2024-2025学年高中数学2.2.1双曲线及其标准方程2含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-课时作业15双曲线及其标准方程(2)学问点一双曲线定义的应用1.已知F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．答案16解析如图，|PF2|－|PF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝4a，即|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a＝4×4＝16.2．设F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解∵双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，∴a＝3，c＝5，不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.而|F1F2|＝2c＝10，得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝100，∴|PF1||PF2|＝64.∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝16eq\r(3).学问点二双曲线标准方程的应用3.如下图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()答案C解析直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，故A不正确．关于B、D，由椭圆知直线斜率应满意a>0，而由B，D知直线斜率均为负值，故B，D不正确．由C可知a>0，b<0.4．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝eq\f(1,2)的距离的比是2∶1，求点P的轨迹方程．解设点P的坐标为(x，y)，由题意得eq\f(\r(x－22＋y－02),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))))＝2，化简得x2－eq\f(y2,3)＝1，∴点P的轨迹方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.一、选择题1．已知方程eq\f(x2,3＋m)－eq\f(y2,3－m)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是()A.－3＜m＜3 B.m＞0C.m≥0 D.m＞3或m＜－3答案A解析因为eq\f(x2,3＋m)－eq\f(y2,3－m)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋m＞0，,3－m＞0，))解得－3＜m＜3.2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝eq\f(b,a)x上，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1答案A解析若点P(2,1)在直线y＝eq\f(b,a)x上，则1＝eq\f(2b,a)，∴a＝2b.①∵双曲线的焦距为10，∴a2＋b2＝52.将①代入上式，得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.3．已知点F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，动点P满意|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是eq\f(1,2)时，点P到坐标原点的距离是()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(3,2)C.eq\r(3) D.2答案A解析由已知可得c＝eq\r(2)，a＝1，∴b＝1.∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．将y＝eq\f(1,2)代入，可得点P的横坐标为x＝－eq\f(\r(5),2).∴点P到原点的距离为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(6),2).4．已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1,3) B.(－1，eq\r(3))C.(0,3) D.(0，eq\r(3))答案A解析由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3.5．设椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(3,5)答案B解析设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2eq\r(6)，①|d1－d2|＝2eq\r(3)，②①2＋②2，得deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝18.①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝eq\f(d\o\al(2,1)＋d\o\al(2,2)－4c2,2d1d2)＝eq\f(18－16,6)＝eq\f(1,3).二、填空题6．已知方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示的曲线为C.给出以下四个推断：①当1<t<4时，曲线C表示椭圆；②当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<eq\f(5,2)；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4.其中推断正确的是________(只填正确命题的序号)．答案②③④解析①错误，当t＝eq\f(5,2)时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴1<t<eq\f(5,2)；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－t<0，,t－1>0，))∴t>4.7．设双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．答案(2eq\r(7)，8)解析由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)．设P(x，y)是双曲线右支上任一点，则1<x<2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\r(x＋22＋y2)，,|PF2|＝\r(x－22＋y2)，,x2－\f(y2,3)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝2x＋1，,|PF2|＝2x－1，))又△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，得x>eq\f(\r(7),2)，故eq\f(\r(7),2)<x<2，所以|PF1|＋|PF2|＝4x∈(2eq\r(7)，8)．8．已知F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9解析如图所示，F(－4,0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9.当且仅当A，P，F′三点共线时取等号．三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同焦点，且经过点(3eq\r(2)，2)；(2)过M(1,1)，N(－2,5)两点．解(1)解法一：由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝16＋4＝20，,\f(18,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝8，))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.解法二：设所求双曲线方程为eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)，则eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(2)∵双曲线的焦点位置不定，∴设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵点M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1，,4m＋25n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(8,7)，,n＝－\f(1,7)，))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(7,8))－eq\f(y2,7)＝1.10．如图所示，若F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1||PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．解双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边