2025版高中数学第三章不等式3.1.2不等式的性质学案含解析新人教B版必修5

PAGEPAGE113.1.2不等式的性质学习目标1.理解并驾驭不等式的性质．2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较．3.会证明一些简洁的不等式．学问点一不等式的基本性质思索试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c.答案a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.总结不等式性质：名称式子表达性质1(对称性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a＞b，b＞c⇒a＞c性质3a＞b⇒a＋c＞b＋c推论1a＋b＞c⇒a＞c－ba＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d推论2性质4a＞b，c＞0⇒ac＞bca＞b，c＜0⇒ac＜bc推论1a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bda＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n＞1)a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N＋，n＞1)推论2推论3学问点二不等式性质的留意事项思索1在性质4的推论1中，若把a，b，c，d为正数的条件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd吗？若不能，试举出反例．答案不能，例如1＞－2，2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3)．思索2在性质3的推论2中，能把“⇒”改为“⇔”吗？为什么？答案不能，因为由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但明显1＜2.总结(1)留意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质．b⇒a＋c＞b＋c，a＞b⇒ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余几条性质不行逆推．1．若a>b，则ac>bc肯定成立．(×)2．若a＋c>b＋d，则a>b且c>d．(×)3．若a>b且d<c，则a＋c>b＋d．(√)4．若a>b且c>d，则ac>bd．(×)题型一不等式性质的证明例1若a＞b，c＞0，求证：ac＞bc.证明ac－bc＝(a－b)c.∵a＞b，∴a－b＞0.又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，∴ac＞bc.反思感悟对随意两个实数a，b有a－b＞0⇒a＞b；a－b＝0⇒a＝b；a－b＜0⇒a＜b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明．跟踪训练1(1)若ac2＞bc2，求证：a＞b；(2)由a＞b能推出ac2＞bc2吗？解(1)∵ac2＞bc2，∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0．若c2＝0，则ac2＝bc2与条件冲突．∴c2＞0，∴a－b＞0，即a＞b．(2)不能．当c＝0时，ac2＝bc2．题型二不等式性质的应用命题角度1利用不等式的性质推断命题真假例2推断下列命题的真假：(1)若a>b，则ac<bc；(2)若a<b<0，则a2>ab>b2；(3)若a<b<0，则eq\f(b,a)>eq\f(a,b).解(1)由于c的正、负或是否为零未知，因而推断ac与bc的大小缺乏依据．故该命题为假命题．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,a<0))⇒a2>ab；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,b<0))⇒ab>b2．所以a2>ab>b2，故该命题为真命题．(3)由a<b<0⇒－a>－b>0⇒a2>b2⇒eq\f(a2,ab)>eq\f(b2,ab)，即eq\f(a,b)>eq\f(b,a)，故该命题为假命题．反思感悟要推断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应娴熟驾驭不等式的性质及其推论的条件和结论，若推断命题是假命题只需举一反例即可．跟踪训练2下列命题中正确的个数是()①若a>b，b≠0，则eq\f(a,b)>1；②若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；③若a>b，且ac>bd，则c>d．A．0B．1C．2D．3答案A解析①若a＝2，b＝－1，则不符合题意；②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满意a>b且a＋c>b＋d，但不满意c>d，故错；③当a＝－2，b＝－3时，取c＝－1，d＝2，则c＞d不成立．命题角度2利用不等式性质证明简洁不等式例3已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).证明∵c<d<0，∴－c>－d>0，∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)．又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d)．反思感悟利用不等式性质证明简洁的不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形，要留意不等式性质成立的条件，假如不能干脆由不等式性质得到，可先分析须要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化．跟踪训练3若a>b>0，c<d<0，求证：eq\f(a,d)<eq\f(b,c)．证明∵c<d<0，∴－c>－d>0．又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac<bd．又c<0，d<0，∴cd>0．∴eq\f(ac,cd)<eq\f(bd,cd)，即eq\f(a,d)<eq\f(b,c)．命题角度3应用不等式性质求取值范围例4已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a＋b，a－b，eq\f(a,b)的取值范围．解∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a<16，∴－10<2a＋b<19．又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6．又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，当0≤a<8时，0≤eq\f(a,b)<4；当－6<a<0时，－3<eq\f(a,b)<0．∴－3<eq\f(a,b)<4．反思感悟解决此类问题，要留意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．同时在变换过程中要精确运用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的状况，同时，要特殊留意同向不等式相乘的条件是同为正．跟踪训练4已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．解∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)．上面两式相加得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2)．∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2)．又知α<β，∴α－β<0，故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0．用好不等式性质，确保推理严谨性典例已知12＜a＜60,15＜b＜36，求eq\f(a,b)的取值范围．解∵15＜b＜36，∴eq\f(1,36)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,15)，又12＜a＜60，∴eq\f(12,36)＜eq\f(a,b)＜eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)＜eq\f(a,b)＜4，即eq\f(a,b)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4))．[素养评析]逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和沟通实力得到提升．1．假如a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的个数是()①eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②eq\r(－a)＜eq\r(b)；③a2＜b2；④|a|＞|b|.A．0B．1C．2D．3答案B解析①正确，②③④可举反例解除，如对②③，设a＝－9，b＝1，对④，设a＝－1，b＝2即可．2．已知a>b，不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)成立的个数是()A．0B．1C．2D．3答案A解析由题意可令a＝1，b＝－1，此时①不对，②不对，③a－b＝2，此时有eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a)，故③不对．故选A．3．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)>－eq\f(d,b)，则()A．bc<adB．bc>adC．eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)答案A解析∵ab>0，∴在－eq\f(c,a)>－eq\f(d,b)两侧乘ab不变号，即－bc>－ad，即bc<ad．4．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)，∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(β,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π．1．不等式的性质有许多是不行逆的，特殊对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不行逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不行逆．2．不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．一、选择题1．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中全部正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③答案D解析由不等式性质及a>b>1知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正确；构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴ac<bc，②正确；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)B．eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC．eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2)D．eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a答案D解析取a＝－2，b＝－2，则eq\f(a,b)＝1，eq\f(a,b2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a．3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C．eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|答案C解析对于A，若a>0>b，则eq\f(1,a)>0，eq\f(1,b)<0，此时eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴A不成立；对于B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，∴B不成立；对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()A．ab>ac B．ac>bcC．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2答案A解析由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,b>c))⇒ab>ac．5．若a<0，－1<b<0，则()A．a<ab<ab2 B．ab2>a>abC．ab>b>ab2 D．ab>ab2>a答案D解析∵－1<b<0，∴b<b2<1，又a<0，∴ab>ab2>a．6．假如－1<a<b<0，则有()A．eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<b2<a2 B．eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<a2<b2C．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<b2<a2 D．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<a2<b2答案A解析∵－1<a<b<0，∴ab>0，∴eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)即eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<0，∴1>a2>b2>0，∴eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<0<b2<a2<1．二、填空题7．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是______．(1)a2b<ab2；(2)eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)；(3)eq\f(b,a)<eq\f(a,b)．答案(2)解析对于(1)，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；对于(2)，∵a<b，eq\f(1,a2b2)>0，∴eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)，故成立；对于(3)，当a＝－1，b＝1时，eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)＝－1，故不成立．8．假如a，b，c满意c<b<a，且ac<0，那么下列不等式不肯定成立的是________．(1)ab>ac； (2)c(b－a)>0；(3)cb2<ab2； (4)ac(a－c)<0．答案(3)解析c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，(3)不成立．9．若－1≤a≤3,1≤b≤2，则a－b的范围为________．答案[－3,2]解析∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，∴－3≤a－b≤2．10．已知a>b，e>f，c>0，则f－ac________e－bc．(填“>”“<”或“＝”)答案＜解析因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc．又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc．三、解答题11．推断下列各命题是否正确，并说明理由：(1)若eq\f(c,a)<eq\f(c,b)且c>0，则a>b；(2)若a>b，ab≠0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(3)若a>b，c>d，则ac>bd．解(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)<\f(c,b),c>0))⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，但推不出a>b，故(1)错．(2)例如，当a＝1，b＝－1时，不成立，故(2)错．(3)例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立，故(3)错．12．已知a＞b＞0，c＞d＞0，(1)求证：ac＞bd．(2)试比较eq\r(\f(a,d))与eq\r(\f(b,c))的大小．(1)证明因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bc，bc＞bd，所以ac＞bd．(2)解因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,d)＞0，eq\f(b,d)＞eq\f(b,c)＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)＞0，所以eq\r(\f(a,d))＞eq\r(\f(b,c))．13．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解∵f(x)＝ax2－c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝a－c，,f(2)＝4a－c，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\