方法-高中数学方法、技能

目录

集合与简易遂聘

1.集合元素的三要素

2.遇到空集你该注意什么？

3.计算子集个教

4.集合的运算性质

5.识别集合的方法

6.集合的几何形式

7复合命题真假的判断

8四种命题及其真假

9充要条件的判别及应用

10一元一次不等式及斛法

11一元二次方程的实教斛

12二次方程根的分布

13三个二次问题

的教

1映射的概念

2.函教的柩I念

3.函教的三要素

4国数的定义域

5的教的值域

6分段的教

7的教解析式

8反函教

9国教的奇偶性

10国数的单调性

11函数的对称性

12函数的图像变换

13的教周期性

14指教式、对教式

15指教值、对数值比较大小

16国数应用

17抽象的教

教列

1教列的概念

2等差教列概念

3等差数列的性质

4等比数列的概念

5等比数列的性质

6教列通项的求法

7教列求和的常用方法

8“分期付款”、“森林木材”应用题斛

三角的教

1角的概念推广

2象限角

3终边相同的角

4瓠公^式।

5任意角的三角函数定义

6三角函数线

7特殊角的三角函教值

8同角三角四教关系式

9三角函数诱导公式

10三角的教和差角公式

11三角为教式的化简、求值、证明

12辅助角公式的应用

13正、余力函教的图像

14正、余孩函教的性质

15正弦型函数的图像和性质

16正切国教的图像和性质

17三角形中的公式

18反三角的教

19求角的方法

向量

1向量的概,念

2向量的表示

3平面向量基本定理

4卖数与向量相乘

5向量的数量积

6向量的运算

7向量的运算律

8向量平行的条件

9向量垂直的条件

10线段的定比分点

11平移公会

12向量的,帝用结论

13向量的应用

不等式

1不等式性质

2不等式的大＜1、比较

3用不等式求最值

4不等式常用结论

5不等式的证明

6一元嵩次不等式

7分式।不等式।

8绝对值不等式

9告参不等式

10绝对值不等式性质

11不等式恒成立

直线和圆

1直线倾斜角和斜率

2直线方程

3直线方程设置技巧

4点到直线距离和平行直线距寓

5两直线住置关东

6利角和夹角公式

7对称问题

8线性规划问题

9圆的方程

10直线和圆的住置关系

11圆与圆的住置关系

12圆的切线与弦长

圆雒曲线

1圆锥曲线的定义

2圆锥曲线的标准方程

3圆锥曲线焦点住置判断

4圆锥曲线的几何性质

5圆锥曲线和直线的住置关系

6圆锥曲线的焦半径

7焦点三角形

8抛物线与焦点令

9弦长公式

10中点弦问题

11圆锥曲线中的相关结论

12轨迹方程

13斛析几何与向量

点、线、面住置关系

1公理与推企

2直观图画法

3空间直线住置关系

4异面直线的判定

5异面直线所成的角

6异面直线的距离

7两直线平行的判定

8两直线垂直的判定

9直线与平面平行的判定

10直线与平面垂直的判定

11直线与平面所成的角

12两平面平行的判定

13二面角

14两平面垂直的判定

15直线与平面的住置关劣

16三垂线定理及其逆定理

17二面角

18空间距离

19多面体

20棱柱

21平行六面体

22棱锥的性质

23侧面积

24体积

25正多面体

26球的载j面的性质

27球的体积与表面积

28立体几何问题求解策略

29立体几何中的相关结论

排列、组合、二项式定理

1排列数与组合教

2求斛排列组合问题的依据

3求斛排列组合问题的方法

4分组问题求解

5二项式定理

6二项式条数的性质

7赋值法求斛

8系教最大项求法

9二项式定理的应用

概率

1隧机事件的概率

2等可能事件的概率

3互斥事件的概率

4对立事件的概率

5独立事件重复试验

抽样方法

1抽样方法

2总体分布的估计

3样本平均教

4样本方差

导教

1导教背景

2导教概念

3用定义求导教

4导教的几何意义

5导数的运算法则

6多项式函数的单调性

7函数的极值

8国教的最值

9导教的应用

10函教最值的求法

11不等等证明

12在教列上的应用

13在解析几何上的应用

14在实际问题中的应用

集合

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合

问题时，要注意集合中的元素不能重复。

举例如下：

(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=S+Ra€F力€0),若

尸={0,2,5),0={1,2,6},则p+Q中的元素有个。(答：8)

(2)设0={(7)1六民"&,j=((”)|2”〉+附>0),

E={(")M+yfM0),那么点尸(23)CAnG*B)的充要条件是(答:

m>-1,«<5).

【提示】作出点P(2,3),上下移动直线y=2x,y=-x,使其符合条件，确

定满足条件的孙n的范围

(3)非空集合Q2345),且满足“若aeS,则6-aeS"，这样的S

共有____个(答：7)

2.遇到=0时，你是否注意到“极端”情况：力=0或8=0；同样

当jCR时，你是否忘记力=0的情形？(因为0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集。)

举例如下：集合』=团。"1=0),3={x*_3x+2=0),旦儿|B=B,

a=0,1i

则实数a=.(答：2)

【提示】=6n4q5,分a=O,aw0求解

3.对于含有%个元素的有限集合般，其子集、真子集、非空子集、非空真

子集的个数依次为2"，2*-1,2T2"-20

举例如下：

满足2年"Q[1,2,3,4,5）集合乂有个。（答：7）

4.集合的运算性质：（集合运算的依据和简便方法）

A<=>BaA.4nB=BC=>BQA.

^AcB^CvB^CvA.（4）ACC；B=0=A=8；

（5）CUADB=UOA=B；（6）%G4nB）=CV<UQE；

（7）Cu（A{jB）=CvAnCuB

举例如下：如设全集0={L23,4,5）,若⑵，G"）2={4},

（CVA）A（0^5）=[1,5）则4=,B=.（答：/=QB,8={2,4}）

5.研究集合问题，定要理解集合的意义：集合的代表元的形式及代表元

满足的条件

如：G|y=lgx）------函数的定义域；加丁=国名——函数的值域；

{（冗力,=总句-----函数图象上的点构成的点集。

举例如下：

（1）设集合M==豁N={川）=一爪€股），则股口发=_

（答：[4,4<o））；

(2)设集合胫=0|£=(1,2)+双3,4),26号，N=0|Z=(2,5+双4.5)

aeR）,则河口凶=_____（答：（（-2-2）））返回

1+3/1=24-4A

【提示】=>2=-1,解出。

2+44=3+54

6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘

了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂

的有关问题。

举例如下：

已知函数“X）=4__2»-2）x-2/-p+1在区间上至少存在一个

（-3-）

实数c,使/©>°,求实数P的取值范围。（答：’2）

【提示】求出〃x）>0在区间［一1』上不成立的P的范围，求补集

7.复合命题真假的判断。

“或命题”的真假特点：“一真即真，要假全假”；

“且命题”的真假特点：“•假即假，要真全真”；

“非命题”的真假特点：“真假相反”。

“或的非”等于“非的且”

“且的非”等于“非的或”

（应用以上结论可将复合命题真假的判断转化为简单命题的判断）

举例如下：在下列说法中：

⑴“P月«”为真是“P或4”为真的充分不必要条件;

⑵“P月5”为假是或，”为真的充分不必要条件；

⑶或q”为真是“非尹”为假的必要不充分条件；

⑷‘'非p"为真是且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是

（答：⑴，⑶）

7.四种命题及其相互关系。构造命题的方法及真假判断

若原命题是“若p则q”，

则逆命题为“若q则P”：

否命题为"若一'P则「q"；

逆否命题为“若「q则「P”。返回

提醒：

(1)互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；

逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；

(2)在写出一个含有“或”、“月一”命题的否命题时，要注意“非或即月

非且即或”；

(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和

结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；

(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系

“A=B=R=A”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

(5)哪些命题宜用反证法？如(1)“在AABC中，若NC=90",则/A、Z

B都是锐角”的否命题为(答：在中，若则/A乙5

TT—2

/(%)=(24--~~,a>1

不都是锐角)；(2)已知函数x+1,证明方程没有负

数根。

9.充要条件。关键是分清条件和结论：由条件可推出结论，条件是结论成立

的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解

释，若jCB,则A是B的充分条件；若8则A是B的必要条件；若八=8,

则A是B的充要条件。

比如：(1)给出下列命题：①实数。=0是直线数-2y=1与2ax-21y=3平

行的充要条件；②若氏86氏劭是同+可=匕+可成立的充要条件；③已知

“e穴,若》=0,则x=0或丁=0”的逆否命题是“若xw0或Vn0贝y"0，，；

④“若a和力都是偶数，贝a+5是偶数”的否命题是假命题。其中正确命题的

序号是(答：①④)；返回

(2)设命题p：|4彳3区1；命题q：x?-(2a+l)x+a(a+l)X0。若■)p是

[0,^]

」q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是(答：2)

b

X>一

10.一元一次不等式的解法：先化为ax>8的形式，若a>0,则口；若

b

x<一

则a；若。=°,则当小<°时;xeR；当小之°时，xe0o

如已知关于x的不等式(a+5)x+(2a-%)<0的解集为18,则关于x

的不等式3-劭)x+9-2a)>0的解集为(答：Uk<-3))

11.一元二次不等式的解要联系图象求解。尤其当A=0和A<0时的解集你

会正确表示吗？设。>0,再，电是方程#+Bx+c=0的两实根，且再则其

解集如下表：

ax2+bx+c>0ax2+8x+c1之0ax2+bx+c<0ax2+br+c<0

A>0{x|xMxi或

{x|x<*i或(zlXj<X<X2)

国再<X<%2)

xy)「之巧}

A=0

R伞

2.a

L<0R

R夕

如解关于X的不等式：-―（&+f+1<0。（答：当。=0时，X>1.当a<0

X<—1<x<—

时，X>1或a；当0<a〈l时，a；当a=l时，xC0；当a>l时，

-<x<l

a)返回

12.对于方程坛+c=0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a

是否为0,若4W0,则一定有A=〃-4acN0。

对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同

样的情形？

比如：（1）（a—2）：+2（a-2）x-1<0对一切NJ恒成立，贝旭的取值范

围是（答：Q2］）,

【提示】若。一2=0,则有-1<0成立，所以a=2正确

若。=2/0,则须有1”2<0,可解出1<“<2

A<0

（2）好x的方程/5）=上有解的条件是什么？（答：keD,^D为了⑺

的值域），如在‘万内有两个不等的实根满足等式cos2x+/sin2x"+l,贝犊

数化的范围是.（答：［°」））

13.一元二次方程根的分布理论。

方程/@）="2+以+°=03>0）在（匕欣）上有两根、在（阳⑷上有两根、在

（一8,曾和（匕也）上各有•.根的充要条件分别是什么？

,A>0

A>0〃m)>0

</W>o/(w)>0

b

m<--<n

2a/(^)<0)o

根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间［阳川讨论方程/(乃=°有

实数解的情况,可先利用在开区间(也㈤上实根分布的情况，得出结果，再令X=K

和工=切检查端点的情况.返回

如实系数方程,+公+23=0的一根大于o且小于1,另•根大于1且小于2,

b-21

则的取值范围是(答：(4,1))

【提示】设/(X)=x2+QX+2Z?,根据题意

作出示意图：

7(0)>0b>0

可得"(1)<0A1+。+28<0作

、〃2)>04+2a+2b〉0

可行域,在可行域中取点Q,河，求出力与点(1,2)连线的斜率范围

14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系：

二次方程“2+桁+C=0的两个根即为二次不等式"2+"+c>0(<0)的解

集的端点值，也是二次函数^=数2+"+’的图象与工轴的交点的横坐标。

r>ax+l1

比如：⑴不等式5的解集是(4,%则a=(答：.)；

331

【提示】G>ax+—=2=4〃+—=a=一

228

(2)若关于X的不等式ax2+5x+c<0的解集为(-8，MU(4+8),其中

切<0,则关于X的不等式C--bx+a<0的解集为(答：

(-co--

mn).

b

/%+〃=-

【提示】由条件可得〃且Q<0=>c<0返回

C

inn=一

a

2»八2匕。八2I11I1八

CX~—bx+Q<0x~—XH—>0x~+—I—XH--->0

cc\mn)mn

x<---->—

mn

（3）不等式3--2版+1W0对xH-1,2］恒成立，则实数力的取值范围是

_（答：0）

函教

1.映射，：A-B的概念。

在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯-；⑵B中元素不一

定都有原象，且原象不定唯o

比如：（1）设了：比♦曾是集合般到葡的映射，下列说法正确的是

A、肠中每一个元素在方中必有象

B、双■中每一个元素在胫中必有原象

C、儿中每一个元素在股中的原象是唯一的

D、曾是肠中所有元素的象的集合（答：A）；

（2）点3力）在映射了的作用下的象是.一九a+&）,则在/作用下点3D的

原象为点（答：（2,-1））；

（3）若j=Q234）,B=（a,b,c）。，瓦则5到6的映射有个

8到幺的映射有____个；4到B的函数有个（答：81,64,81）；返回

（4）设集合腹=｛7,0,9,4=。23,4,5）,映射满足条件“对任

意的xeM,x+/（x）是奇数”，这样的映射了有一个（答：12）；

（5）设fXT，是集合人到集合B的映射，若1＞口，2｝,则兑PlB一定是

（答：0或｛1｝）。

2.函数了：A―B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！

据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与V轴垂线的公共点可能

没有，也可能有任意个。

比如：（1）已知函数,（X）,xeF,那么集合

｛（"）|1y=/（x）,xeF｝n｛（"）|x=D中所含元素的个数有（答:o或1）.

（2）若函数'-5''+的定义域、值域都是闭区间［2,23，

则3=.（答：2）

3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值

域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同

时，它们一定为同一函数。

如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数

为“天一函数”，那么解析式为丁=,，值域为｛4,1｝的“天一函数”共有—

个（答：9）

4.求函数定义域的常见题型和方法（写出条件组，解出自变量的范围）：

（1）根据解析式确定：返回

偶次根式被开方式大于等于零，分母不能为零，对数式中真式大于零，

在三角形中。〈工〈开，最大角3,最小角3等。

_如4-x）

y=-------

比如：①函数1g"）的定义域是_（答：（0,2）U（2,3）U（3,4））；

一产+7小

②若函数日+4H+3的定义域为R,贝酶e（答：L"）；

③函数」（x）的定义域是封，b>-a>0,则函数尸（x）=/（x）+/（-x）的定

义域是（答：口「幻）；

④设函数〃x）=lg（#+2x+l）,

I.若/（X）的定义域是R,求实数a的取值范围；

II.若/（X）的值域是R,求实数”的取值范围（答：I.。>1；H.04。工1）

（2）应用题中根据变量的意义确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：

若已知了（X）的定义域为［。，切，其复合函数/［g。）］的定义域由不等式

aMg（x）以解出即可;

若已知力g（x）］的定义域为［。，⑸，求」（x）的定义域，相当于当时，求

12一

g（x）的值域（即了㈤的定义域）。比如：①若函数T=/（x）的定义域为L2」，

则八/2月的定义域为（答：klM'xC｝）；返回

②若函数〃/+1）的定义域为［一2，1）,则函数/。）的定义域为（答:

［1,5］）.

5.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法：先将二次函数配方去掉一个自变量符号，再画图观察最值点

比如：①求函数y=x2-2x+5,xe［-l,2］的值域（答：［4,8］）；

②当xe（0,2］时函数/（X）=/+4（a+l）x-3在x=2时取得最大值,则。的

a>-l

取值范围是_（答：2）；

③已知〃x）=3『2VxM4）的图象过点（2J）,则斤（力=［广】（切2-尸（一）

的值域为（答：［2,5］）

（2）换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其

函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，

17

比如：①丁=2训2工一3必升一1的值域为_____（答：一‘百」）；

②y=2x+l+石二i的值域为_____（答：（3.-Ko））（令正二i=£,00。运

用换元法时，要特别要注意新元Z的范围）；

,、［-1=+发］,

③y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为____（答：2）；返回

④y=x+4+j9—/的值域为（答：［L30+4］）；

（3）函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有

界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数

2sin^-l3*2sin6—l1,,3、

y=---------y=-----y---------zf-oo,—Joo,—J

l+sine,1+3"1+cos。的值域（答：2、（0,1）、2）.

（4）单调性法：利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数

的单调性求值域

八C、

y=X-—1（1<x<9）y-si.n2xd-------9-,1/7

如求x,1+sinx,y=2+侬3J*-1的值域为

（5）数形结合法：函数解析式具有明显的儿何意义，如两点的距离、直线

斜率、等等，

比如：①已知点在圆，+/=1上，求壬及丁一2工的取值范围

【提示】用斜率、截距求解（答：3'3）、［-而，/］）；

②求函数y=J=_2）2+J（X+8）2的值域

【提示】用绝对值的几何意义求解（答："°，虫功）；

③求函数丁=次-6X+13+J-+4x+5及丁=-6二+13-旧+4x+5的

值域

【提示】用距离求解（答：［.，侪°）、（一4,病）

注意：求两点距离之和时，耍将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求

两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。

（6）判别式法：对分式函数（分子或分母中有•个是二次）都可通用，但

这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过

部分分式后，再利用均值不等式：

b

y=T

①左+/型，可直接用不等式性质，返回

33

如求'一二”的值域（答:(0.-]

)

bx

y=-------

②x?+wx+〃型，先化简，再用均值不等式,

X(-吟)Jx+2

=

yTy------

如（1）求1+/的值域（答:(2)求函数x+3的值域

(答:呜)

X2+加父+短

y-5

③型，通常用判别式法；

,+8X4-«

y=log,--------

如已知函数一5+1的定义域为R,值域为[0,2],求常数…的

值（答：制=%=5）

X2+冽父+%’

y=----------

④MX+n型，可用判别式法或均值不等式法，

/+X+1

如求X+1的值域（答：（-8，TU[L—））返回

（7）不等式法一一利用基本不等式。+/2必（&g内）求函数的最值，其

题型特征解析式是和式时耍求积为定值，解析式是积时耍求和为定值，不过有时

须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

如设x,/M2，y成等差数列，工自也J成等比数列，则8也的取值范围

是o（答：（-8,0]U[4,4<o））。

（8）导数法-----般适用于高次多项式函数。

如求函数〃乃=2/+4,-40x,xe[-3,3]的最小值。（答：_48）

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）

函数的最值与值域之间有何关系？

6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用儿个不

同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值

/（瓦）时，一定首先要判断勺属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；

分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

比如：

|（x+l）2.（x＜l）

r--

（1）设函数14-a-1.（出1）,则使得了。）之1的自变量x的取值范围

是（答：（~8,-2]U[0,10]）；

1(x>0)

/(x)=<

-1(x<0)则不等式，+（%+2）力＞+2）.5的解集是

(2)已知

（一吟）

_(答:

7.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法一一已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：

一般式："x）="+^+c；顶点式：/（x）=a（x-㈤2+%零点式：

/（x）=a（x-XiXx-X2）,要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达

形式）。

如已知了（X）为二次函数，^/（x-2）=/（-x-2）＞且f（0）=1,图象在x轴上

10

/(%)=—x2+2x4-1

截得的线段长为2五，求」（x）的解析式。(答:2)

（2）代换（配凑）法一一已知形如『也（X））的表达式，求了⑸的表达式。比

如：返回

①已知〃l-c°sx）=sin?X,求/（，）的解析式（答：

/（x2）=-x4+2?,xe[-72,72]）,

J2]

②若‘'x-'+/,则函数/@-1）=（答：X2-2X+3）.

③若函数/X）是定义在R上的奇函数，且当工€（0,河）时，/（x）=x（l+,）,

那么当xe（-8,0）时，/W=（答：武1-私））。这里需值得注意的是

所求解析式的定义域的等价性，即/（X）的定义域应是g0）的值域。

（3）方程的思想一一已知条件是含有,（X）及另外一个函数的等式，可抓住

等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。

比如：

2

①已知/⑸+2/（f）=3x-2,求"x）的解析式（答：“为）=一3'-5）；

1

②已知"X）是奇函数，gO）是偶函数，且/⑶+g（x）==l,则〃x）=_（答:

X

/T）。

8.反函数：

（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个V值，都有唯一的x

值与之对应，故单调函数•定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有

/（x）=°（xe{0}）有反函数；周期函数一定不存在反函数。

如函数V=--2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是卜卜（一④小

B、。42,+00）5^[1,2]口、。e（-8,1]uP用）（答：D）返回

（2）求反函数的步骤：①反求x；②互换x、y；③注明反函数的定义域（原

来函数的值域）。注意函数『=/6+1）的反函数不是y=/Yx+i）,而是

“*）=（上当2（x>0）...£-1,、1（x）=~r=—

如设。求了⑴的反函数了⑶（答：Vx-1）.

（3）反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。

如单调递增函数/（X）满足条件/（"+3）=x,其中aWO,若」（x）的反函数

-14'

⑶的定义域为L'a」，则了⑺的定义域是（答：［4,7］）。

②函数y=/（x）的图象与其反函数丁=广1力的图象关于直线1y=x对称，注

意函数y=/a）的图象与x=/"⑶）的图象相同。返回

如（1）已知函数丁=/（x）的图象过点（1,1）,那么“4-X）的反函数的图象一

//、2x4-3

J（x）=/、

定经过点（答：（1,3））；（2）已知函数X-1,若函数y=g（x）

7

与y=」"（x+i）的图象关于直线y=x对称，求g0）的值（答：5）；

③j@=b=>广@=a。

4

如⑴已知函数崛七+乃，则方程尸（机4的解x=_____（答：1）.

（2）设函数f（x）的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数广1⑶，A4）=0,

则尸（4）=_（答：_2）

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。

如已知了⑺是天上的增函数，点皿T1）乃（L3）在它的图象上，尸（x）是它的

反函数，那么不等式f0°&到＜1的解集为（答：（2,8））；

⑤设了㈤的定义域为A,值域为B,则有九/T（x）】=x（xeB）,尸"（x）]=x

（D,但九尸⑺卜广廿（刈。

9.函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此

确定函数的奇偶性时.，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

如若函数/（x）=2sin（3x+6）,xe[2a-5”,3闾为奇函数,其中央（0,2封,

则的值是（答：0）；

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化

简，再判断其奇偶性）：返回

①定义法：

^_|Z4|-4

如判断函数后下的奇偶性—（答：奇函数）。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：/（X）±/（-外=°或•/（©（"X）。0）。

/（X）=x（—1--）

如判断2y-12的奇偶性（答：偶函数）

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于V轴对称。

（3）函数奇偶性的性质:

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函

数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。

③若/(X)为偶函数，ijiij/(-^=/(x)=/(ki)o

如若定义在R上的偶函数/(x)在(-8,0)上是减函数，且=2,则不等式

/(log1x)>2

s的解集为o(答：(°，05)U(2,4OO))

④若奇函数"x)定义域中含有0,则必有八0)=°。故"°)=°是/C)为奇

函数的既不充分也不必要条件。

//、(2*2y+以一2

f(X)=----------------

如若2+1为奇函数，则实数a=__(答：1)。

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与

一个偶函数的和(或差)”。

-/⑶+/(-X)

如设〃X)是定义域为R的任一函数，2,

G(i)…)

2°

①判断F(x)与G(x)的奇偶性；②若将函数/。)=国(10，+1),表示成一个奇

函数g。)和一个偶函数"(X)之和，则g(%)=(答：①尸(x)为偶函数，G(x)

为奇函数；②g")=5)

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。返回

⑦既奇又偶函数有无穷多个（/（x）=°,定义域是关于原点对称的任意一个

数集）

10.函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：

定义法（取值一一作差一一变形一一定号）、

导数法（在区间3M内，若总有尸（》>°,则"X）为增函数；反之，若"x）

在区间（。，分内为增函数，则/'（X）20,请注意两者的区别所在。

如已知函数"幻=/一"在区间"地上是增函数，则。的取值范围是

—（答：（°，引））；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意

y-ax+-（a>0b>Q）型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为

9一g],庐的）[_g,0）©

,减区间为o

如（1）若函数/"）=/+23-1»+2在区间（一8,4]上是减函数，那么

实数。的取值范围是（答：。4-3））；（2）已知函数x+2在区间

J

（-2,m）上为增函数，则实数a的取值范围（答：'5'*°））.（3）若函数

/（x）=logafx+--4）（a>0,且awl）

Ix）的值域为R,则实数。的取值范围是

（答：0<a44且aHl））.

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。

y=logi-+2x）

如函数5的单调递增区间是（答：（1,2））。

（2）特别提醒：求单调区间时，

一是勿忘定义域，

如若函数"x）=l°g[x2-ax+5在区间（一8，万]上为减函数，求a的取值范围

（答：。，2假）；

二是在多个单调区间之间不能添加符号“U”和“或”：

三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？（①比较大小；②解不等式;

③求参数范围）。

如已知奇函数/（X）是定义在（-2,2）上的减函数，若•/（阳-1）+/（2搐-1）>0,

12

_—Vw<一

求实数冽的取值范围。（答：23）

11.常见的图象变换

①函数V=/（x+a）（a>0）的图象是把函数丁=/（x）的图象沿x轴向左平移a

个单位得到的。返回

如设/（x）=2T,g（x）的图像与y（x）的图像关于直线丁=x对称，肛»的图像

由g（x）的图像向右平移1个单位得到，则处X）为（答：

%（X）=-10g2（X-l））

②函数V=/G+a）（3<°）的图象是把函数丁=/（X）的图象沿x轴向右平移

同个单位得到的。

如（1）若/（x+199）=4,+4x+3,则函数“X）的最小值为_（答：2）；

（2）要得到丁=国（3一工）的图像，只需作y=关于_____轴对称的图像，再向

—平移3个单位而得到（答：人右）；（3）函数〃乃=*也5+2）-1的图象

与x轴的交点个数有个（答：2）

③函数y=/6）+4（a>0）的图象是把函数T=/（x）助图象沿V轴向上平移以

个单位得到的；

④函数丁=/⑴+以①<0）的图象是把函数丁=HD助图象沿丁轴向下平移

M个单位得到的；

b

y-------Va

如将函数x+a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得

图象如果与原图象关于直线丁=x对称,那么（/）a=。0（B）a=~UeR

（C）a=1,2?*0=O,beR（答：

⑤函数丁二/（以）（°>0）的图象是把函数丁=/（x）的图象沿x轴伸缩为原来

2

的）得到的。返P1

1

如（1）将函数丁=/。）的图像上所有点的横坐标变为原来的§（纵坐标不变）,

再将此图像沿X轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为____（答：

了（3工+6））；（2）如若函数y=/（2x7）是偶函数，则函数A=/（2X）的对称轴方

1

x=--

程是（答：2）。

⑥函数丁=/㈤（a>0）的图象是把函数丁=/（x）的图象沿V轴伸缩为原来的

a倍得到的。

12.函数的对称性。

a-\-b

①满足条件/（X—°）=/3一X）的函数的图象关于直线'

2对称。

如已知二次函数八乃=ax+加Q*°）满足条件-x）=/（x-3）且方程

_2

/。）:才有等根，则/0）=_____（答：一］工2+才）；

②点（XJ）关于V轴的对称点为（FJ）；球，=/（x）关于y轴的对称曲线方

程为y=/（—x）；

③点s’）关于x轴的对称点为a-y）；函数丁=/（6关于x轴的对称曲线方

程为7=一-（工）；

④点（用力关于原点的对称点为（一冗一力；函数丁=/k）关于原点的对称曲线

方程为y=_/（-x）；返回

⑤点（XJ）关于直线y=±x+a的对称点为（±3-a），±x+a）；曲线/。，丁）=0

关于直线丁=±x+a的对称曲线的方程为/（±0-a）,±x+a）=°。特别地，点（xj）

关于直线丁=*的对称点为（乂x）；瞰/a，力=°关于直线丁=*的对称曲线的方

程为〃y,x）O；点（冗向关于直线丁=一工的对称点为（一乂一力；曲线/（XJ）=°关

于直线丁=-X的对称曲线的方程为了（-乂r）=00

如己知函数2X-32,若丁=芥入+1）的图像是J,它关于直线

V=X对称图像是,2，。2关于原点对称的图像为C3,则。3对应的函数解析式是

才+2

v=------

（答：2x+l）；

⑥曲线〃XJ）=°关于点（aM的对称曲线的方程为了（2a-x,2小一力=0。

如若函数丁=一+才与丁=80）的图象关于点（_2,3）通则gQ）=_

（答：-X2-7X-6）

⑦形如y="cx+d'（cw0adwbe'）的图像是双曲线，其两渐近线分别直线

C

（由分母为零确定）和直线“C（由分子、分母中X的系数确定），对称中心

,da、

是点（一工0

如已知函数图象C与C：y（x+a+l）=ax+/+l关于直线1y=x对称，且图象C，关

于点（2,-3）对称，则a的值为______（答：2）

⑧1/炽）1的图象先保留/㈤原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x

轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；的图象先保留,（X）在轴

右方的图象，擦去丁轴左方的图象，然后作出丁轴右方的图象关于丁轴的对称图

形得到。返回

如⑴作出函数y=|l°g2（x+l）|及y=log2|x+l|的图象;（2）若函数）㈤

是定义在R上的奇函数，则函数回»=1/（刈+〃蹄的图象关于_对称（答：

尸轴）

提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上

是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图

像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3