2024-2025学年高中数学第二章平面向量第3节平面向量的基本定理及坐标表示第2课时平面向量的正交分解及坐标表示课下能力提升十八含解析新人教A版必修4

PAGEPAGE1课下实力提升(十八)[学业水平达标练]题组1向量的坐标表示1．给出下列几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应多数个相等的向量，故③错误．2．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则eq\f(1,2)等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)解析：选A＝－＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－4,6)＝(－2,3)．3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，∴＝(2,3)，BC＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)题组2平面对量的坐标运算4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A．(－7,6)B．(7,6)C．(6,7)D．(7，－6)解析：选D设D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)解析：选B∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)，故选B.6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))所以m－n＝－3.答案：－37．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，求点C，D和的坐标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．∵＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，∴(x1＋1，y1－2)＝eq\f(1,3)(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－eq\f(1,3)(－3，－6)＝(1,2)．则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此＝(－2，－4)．题组3向量共线的坐标表示8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2解析：选B由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).9．已知A，B，C三点共线，＝－eq\f(3,8)，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析：设点C的纵坐标为y.∵A，B，C三点共线，＝－eq\f(3,8)，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－eq\f(3,8)(y－2)．∴y＝10.答案：1010．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，求证：∥.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．因为＝eq\f(1,3)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，所以(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，故Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))；因为＝eq\f(1,3)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，所以(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，故Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又因为4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，所以∥.11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满意a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－eq\f(16,13).[实力提升综合练]1．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：选C∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋λm2＝0，,1＋2λ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,m＝0或2，))故选C.2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：选D∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，明显c与d不平行，解除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．2解析：选A由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵∥，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满意的条件为________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠eq\f(1,2)，∴m≠eq\f(1,2).答案：m≠eq\f(1,2)7．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在其次象限？(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不行能，请说明理由．解：由题可知＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若P在其次象限，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))解得－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)＝＋＝(－1－3t，－2－3t)＋(4,5)＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))方程组明显无解．∴四边形OABP不行能是平行四边形．8．已知向量u＝(x，y)和v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；(3)对于随意向量a，b及常数λ，μ，证明：f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．解：(1)由题意知，当a＝(1,1)时，f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．当b＝(1,0)时，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4，,2y－x＝5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))