+加4=0.

又因为/(l)=6f+/H-C=l,

所以c-l=l,所以c=2.

又b=-(a+1),所以J(x)=ax2-(a+l)x+2.

再由/(a)=P得<2a2-(67+l)a+2=p,

所以aa2-aa+2=a+p=1,所以aa2-aa+1=0.

即q(a2・a+l)+l・(7=0,即1・〃=0,

所以0=1,

所以./(x)=x2-2x+2.

8.方程的思想

例2(10.全国)已知於尸/w满足4g(1方1,・1y2)05,求人3)

的取值范围。

【解】因为"4勺(1户如区1,

所以

l<：Al)=c-a<4.

立85

又-1<^2)=4a<<5,/3)=-X2)-1),

5〃85

所以3乂(・1)+~x5十—x4,

所以・1y3)020.

9.利用二次函数的性质。

例3(经典例题)已知二次函数/(X尸qf+bx+cQAceR,4。0),若

方程/(》)=、无实根，求证：方程/(/(x))=x也无实根。

【证明】若内0,因为<x)=x无实根，所以二次函数g(x)=/a)5图象

与轴无公共点且开口向上，所以对任意的即兀

xxeR?/(x)-x>0r)>x,

从而服))的)。

所以Mx))>x>所以方程Mx))=x无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

10.利用二次函数表达式解题。

例4(经典例题)设二次函数/(幻=-+云+出>0),方程危尸x的

两根内,应满足

a

(I)当XG(O,X])时，求证：x勺(分5；

(II)设函数兀0的图象关于x=xo对称，求证：Xo<y.

【证明】因为Xi,x2是方程7(x)-x=0的两根，所以Xx)-x=a(x・xi)(x・x2)，

即yfx)=a(x・x】)(%・x2)+'.

(I)当x£(0,Xi)时，x-X|<0,x-X2<0,a>0,所以

其次/(X)・X]=(X・Xi)[4(X・X2)+l]=a(X・Xl)[x-X2+1]<0，所以7(X)VX].

a

综上，X</(X)<Xj.

(II)人工)=4(工-修)(工・工2)+尸办2+[1-。(工1+、2)卜+公1%2,

由Z4(再+、2)—1M+、21

2a22a

所以x0--=-........-=-fx2<0,

°222a2<2a)

所以x。<

11.构造二次函数解题。

例5(经典例题)已知关于X的方程(ox+l尸=4论尸),4>1,求证:

方程的正根比1小，负根比-1大。

【证明】方程化为2/x2+2ax+1-a2=0.

构造外)=2。42+2。"1-a2,

A1)=(«+1)2>0,/-1)=(a-1)2>0,,/(0)=1-a2<0,即△>(),

所以兀r)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

12.定义在区间上的二次函数的最值。

丫4+/।5

例6(经典例题)当x取何值时，函数尸一\——厂取最小值？

'，+1)2

求出这个最小值。

【解】y=l-----1----/--，令I-=u,贝U0<u<l«

x2+1(x2+l)2x2+1

、2

1

2+里〉2

y=5u-u+l=5U-------

5

1072020

119

且当〃=历即x=±3时，卅片痴

例7设变量x满足x2+hx<-x[h<-l),并且x2+bx的最小值是-1,

求b的值。

【解】由f+6烂Rk1),得0<x<-(/?+1).

7)/)2i

i)-—£-(6+1)»即bg・2时，f+bx的最小值为——=——,所

以居=2,所以〃=±J5(舍去)。

ii)-|>-(6+l),即b>・2时，d+版在［o,・(什1)］上是减函数，

13

所以f+bx的最小值为6+1乃+1=--力=--.

22

3

综上，b=--.

2

13.一元二次不等式问题的解法。

例8(经典例题)已知不等式组,“-x+a~a<①②的整

x+2a>1

数解恰好有两个，求。的取值范围。

【解】因为方程x2-x+a-a2=0的两根为xi=a,X2=l-a,

若把0,则XiK.①的解集为由②得x>l-2a

因为1-2介1孙所以把0,所以不等式组无解。

若°>0,i)当0<q<一时，X|〈X2,①的解集为

2

因为所以不等式组无整数解。

ii)当o=,时，a=l-a,①无解。

2

iii)当时，a>l-a,由②得x>l-2a,

2

所以不等式组的解集为

又不等式组的整数解恰有2个，

所以a-(l-a)>l且a-(l-a)<3,

所以1<把2,并且当IqK时，不等式组恰有两个整数解0,1。

综上，a的取值范围是\<a<2.

14.充分性与必要性。

例9(经典例题)设定数4B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)>0①

对一切实数x,y,z都成立，问4B,C应满足怎样的条件？(要求

写出充分必要条件，而且限定用只涉及4B,C的等式或不等式表

示条件)

【解】充要条件为/，B,C>0KA^+C^^AB+BC+CA).

先证必要性，①可改写为/(xM2-(B-/-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2K)②

若4=0,则由②对一切x,y^GR成立,则只有B=C,再由6知B=C=Q,

若NH0,则因为②恒成立，所以/X),/\=(B-A-CT(y-zy-4AC(y-z)2<0

恒成立，所以(8-4。2_4/任0,BPA^+C^^AB+BC+CA)

同理有8N0,Q0,所以必要性成立。

再证充分性，若/NO,B>0,。。且

1)若4=0,则由得(8©2式)，所以8=C,所以△=(),所

以②成立，①成立。

2)若/>0,则由③知△4),所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

15.常用结论。

■■若。,6GR,同他国。+6区间+回.——绝对值不等式

【证明】因为-同&W|a|,-|b|W6W|6|,所以-(|。|+|6|)%+6'同+|仇

所以|a+*同+向(注：若m>0,贝IJ-mWxSm等价于恸Wm).

又团=|°+6-切伞+切+卜凯

即同-|6留。+外综上定理1得证。

若R,贝！Ja2+b2>2ah；若xyGR,则x+y>2y［xy.

(证略)

注定理2可以推广到〃个正数的情况，在不等式证明一章中详细

论证。

第三章、基本初等函数

1.指数函数及其性质：形如产a'S>O,q。1)的函数叫做指数函数，

其定义域为R,值域为(0,+℃),当0<亦1时，产"是减函数，当

时，产，为增函数，它的图象恒过定点(0,1)。

2.分数指数塞：=后,。了="",优"=一,。:=—=。

3.对数函数及其性质：形如尸/og„r(a>0,a。1)的函数叫做对数函数,

其定义域为(0,+oo),值域为R,图象过定点(1,0)。当0<a〈l,

产/ogM为减函数，当a>l时，y=/og/为增函数。

4.对数的性质(M>0,N>0)；

1)"=M<=>x=/ogaM(a>0,。W1)；

2)loga(MN)=logaM+logaN；

M

3)loga(----)=logaM-logaN：4)logaM〃=z?!ogaM(万能怛等式)

N

saM

5)loga=—logaM；6)a°=M;7)logab='(。也c>0,a,

nlog,,a

cW1).

5.函数1+q(a>0)的单调递增区间是(—8,-⑷和［JZ,+oo),

单调递减区间为「我,0卜口(0,五］。(请同学自己用定义证明)

6.连续函数的性质：若o<瓦加)在［a,6］上连续，且加)处)<0,则

./(x)=0在(a,6)上至少有一个实根。

1.构造函数解题。

例1已知a,6,1),求证：ah+bc+ca+\>0.

【证明】设小尸3+c)x+bc+l1)),则是关于x的一次函

数。

所以要证原不等式成立，只需证人-1)>0且次1)>0(因为-lv"l).

因为4-1)=・S+c)+bc+1=(1-Z>)(1-c)>0,

/(1)=b+c+bc+a=(1+b)［1+c)>0,

所以/(<7)>0,即ab+hc+ca-^X>0.

例2(06)(柯西不等式)若外,夕2,...,即是不全为0的实数，仇，

历,…也eR,则(£/).(汽环)这F等号当且仅当

/=1/=!/=1

存在〃ER,使0=,i=l,2,…，〃时成立。

【证明】令义X尸（£a；

X2-2(Zai4)x+Z昭=Z(6》-)2，

i=\/=1

因为且对任意xGRj（x）K）,

所以△=4(24〃)-4(工a；)C^b；)<0.

展开得（、>；）（工b：以）2。

等号成立等价于外）=0有实根，即存在〃，使ai=/Libj,z=l,2,...,A7o

***注释：根据许多行巾的2011年高考大纲，柯西不等式已经淡化，

同学只需大致了解就即可，不需深入做题。

例3（10.全国卷）设x,yGR*,x4尸c,c为常数且cd（0,2],求

X~\—的最小值。

X

lxy

【解】u=x+一

Xy%

=xy+—+2.

孙

令xy=t,贝（J0</=xy<a+'）=—，设火。=什-,0</<—.

44t4

2/2~

因为0<丝2,所以0〈一口，所以刖在0,—上单调递减。

4I4」

c2c24c24

所以川）而,//丁尸二+r，所以应二+二+2.

44c4c

cc24

当中士时，等号成立.所以u的最小值为±-+三+2.

24c2

2.指数和对数的运算技巧。

例4（经典例题）设p,qeR.且满足/og9P=/ogi20=/咱6俗+4），求包

P

的值。

【解】令log9P=Iogi2q=Iogi6（p+q）=t，贝I」p=9'，^=12',p+q=16'，

所以9'+12'=16',即1+（-1=|-|.

记X=旦=U-=f—,则i+x=f,解得x=[±炳

P9)⑴2

qq1±V5

又又>0,所以且=——.

P2

例5（经典例题）对于正整数a,6,四％土）和实数x,y,z,w,若

。'="=，=70”,5.—H---F—=—,求证：a+b=c.

xyzw

【证明】由储=//=/=70"'取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlglO.

iJ,111,

所以一lga=—/g70,—lgb=—/g70,—lgc=—lg70,

wxwywz

相加得'（/ga+/g47gc户（工+1+工/g70,由题设

wyxy

1111

—+—+—=——,

xyzw

所以/ga+/gb+/gc=/g70,所以lgabc=lg70.

所以Hc=70=2x5x7.

若67=1,则因为x/g（T=w/g70,所以w=0与题设矛盾，所以心1.

又Hbgc,且a,b,。为70的正约数，所以只有片2,6=5,c=7.

所以a+h=c.

例6（经典例题）已知一（1,acW1,1,cW1.且

logaX+logc^llogbX,求证（?=（ac、"g"b.

【证明】山题设/ogM+/ogcJ产2/%小，化为以。为底的对数，得

logax21ogt/x

logt/x+——=----—,

log/log,b

22/o8ah

因为ac>0,acW1,所以logab=logacc,所以c=（ac）.

注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥

梁。

3.指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求

解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7（经典例题）解方程：3、+4'+5*=6;

【解】方程可化为（3）+（|）+（*）=1。设.危尸

（耳）+（与］+（%）'则/（X）在（-8,+8）上是减函数，因为人3尸1,

所以方程只有一个解尸3.

x'+y=y12

例8（经典例题）解方程组：(其中X/GR+).

、产'=X3

(x+y)lgx=121gy

【解】两边取对数，则原方程组可化为《

(x+y)lgy=3g/x

①②

把①代入②得(x+y)2/gx=36/gx,所以[(x+y)2-36]/gx=0.

由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x,y£R*)得x+y=6,

代入①得/gx=2助，即％=/,所以丁+/6=0.

又y>0,所以尸2,x=4.

x4

所以方程组的解为2

%=2

例9已知心0,。W1,试求使方程/og/x.成尸/隔2（工2.42）有解的k的

取值范围。

【解】由对数性质知，原方程的解X应满足

(x_ak)"=_Q~

<x-ak>0.①②③

x2-a2>0

若①、②同时成立，则③必成立，

,,__(x—ak)~=x2—a~

故只需解/7

x-ak>0

由①可得2kx=a(\+*),④

当仁0时，④无解；当上H0时，④的解是k硬土丝，代入②得

若枝0,则好>1,所以左<-1：若k>0,则好<1,所以O〈M1.

综上，当」U(0,)时,原方程有解。

《2011年高考数学总复习系列》—高中数学必修二

第一章立体几何初步

-、基础知识(理解去记)

(-)空间几何体的结构特征

(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.

围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公

共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把•个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋

转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱，锥，台，球的结构特征

1.棱柱

1.1棱柱一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相

邻两个四边形的公共边都互相平行，山这些面所围成的几何体叫做

棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正

棱柱)的关系：陋

①

底面

侧棱

f斜棱柱

棱柱，,，地现您T正棱柱

棱晅,口：底血>直棱柱，

其他棱柱…

②|四棱柱|底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面

直平行六面体|底面为矩形

--------►

长方体I底面为正方形正四棱柱侧棱与，底面边长相

等丽祢一~--------►

1.3棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

④直棱柱的侧里长与高相等,侧面与对角面是矩形。

补充知识点长方体的性质：

①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条