2025北京陈经纶中学高二4月月考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京陈经纶中学高二4月月考数学一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.的展开式共有11项，则n等于（

）A．9 B．10 C．11 D．82．某学校在“3.14数学日”安排了4场数学科普讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，则不同的安排方法共有（

）种A．4B．6C．8D．12在的展开式中，的系数为（）A.-40B.40C.-80D.804.函数的零点的个数为（）A. B.C.D.5．若直线为曲线的切线，则实数k的值是（

）A．e B． C． D．6．对于函数，在上单调递增的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．7．某高中举办2025年读书节活动，设有“优秀征文”､“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有4名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少1人参加，则报名的不同方案有（

）A．12种 B．36种 C．48种 D．72种8.已知为正实数，，则（

）A． B． C． D．9．如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（

）A．0B．1C．2 D．310．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究兴趣．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）A．B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C．记第行的第个数为，则D．第20行中第8个数与第9个数之比为二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.已知函数，为的导函数，则的值为.12.已知，则_____.（结果用数字作答）13．已知函数，若在区间上单增且最大值为0，写出一组符合要求的.，.14．根据“援疆支教”工作的要求，某学校决定派出五位骨干教师对新疆三个地区进行教学指导，每个地区至少派遣一位骨干教师，其中甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________（用数字作答）．15．若存在实数和使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称此直线为和的“分离直线”.当和之间存在唯一的“分离直线”时,；若和之间存在“分离直线”，的最小值为.三、解答题（共3小题，满分45分）16.（本题满分15分）已知函数，.（Ⅰ）当时，=1\*GB3①求曲线在处的切线方程；=2\*GB3②求证：在上有唯一极大值点；（Ⅱ）若没有零点，求的取值范围.（本题满分15分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，证明曲线在曲线的上方；(Ⅲ)已知导函数在区间(1,e)上存在零点,证明:当时,．18.（本题满分15分）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则．(1)求和的值；(2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为；(3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）题号12345678910答案BCCCCABCDD二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.12.6513．均可（前3后2）14．3615．；（前3后2）三、解答题（共3小题，满分45分）16.（本题满分15分）已知函数，.（Ⅰ）当时，=1\*GB3①求曲线在处的切线方程；=2\*GB3②求证：在上有唯一极大值点；（Ⅱ）若没有零点，求的取值范围.解：（Ⅰ）若，则，.=1\*GB3①在处，，.所以曲线在处的切线方程为. ┄┄┄┄┄┄4分=2\*GB3②令，，在区间上，，则在区间上是减函数.又，所以在上有唯一零点.与的情况如下：＋－极大值所以在上有唯一极大值点. ┄┄┄┄┄┄9分（Ⅱ），令，则.①若，则，在上是增函数.因为，，所以恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.②若，此时的定义域为.当时，，在区间上是减函数；当时，，在区间上是增函数.所以.又，由题意，当，即时，无零点，符合题意.综上，的取值范围是. ┄┄┄┄┄15分（本题满分15分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，证明曲线在曲线的上方；(Ⅲ)已知导函数在区间(1,e)上存在零点,证明:当时,．解：(Ⅰ)定义域为，．因为，令，得．随着变化，与的变化情况如下表所示：0↘极小值↗所以在上单调递减，在上单调递增．┄┄┄┄┄┄4(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)问结论继续讨论函数性质由(Ⅰ)可知，．又，所以函数在上单调递减．因此．所以恒成立．所以在(Ⅰ)的条件下，证明曲线在曲线的上方．┄┄┄┄┄┄8法二：转化为差函数的最值即证，等价于．令（），即证．因为，令，则在上单调递增．因为，，所以存在唯一的使．则当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．因为，，所以，．因此．所以在(Ⅰ)的条件下，证明曲线在曲线的上方．┄┄┄┄┄┄9(Ⅲ)，其中．令，得，或．由导函数在区间上存在零点，得，即．随着变化，与的变化情况如下表所示： 0↘极小值↗所以在上单调递减，在上单调递增．所以在上存在最小值．设，．则，．所以．由，得，，则．所以在区间上单调递减．所以，即故当时，．┄┄┄┄┄┄1518.（本题满分15分）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则．(1)求和的值；(2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为；(3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．解：（1）当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此；当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此．┄┄┄┄┄┄4（2）设数列是取自集合的交错数列，因为且是奇数，所以，构造数列，则，此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应，所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为．┄┄┄┄┄┄9（3）设数列是取自集合的交错数列，由（2）得，当时，所有交错数列