新课改瘦专用2025版高考数学一轮复习第五章平面向量复数第四节复数讲义含解析

PAGEPAGE7第四节复数突破点一复数的基本概念及几何意义eq\a\vs4\al([基本学问])1．复数的定义及分类(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类：eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))2．复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)3.复数的几何意义复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面对量eq\o(OZ,\s\up7(→))eq\a\vs4\al([基本实力])一、推断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程x2＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．()(4)已知复数z的共轭复数eq\x\to(z)＝1＋2i，则z的复平面内对应的点位于第三象限．()(5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、填空题1．设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为________．答案：12．复数z＝－i(1＋2i)的共轭复数为________．答案：2＋i3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于第________象限．答案：四eq\a\vs4\al([全析考法])考法一复数的有关概念[例1](1)(2024·南充一模)若复数eq\f(2－bi,1＋2i)的实部和虚部互为相反数，那么实数b等于()A．－eq\f(2,3) B.eq\f(2,3)C.eq\r(2) D．2(2)(2024·唐山五校联考)已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，则eq\x\to(z)(z的共轭复数)为()A．－3－i B．－3＋iC．3＋i D．3－i[解析](1)eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(2－2b－4＋bi,5)＝eq\f(2－2b,5)－eq\f(4＋bi,5).因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此2－2b＝4＋b，因此b＝－eq\f(2,3).故选A.(2)由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以eq\x\to(z)＝3＋i，故选C.[答案](1)A(2)C[方法技巧]解决复数概念问题的方法及留意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．考法二复数的几何意义[例2](1)(2024·北京高考)在复平面内，复数eq\f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2024·南昌一模)已知z＝m2－1＋mi在复平面内对应的点在其次象限，则实数m的取值范围是()A．(－1,1) B．(－1,0)C．(－∞，1) D．(0,1)[解析](1)eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)，其共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(i,2)，对应点位于第四象限．故选D.(2)因为z＝m2－1＋mi在复平面内对应的点是(m2－1，m)，且该点在其次象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1<0，,m>0，))解得0<m<1，所以实数m的取值范围是(0,1)．故选D.[答案](1)D(2)D[方法技巧]复数几何意义问题的解题策略(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．eq\a\vs4\al([集训冲关])1.eq\a\vs4\al([考法一])已知复数z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)的实部与虚部的和为2，则实数a的值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D易知z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(a2＋i,5)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1i,5)，由题意得eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1,5)＝2，解得a＝3.故选D.2.eq\a\vs4\al([考法二])已知i是虚数单位，复数eq\f(5i,2＋i9)的共轭复数在复平面上所对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D复数eq\f(5i,2＋i9)＝eq\f(5i,2＋i)＝eq\f(5i2－i,2＋i2－i)＝1＋2i，其共轭复数为1－2i，在复平面上所对应的点为(1，－2)，位于第四象限，故选D.3.eq\a\vs4\al([考法一])(2024·广东香山中学期末)已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A．(1，eq\r(3)) B．(1,3)C．(1，eq\r(5)) D．(1,5)解析：选C由题意可得z＝a＋i，∴|z|＝|a＋i|＝eq\r(a2＋1).∵0<a<2，∴1<eq\r(a2＋1)<eq\r(5)，∴1<|z|<eq\r(5)，∴|z|的取值范围是(1，eq\r(5))．故选C.突破点二复数的运算eq\a\vs4\al([基本学问])(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满意以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[谨记常用结论]1．(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.eq\a\vs4\al([基本实力])1．(2024·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝()A．3－2i B．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i答案：D2．若复数z＝eq\f(2,1－i)，其中i为虚数单位，则eq\x\to(z)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选B∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，∴eq\x\to(z)＝1－i.3．化简：eq\f(3－i,2＋i)＝________.解析：eq\f(3－i,2＋i)＝eq\f(3－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(5－5i,5)＝1－i.答案：1－ieq\a\vs4\al([典例感悟])1．(2024·合肥质检)已知i为虚数单位，则eq\f(2＋i3－4i,2－i)＝()A．5 B．5iC．－eq\f(7,5)－eq\f(12,5)i D．－eq\f(7,5)＋eq\f(12,5)i解析：选Aeq\f(2＋i3－4i,2－i)＝eq\f(10－5i,2－i)＝5，故选A.2．(2024·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝()A．i B．－1＋iC．－1－i D．－i解析：选C由已知可得eq\x\to(z)＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.[方法技巧]复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要留意把i的幂写成最简形式[针对训练]1．(2024·全国卷Ⅱ)eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i B．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i D．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i解析：选Deq\f(1＋2i,1－2i)＝eq\f(1＋2i2,1－2i1＋2i)＝e