2024-2025学年浙江省杭州市仁和实验学校高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市仁和实验学校高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x2−4x+3>0}，N={y|y=x2A.(−∞,1)∪(3,+∞) B.[−4,1)

C.[−4,1)∪(3,+∞) D.R2.函数f(x)=4−x2A.[−2,2] B.(−∞,−1)∪(−1,2]

C.[−2,−1)∪(−1,2] D.(−2,2)3.已知p：θ为锐角，q：θ为第一象限角，则p是q的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.若xlog34=1，则4A.1 B.2 C.83 D.5.已知sin(π3−x)=13，且A.13 B.223 C.6.计算：1+tan5π12A.33 B.−33 7.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2，则方程[x]−sinx=0的零点个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.38.已知奇函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=π3对称，且在区间[0,π6A.23 B.34 C.32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=|sinx|，则(

)A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)在区间[π,3π2]上单调递增 10.已知a>0，b>0，且a+b=4，则下列结论正确的是(

)A.ab≤4 B.1a+1b≥1 11.已知函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，若方程f(x)=kA.当k>0或k<−4时，方程f(x)=k有1个解

B.当k<−4时，方程f(x)=k有1个解

C.当k=−4或k>−3时，方程f(x)=k有2个解

D.当−4<k≤−3时，方程f(x)=k有3个解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点P(cos2π3,1)是角α的终边上一点，则cosα=13.已知函数f(x)=(a−22x+1)(1−cos2x)为奇函数，则14.如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C为扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD的面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

求值：

(1)823+(1616.(本小题12分)

已知α，β为锐角，sin(α+β)=12,sinαcosβ=512．

(1)求证：17.(本小题12分)

已知函数f(x)=sin(2π−x)⋅sin(3π2−x)−3cos2x+318.(本小题12分)

已知函数f(x)=log21+axx−1(a为常数)是奇函数．

(1)求a的值与函数f(x)的定义域．

(2)若对任意的x∈[53,3]时，都有19.(本小题12分)

对于定义在区间D上的函数y=f(x)，若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称函数f(x)在区间D上有“下界”，把f(x0)称为函数f(x)在D上的“下界”．

(1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；

y=1−2x(x>0)；y=x+16x(0<x≤5)．参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.C

8.C

9.BC

10.BD

11.BCD

12.−13.1

14.315.解：(1)原式=23×23+(23)4×(−34)+1=4+278+1=678；

(2)原式=log3182+lg2lg3×lg32lg2+log33=2+12+1=72．

16.解：(1)证明：因为α，β为锐角，且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12，

又sinαcosβ=512，

所以cosαsinβ=12−512=112，

所以sinαcosβ=5cosαsinβ，即sinαcosα=5sinβcosβ，

即tanα=5tanβ(证毕)；18.解：(1)因为f(x)是奇函数，

故f(−x)+f(x)=log21−ax−x−1+log21+axx−1=log21−a2x21−x2=0，

即1−a2x2=1−x2，即x2(a2−1)=0，因x不恒为0，故a=±1，

当a=−1时，因1−xx−1=−1<0，函数没有意义；

当a=1时，f(x)=log21+xx−1，由1+xx−1>0，可得(x+1)(x−1)>0，

即函数的定义域为：(−∞,−1)∪(1,+∞)，

又f(−x)+f(x)=log21−x−x−1+log21+xx−1=log21−x21−x2=log21=0，故f(x)是奇函数，满足题意．

综上，a=1，函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)．

(2)由(1)得f(x)=log21+xx−1=log2(1+2x−1)，

因x∈[53,3]，函数t=1+2x−1在[53,3]上为减函数，故得2≤t