隐函数和隐函数组3省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

在本节中所讨论曲线和曲面,因为它们方程是以隐函数(组)形式出现,所以在求它们切线或切平面时,都要用到隐函数(组)微分法.

§3几何应用三、曲面切平面与法线

返回一、平面曲线切线与法线

二、空间曲线切线与法平面*四、用参数方程表示曲面

第1页一、平面曲线切线与法线曲线L：条件：上一点,近旁,F满足隐函数定理条件,可确定可微隐函数:处切线：第2页总之,当例1求笛卡儿叶形线在点

处切线与法线.解设由§1例2

讨论近旁满足隐函数定理第3页条件.轻易算出于是所求切线与法线分别为例2用数学软件画出曲线图象；并求该曲线在点处切线与法线.

第4页解在MATLAB指令窗内执行以下绘图指令:

symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);

就马上得到曲线L图象(见本例末页图18－6).令轻易求出:第5页由此得到L在点处切线与法线分别为：若在上面MATLAB指令窗里继续输入以下指令,便可画出上述切线与法线图象.

holdon;

a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))

第6页图18－6第7页例3设普通二次曲线为试证L在点处切线方程为证第8页由此得到所求切线为利用满足曲线L方程,即整理后便得到第9页二、空间曲线切线与法平面先从参数方程表示曲线开始讨论.在第五章§3已学过,对于平面曲线若是其上一点,则曲线在点处切线为下面讨论空间曲线.第10页(A)用参数方程表示空间曲线:

类似于平面曲线情形,不难求得处切线为过点且垂直于切线平面,称为曲线L在点处法平面(见图18－7).

第11页因为切线方向向量即为法平面法向量,所以法平面方程为(B)用直角坐标方程表示空间曲线：

设近旁含有连续一阶偏导数,且图18－7第12页不妨设于是存在隐函数组这也就是曲线L以z作为参数一个参数方程.依据公式(2),所求切线方程为第13页应用隐函数组求导公式,有于是最终求得切线方程为对应于(3)式法平面方程则为第14页解轻易求得故切向向量为例4求空间曲线在点处切线和法平面.由此得到切线方程和法平面方程分别为第15页

symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);

ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])

绘制上述空间曲线程序与所得图形以下:第16页图18－8第17页例5求曲线在点处切线与法平面.解曲线L是一球面与一圆锥面交线.令依据公式(5)与(6),需先求出切向向量.为此计算F,G在点处雅可比矩阵:第18页由此得到所需雅可比行列式:第19页故切向向量为据此求得第20页三、曲面切平面与法线以前知道,当f为可微函数时,曲面z=f(x,y)在点处切平面为现在新问题是:曲面由方程给出.若点近旁含有连续一阶偏导数,而且第21页不妨设则由方程(7)在点近旁惟一地确定了连续可微隐函数因为所以在处切平面为又因(8)式中非零元素不指定性,故切平面方程第22页普通应写成随之又得到所求法线方程为回顾1现在知道,函数在点P梯度其实就是等值面在点P法向量:第23页回顾2若把由(4)表示空间曲线L看作两曲面交线(图18－9),则L在切线与此二曲面在法线都相垂直.而这两条法线方向向量分别是图18－9第24页故曲线(4)切向向量可取向量积:这比前面导出(5),(6)两式过程更为直观,也容易记得住.第25页例6求旋转抛物面在点解令则曲面法向量为处切平面和法线.从而由(9),(10)分别得到切平面为法线为第26页()例7证实:曲面任一切平面都过某个定点(这里f是连续可微函数).()证令则有第27页()于是曲面在其上任一点处法向量可取为由此得到切平面方程:将点代入上式,得一恒等式:第28页这说明点恒在任一切平面上.第29页四、用参数方程表示曲面曲面也能够用以下双参数方程来表示:这种曲面可看作由一族曲线所组成:每给定v一个值,(11)就表示一条以u为参数曲线;当v取某个区间上一切值时,这许多曲线集合组成了一个曲面.现在要来求出这种曲面切平面和法线方程.为此假设且第30页(11)式中三个函数在近旁都存在连续一阶偏导数.因为在处法线必垂直于上过任意两条曲线在切线,所以只需在上取两条特殊曲线(

见图18－10

):它们切向量分别为图18－10

第31页则所求法向量为至此,不难写出切平面方程和法线方程分别为

第32页解先计算在点处法向例8设曲面参数方程为试对此曲面切平面作出讨论.量:第33页由此看到,当时说明在曲面(12)而当时,法向量可取上存在着一条曲线,其方程为在此曲线上各点处,曲面不存在切平面,我们称这种曲线为该曲面上一条奇线.

与之对应切平面则为第34页法线则为当动点趋于奇线(13)上点时,法向量存在极限(普通不一定存在):第35页此点处不存在法此时切平面存在极限位置:有时需要用此“极限切平面”来补充定义奇线上切平面.