备战2025年高考数学纠错笔记系列专题01集合与常用逻辑用语理含解析

PAGEPAGE1专题01集合与常用逻辑用语易错点1忽视集合中元素的互异性设集合，若，则实数的值为A． B．C． D．或或【错解】由得或，解得或或，所以选D．【错因分析】在实际解答过程中，许多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要依据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当时，A=B={1,1，y}，不满意集合元素的互异性；当时，A=B={1,1,1}也不满意元素的互异性；当时，A=B={1，−1,0}，满意题意．【试题解析】由得或，解得或或，经检验，当取与时不满意集合中元素的互异性，所以.【参考答案】B集合中元素的特性：（1）确定性.一个集合中的元素必需是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来推断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性.集合中的元素必需是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来推断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性.集合与其中元素的排列依次无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来推断两个集合的关系1．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则【解析】因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，此时当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)≠3符合题意．所以m＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)易错点2误会集合间的关系致错已知集合，则下列关于集合A与B的关系正确的是A． B．C． D．【错解】因为，所以，所以，故选B．【错因分析】推断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当留意视察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思索两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B中的元素就是集合，当集合A是集合B的元素时，A与B是从属关系．【试题解析】因为，所以，则集合是集合B中的元素，所以，故选D．【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.推断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A，B，假如集合A中随意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或）；假如集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.2．已知集合，则下列推断正确的是A． B．C． D．【解析】，【答案】C易错点3忽视空集易漏解已知集合，，若，则实数m的取值范围是A． B．C． D．【错解】∵，∴，∴.由知，∴，QUOTE则.∴m的取值范围是.【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中简单被忽视，特殊是在隐含有空集参加的集合问题中，往往简单因忽视空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A，都有，所以错解中忽视了时的状况.【试题解析】∵，∴.，①若，则，即，故时，；②若，如图所示，则，即.由得，解得.又∵，∴.由①②知，当时，.【参考答案】C（1）对于随意集合A，有，，所以假如，就要考虑集合可能是；假如，就要考虑集合可能是.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即，.3．已知集合，，若，则实数值集合为A． B． C． D．【解析】,的子集有，当时，明显有；当时，；当时，；当，不存在，符合题意，实数值集合为，故选D.【答案】D易错点4A是B的充分条件与A的充分条件是B的区分设,则“”是“”的]A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【错解】B【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.【试题解析】因为，所以，，，明显中至少有一个大于1，假如都小于等于1，依据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.由，可得，与1的关系不确定，明显由“”可以推出，但是由推不出，当然可以举特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.【参考答案】A（1）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即B⇒A且AB；（2）“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，即A⇒B且.4．已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是A． B．C． D．【解析】由基本不等式得，，由，又因为的一个充分不必要条件是，则，故选A．【答案】A易错点5命题的否定与否命题的区分命题“且”的否定形式是A． B．C． D．【错解】错解1：“”的否定为“”，“且”的否定为“且”，故选C．错解2：“且”的否定为“且”，故选A．错解3：“且”的否定为“”，故选B．【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有留意逻辑联结词；对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；错解3的结论否定正确，但忽视了对量词的否定而造成错选．【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“且”的否定形式是“”．故选D．【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．2．命题的否定（1）对“若p，则q”形式命题的否定；（2）对含有逻辑联结词命题的否定；（3）对全称命题和特称命题的否定．（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着肯定的区分，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则干脆否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知，则¬p是¬qA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】∵，∴5x−2>3或5x−2<−3，∴x>1或，∴¬p：.∵，∴x2＋4x−5>0，∴x>1或x<−5，∴¬q：−5≤x≤1，∴¬p⇒¬q，但¬q¬p，故¬p是¬q的充分不必要条件．【答案】A将命题的否定形式错误地认为：，∴x2＋4x−5<0导致错误．一、集合1．元素与集合的关系：.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必需是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来推断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必需是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来推断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.（3）无序性：集合与其中元素的排列依次无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来推断两个集合的关系.3．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或4．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图示基本基本关系子集集合A中随意一个元素都是集合B的元素（或）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中（或）相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解.5．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的全部元素组成的集合并集由全部属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的全部元素组成的集合（1）集合运算的相关结论交集并集补集（2）二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则2．四种命题间的关系（1）常见的否定词语正面词语=>(<)是都是随意(全部)的任两个至多有1(n)个至少有1个否定词()不是不都是某个某两个至少有2(n+1)个1个也没有（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.(1)等价转化法推断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；③p是q的充要条件是的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合推断法推断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则①若，则p是q的充分条件；②若，则p是q的必要条件；③若，则p是q的充分不必要条件；④若，则p是q的必要不充分条件；⑤若，则p是q的充要条件；⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.三、逻辑联结词、全称量词与存在量词1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p且q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p或q”；对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作，读作“非p”．2．复合命题的真假推断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：pq真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假3．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词全部、一切、随意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等4．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：命题命题的否定含有逻辑联结词的命题的真假推断：（1）中一假则假，全真才真．（2）中一真则真，全假才假．（3）p与真假性相反．留意：命题的否定是干脆对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.1．【2024年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合，则=A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，则．故选C．【名师点睛】留意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者全部的部分．2．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=A．(–∞，1) B．(–2，1) C．(–3，–1) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，或，，则．故选A．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．3．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，则A． B．C． D．【答案】A【解析】∵∴，∴，又，∴.故选A．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2024年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满意，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式驾驭不娴熟，导致推断失误；二是不能敏捷地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设状况下推出合理结果或冲突结果.5．【2024年高考天津理数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.6．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有多数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内随意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最简单犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.7．【2024年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2·>0与的夹角为锐角，故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与推断､平面对量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.8．若集合A={x|3-2x<1}, B={x|3x-2A．(1,2] B．1,94C．1,32 【答案】C【解析】因为A={x|x>1},B=x0≤x≤3【名师点睛】本题考查了集合的交集运算，A∩B可理解为：集合A和集合B中的全部相同的元素的集合.一般步骤为：先明确集合，即化简集合，然后再依据集合的运算规则求解.9．已知集合A=x|2<x<4，B={x|3≤x≤5}，则A．x|2<x≤5 B．x|x<4或C．x|2<x<3 D．x|x<2或【答案】B【解析】因为B={x|3≤x≤5}，所以={x|x<3或x>5}，又因为集合A=x|2<x<4所以x|x<4或x>5,故选B.【名师点睛】探讨集合问题，肯定要抓住元素，看元素应满意的属性.探讨两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满意属于集合A或不属于集合B的元素的集合.10．设全集U=R,A=x-A．xx>0 B．C．x-3<x<0 D．【答案】B【解析】∵A=x-x2-3x>0∴A∩B=x故选B．11．已知全集U=R，函数y=ln(1-x)的定义域为A．M∩N=N B．M∩C．M∪N=U D．M⊆【答案】A【解析】函数y=ln(1-x)的定义域为M=xx<1,12．命题“∃x0∈A．∀x∈N，都有B．∀x∉N，都有C．∀x0D．∀x∈N，都有【答案】D【解析】由于特称命题的否定为全称命题，所以“∃x0∈N，使得lnx故选D．【名师点睛】对于含有量词的命题的否定要留意两点：一是要改换量词，即把全称（特称）量词改为特称（全称）量词；二是留意要把命题进行否定．13．“若QUOTEa≥12，则，都有成立”的逆否命题是A．，有成立，则B．，有成立，则C．，有成立，则D．，有成立，则【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若QUOTEa≥12，则，都有成立”的逆否命题是“，有成立，则”.故选D.14．已知集合，集合，则集合A． B．C． D．【答案】C【解析】依据题意可得，，解得，满意题意，所以集合＝故选C．15．已知集合A={x|1<2x≤16}，B={x|x<a}，若A∩B=AA．a>4 B．a≥4C．a≥0 D．a>0【答案】A【解析】由题意可知：A={x|0<x≤4}，结合集合B和题意可得实数a的取值范围是a>4.本题选择A选项.16．下列命题正确的是A．∃x0∈R,x02C．∀x∈N,x3>x2 【答案】B【解析】x2+2x+3=0的=﹣8＜0，故方程无实根，即∃x0∈R，x02+2x0+3=0错误，即A错误；x2＞1⇔x＜﹣1，或x＞1，故x＞1是x2＞1的充分不必要条件，故B正确；当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，x3＞x2错误，即C错误；若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2，故D错误；故选：B．17．已知命题p：∃x0∈R，2x0＜x0－1；命题q：在ABC中，“BC2＋AC2＜AB2A．¬q B．p∧qC．p∨（¬q） D．（¬p）∧q【答案】D【解析】因为∀x∈R,2x>x-1，故命题p故“BC2+AC2<AB【名师点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的推断，考查一次函数以及指数函数的图像与性质，还考查了三角形为钝角三角形的推断方法以及充要条件等学问，综合性较强，属于中档题.解题过程中主要用分层推动，一步一步来完成，分别求得p,q的真假性，然后结合逻辑联结词推断真假性.18．下列有关命题的说法正确的是A．若"p∧q"为假命题，则p,q均为假命题B．"x=-1"是"xC．命题"若x>1,则1xD．命题"∃x0∈R,使得【答案】C【解析】A.若"p∧q"为假命题，则p,q中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B."x=-1"是"x2-5x-6=0"的充分不必要条件，因为由"x2-5x-6=0"得到“x=−1或x=6”，所以该选项是错误的；C.命题"若x>1,则1x<1"的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一样的，所以该选项是正确的；D.命题故选C.19．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“其次次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是A．为真命题 B．为真命题C．为真命题 D．为真命题【答案】A【解析】命题是“第一次射击击中目标”，命题是“其次次射击击中目标”，则命题是“第一次射击没击中目标”，命题是“其次次射击没击中目标”，命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”是，故选A．20．能说明“若f（x）>f（0）对随意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】对于，其图象的对称轴为，则f（x）>f（0）对随意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是单调函数.21．设a>0且a≠1，b∈R，集合A＝{14，loga2}，B＝{﹣1，0，2b}．若A⊆【答案】-【解析】因为A⊆B，所以2b=14，loga2=−1，所以b=−2,故答案为-3【名师点睛】本题主要考查集合的关系，考查对数指数方程的解法，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.22．若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为命题“”是假命题，所以为真命题，即，故答案为.23．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】条件p:log2(1−x)<0，∴0<1−x<1，解得0<x<1.条件q:x>a，若p是q的充分不必要条件，∴.则实数a的取值范围是：(−∞,0].故答案为：(−∞,0].24．下列有关命题的说法肯定正确的是__________．（填序号）①命题“，”的否定是“，”②若向量，则存在唯一的实数使得③若函数在上可导，则是为函数极值点的必要不充分条件④若“”为真命题，则“”也为真命题【答案】③【解析】命题“，”的否定是“，”.故①错；若向量，则存在唯一的实数使得，当时，不唯一；②错；若“”为真命题，则“”不肯定为真命题，④错.故填③．25．已知命题p:∃x∈R,    mx2+1≤0【答案】m【解析】由题意可得¬p：∀x∈R,    q:∀x∈R,    则¬q：m≤-2或则¬p且¬q为真，有m≥2.p∨q为真命题，则¬p且¬q为假，故m<2.26．已知，则“”是“直线和直线平行”的__________．（填充要条件、充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件）【答案】必要不充分条件【解析】由题意可知，充分性：若，则直线可变形为，即，当时，两直线重合，所以充分性不成立；必要性：若两直线平行，则，所以必要性成立.故填