2025版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础学问整合1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的判定定理(2)直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定定理(2)平面与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的随意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是()A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m答案A解析依据线面垂直的判定定理知A正确；当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、垂直或异面，故B错误；当l∥β，l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.2．(2024·浙江模拟)已知相互垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满意m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是()A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n答案B解析对于A，m可以在β内，故A错误；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错误．4．(2024·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC答案C解析eq\a\vs4\al(解法一：)如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误．故选C.eq\a\vs4\al(解法二：)(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，－1))，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(DC1,\s\up6(→))≠0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))≠0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))≠0，∴A1E⊥BC1.故选C.5．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影HA．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部答案A解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内．∴H∈AB.6．(2024·沈阳模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案3解析如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不肯定垂直于BC.核心考向突破考向一有关垂直关系的推断例1(1)已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线，则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的多数条直线，则l∥α答案A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线和平面垂直的判定定理，而A中，直线l也可以是与平面α斜交或平行的直线，故选A.(2)(2024·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的随意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC答案D解析依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；留意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°，B错误；留意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC，D正确．故选D.触类旁通推断垂直关系需留意的问题(1)作图要娴熟，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．eq\a\vs4\al(2擅长找寻反例，若存在反例，结论就被驳倒了.)3要思索完整，反复验证全部可能的状况，必要时要运用判定或性质定理进行简洁说明.即时训练1.(2024·北京东城模拟)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中肯定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β答案B解析因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B.2．(2024·银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案A解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A.考向二直线与平面垂直的判定与性质角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))利用线线垂直证明线面垂直例2(1)(2024·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．①证明：PO⊥平面ABC；②若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解①证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2eq\r(3).连接OB，因为AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC.②作CH⊥OM，垂足为H.又由①可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°.在△OCM中依据余弦定理可求得OM＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以点C到平面POM的距离为eq\f(4\r(5),5).(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1①求证：BD⊥平面A1ACC1；②若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A－BCB1的体积．解①证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝EDB1C∥平面A1BD∴B1C∥ED∵E为AB1的中点，∴D为AC的中点，∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥又∵A1A，AC是平面A1ACC1∴BD⊥平面A1ACC1.②由AB＝1，得BC＝BB1＝1，由①知AD＝eq\f(1,2)AC，又AC·AD＝1，∴AC2＝2，∴AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)，∴VA－BCB1＝VB1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·BB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))利用线面垂直证明线线垂直例3(1)(2024·四川模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE.①求证：AD′⊥EB；②求点E到平面ABD′的距离．解①证明：∵AE＝BE＝2eq\r(2)，AB＝4，∴AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥EB.取AE的中点M，连接MD′，则AD′＝D′E＝2⇒MD′⊥AE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，MD′⊂平面D′AE，∴MD′⊥平面ABCE，∴MD′⊥BE，AE∩D′E＝M，从而EB⊥平面AD′E，∴AD′⊥EB.②由①知MD′⊥平面ABCE，且MD′＝eq\r(2)，S△AEB＝4，易知BM＝eq\r(10)，BD′＝2eq\r(3)，AD′＝2，AB＝4，S△ABD′＝2eq\r(3).设点E到平面ABD′的距离为d，由VE－ABD′＝VD′－ABE，得eq\f(1,3)×2eq\r(3)d＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×4，∴d＝eq\f(2\r(6),3).(2)(2024·江苏模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C求证：①MN∥平面ABB1A1②AN⊥A1B.证明①取AB的中点P，连接PM，PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，所以PM∥BC，且PM＝eq\f(1,2)BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N且PM＝B1N所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1②因为三棱柱ABC－A1B1C1所以BB1⊥平面A1B1C1又因为BB1⊂平面ABB1A1所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C又因为∠A1B1C1＝∠ABC所以B1C1⊥B1A又平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1B1C1⊂平面A1B1C所以B1C1⊥平面ABB1A又因为A1B⊂平面ABB1A1所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B连接AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1所以AB1⊥A1B.又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，而AN⊂平面AB1N，所以A1B⊥AN.触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直有时需借助线面垂直的性质.即时训练3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．解(1)证明：连接BD.∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD.又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝eq\r(3).又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝eq\f(2,3)VC－PNB＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(2,3).4．(2024·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，又BD⊂平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的eq\f(1,2)，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的eq\f(1,2)，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.考向三面面垂直的判定与性质例4(1)(2024·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧Ceq\x\to(D)所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上异于C，D的点．①证明：平面AMD⊥平面BMC；②在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．解①证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.②当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.(2)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.①证明：平面PAC⊥平面PCE；②若∠ABC＝60°，求三棱锥P－ACE的体积．解①证明：如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OF∥PA，且OF＝eq\f(1,2)PA.因为DE∥PA，且DE＝eq\f(1,2)PA，所以OF∥DE，且OF＝DE，所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.②解法一：因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC＝2.又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.所以S△PAC＝eq\f(1,2)PA×AC＝2.因为EF⊥平面PAC，所以EF是三棱锥E－PAC的高．易知EF＝DO＝BO＝eq\r(3)，所以三棱锥P－AC