有理数章末重难点题型（举一反三）（浙教版）

专题L1有理数章末重难点题型汇编【举一反三】

【浙教版】

【考点1相反意义的量】

【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.

【例I】（2UI9秋•阳东区期中）小红的妈妈买了4箱白菜，以每筐25千克为标注，超过的千克数记为正

数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为+0.25,-1,-tO.5,-0.75,小红快速准确地算出了4

筐白菜的总质量为（）

A.-1千克B.1千克C.99千克D.101千克

【分析】根据题意列出算式解答即可.

【答案】解：4筐白菜的总质量为25X--0.75）=99千克，

故选：C.

【点睛】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”具有相反意义的量.

【变式1-1]（2019秋•任城区校级期中）某种药品的说明书上标明保存温度是（30±2）'C,则该药品在（

）范围内保存才合适.

A.28C-30nCB.30c—32CC.28C-31°CD.28C-32°C

【分析】根据正负数的意义，以30C为基准记为0,高于记正，不足为负.

【答案】解：30-2=28℃,30+2=32℃,

该药品在28℃-32℃范围内保存才合适.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是正数和负数，掌握正负号的意义是解题的关键.

【变式1・2】（2019秋•顺义区期中）面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为50±0.2侬，现随机选取10袋

面粉进行质量检测，结果如下表所示：

序号12345678910

质量伏g）505050

则不符合要求的有（）

A.1袋B.2袋C.3袋D.4袋

【分析】根据标准质量为50土依依的面粉是不合格的.

【答案】解：因为面粉每袋的标准质量为50土依依WmW依，

kg不符合要求，

故选:A.

【点睛】本题考查了止数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.注

意不是同一类别的量，不能看成是具有相反意义的量.

【变式1-3］（2019秋•慈溪市期中）213路公交车从起点开始经过A,B,C,。四站到达终点，各站上

下车人数如下（上车为正，下车为负）例如（7,-4）表示该站上车7人，下车4人.现在起点站有15人，A

（4,-8）,仅6,-5）,0（7,-3）,D（l,-4）.车上乘客最多时有（）名.

A.13B.14C.15D.16

【分析】根据题意可以算出各个阶段对应的乘客人数，从而可以解答本题.

【答案】解：由题意可得,

起点到人站之间，车上有15人,

A站到B站之间，车上有：15+4-8=11（人），

8站到C站之间，车上有：11+6-5=12（人），

。站到。站之间，车上有：12+7-3=16（人），

。站到终点之间，车上有：16+1-4=13（人），

由上可得，车上乘客最多有16人,

故选:D.

【点睛】本题考查正负数，解答本题的关键是明确正负数在题巨中的实际意义.

【考点2有理数的分类】

【方法点拨】正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。

【例2】（2019秋•兴庆区校级期中）把下列各数按要求分类.

IQ

—2»5»—2—,0,—3.4,—21,乃，—>,15%；

23

正数集合：｛…｝,

负整数集合：｛...｝,

分数集合：｛...｝

非正数集合：｛...｝

【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可.

【答案】解：正数集合：｛5,IT,区，3.7,15%…）,

负整数集合：｛-2,-21-｝,

分数集合：｛・2工，-3.4,3.7,15%…｝

23

非正数集合：｛-2,-2-L,0,-3.4,-21-｝

2

故答案为：5,n,区，3.7,15%,-2,-21,-2工，-3.4,8，3.7,15%,-2,-2!，0,-3.4,-

3232

21.

【点睛】本题考查了有理数的知识，关键是掌握正数、负数、整数及分数的定义，属于基础题，比较简单.

【变式2-1］（2019秋•沂水县期中）把下列各数按要求分类：

14

—4,10%,—1—，101,—>—1.3

23

负整数集合：｛｝

正分数集合：｛｝

负分数集合：｛｝

整数集合：｛｝

负有理数集合：｛）.

【分析】根据有理数的分类，直接填写答案.

【答案】解：给出的数中，负整数有:-4；正分数有10%,20.6：

3

负分数有：・1工，-1.3；整数有：・4,101,0；

2

负有理数有：-4,-11,-1.3.

2

故答案为：-4；10%,-1,0.6；-I-L,-1.3；-4,101,0；-4,-1X-1.3.

322

【点睛】本题考查了有理数的分类及各相关定义.掌握有理数的分类是解决本题的关键.

【变式2-2】（2018秋•准格尔旗期中）把下列各数分别填入相应集合内：

II9

—10»6»—7—»0»3—,—2.25,,67,—,10%,—18,71

347

正整数：｛...｝

负整数：｛...）

正分数：｛...｝

负分数：｛...｝

整数：｛...｝

和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原

点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数：⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对

值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，。的绝对值是0.

【例3】（2019春•松江区期中）下列叙述中，不正确的是（）

A.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示

B.在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等

C.在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大

D.在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大

【分析】根据数轴的特点进行判断，结合实数与数轴上点的一一对应关系进行分析判断即可.

【答案】解：•・•实数与数轴上的点一一对应，故答案4正确；

•••两个互为相反数的数绝对值相等，，表示互为相反数的两个点与原点距离相等，故答案B正确；

•・•在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故答案C错误；

•・•通常以向右的方向表示数轴的正方向，••・右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，故答案。正确.

故选：C.

【点睛】本题考查的是数轴的概念及数轴与实数的对应关系，把握数轴上点的分布规律是判断选项的关键.

【变式3-1］（2019春•南岗区校级期中）下列说法错误的有（）

①最大的负整数是-1；

②绝对值是本身的数是正数：

③有理数分为正有理数和负有理数；

④数轴上表示的点一定在原点的左边；

⑤在数轴上7与9之间的有理数是8.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据负整数的意义，可判断①；

根据绝对值的意义，可判断②；

根据有理数的分类，可判断③；

根据负数的意义，可判断④；

根据有理数的意义，可判断⑤.

【答案】解：①最大的负整数是故①正确；

②绝对值是它本身的数是非负数，故②错误；

③行理数分为正有理数、0、负有理数，故③错误；

④“VO时，-4在原点的右边，故④错误：

⑤在数轴上7与9之间的有理数有无数个，故⑤错误；

故选:D.

【点睛】本题考查了有理数，理解概念是解题关键.

【变式3-2]（2019春•浦东新区期中）下列说法中，正确的是（）

A.一个有理数的绝对值不小于它自身

B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等

C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数

D.的绝对值等于〃

【分析】根据相反数和绝对值的概念进行判断.

【答案】解：人、因为正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以一个有理数的绝对值

不小于它自身，故正确；

8、C、若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故错误；

。、当时，-a的绝对值等于-a,故错误；

故选：A.

【点睛】理解相反数和绝对值的概念是解答此题的关键.

相反数：符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数：绝对值：数轴上，一个数到原点的距离叫做这个数

的绝对值.

【变式3・3】（2018秋•埔桥区校级期中）下列说法中正确的有（）

①最小的整数是0;

②有理数中没有最大的数；

③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等：

④互为相反数的两个数的绝对值相等.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据整数的定义，有理数的定义，绝对值的性质，相反数的性质，可得答案.

【答案】解：①没有最小的整数，故①错误；

②有理数中没有最大的数，故②正确；

③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故③错误；

④互为相反数的两个数的绝对值相等，故④正确：

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数，没有最大的有理数，没有最小的有理数.

【考点4数轴上的点与有理数的对应关系】

【方法点拨】解决此类问题关健是掌握数轴上点的表示方法，明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断

各个数在数轴上对应哪一个点.

【例4】（2019秋•杭州期中）一个数a在数轴上表示的点是A,当点A在数轴上向左平移了3个单位长度

后到点3,点人与点4表示的数恰好互为相反数，则数〃是（）

A.-3B.-1.5C.D.3

【分析】根据题意得出。-3=4a=-b,求出即可.

【答案】解：设8点表示的数是方，

根据题意得：。-3=b,a=-b,

解得：a=1.5,b=-1.5.

故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程CL3=4a=~b.

【变式4-1］（2018秋•南京期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是km）,刻度尺上“0c〃7”

和“3cm”分别对应数轴上的3和0,那么刻度尺上“4.6cw”对应数轴上的数为（）

A.-1.6B.C.D.-2.6

【分析】利用数轴上两点间的距离的表示方法列式计算即可.

【答案】解：设刻度尺上f对应数轴上的数为3-4.6=-1.6,

故选：A.

【点睛】本题考查了数轴：在数轴上，右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离.

【变式4-2】（2019秋•洪山区期中）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示-3

的点重合，若数轴上4、8两点之间的距离为2018（4在8的左侧）,且4、8两点经上述折叠后重合，则

A点表示的数为（）

A.-1010B.-1009C.-1008D.1008

【分析】若1表示的点与-3表示的点重合，则对称中心是-I表示的点，根据对应点连线被对称中心平分，

则点4和点8到-1的距离都是1009,从而求解.

【答案】解：・门表示的点与-3表示的点重合，

・••对称中心是-1表示的点，

若数轴r.A、B两点之间的距离为2018（A在8的左侧），则点A至IJ・1的距离为1009,

则点A表示的数是-1-1009=-1010,

故选:A.

【点睛】本题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及中心对称的性质.注意：数轴上的点和数之

间的对应关系，即左减右加.

【变式4-3]（2018秋•曲阜市期中）如图，M,N,P,Q,分别是数轴上五个整数所对应的点，其

中有一点是原点，并且MN=NP=PQ=QR=l.数。对应的点在N与P之间，数〃对应的点在。与R之间,

若3+网=3,则原点可能是（）

A.M或QB.2或AC.N或RD.2或Q

【分析】先利用数轴特点确定。，〃的关系从而求出”的值，确定原点.

【答案】解：,:MN=NP=PQ=QR=\,

，|MNJ=|NP|=|PQ|=|QR|=1,

二|WR|=4；

①当原点在/点时,。+|目<3,又因为闻+劭=3,所以，原点不可能在尸点;

②当原点在N或/?时且|N4|=|8用时，间+依=3；

③当原点在M点时，|«|+|/?|>3,又因为|旬+|加=3,所以，原点不可能在M点；

综上所述，此原点应是在N或/?点.

故选:C.

【点睛】此题主要考杳了数轴的定义和绝对■值的意义.解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对•值符号

里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对俏符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解.

【考点5数轴上点的移动规律】

【例5】（2019秋•资中县期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数

轴上随意画出一条长2017厘米的线段,则线段盖住的整点共有（）个.

A.2018或2019B.2017或2018C.2016或2017D.2015或2016

【分析】分线段A3的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1,不重合

时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论.

【答案】解：若线段的端点恰好与整点重合，则I厘米长的线段盖住2个整点，若线段48的端点不与

整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点.

V2017+l=2018,

A2O17厘米的线段AB盖住2017或2018个整点.

故选:B.

【点睹】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为〃"为正整数）的线段盖住〃或个整点.本题属

于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键.

【变式5-1]（2018秋•三门县期巾）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A,

8,C,D,先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、

那么数轴上的-2019所对应的点与圆周上字母（）所对应的点重合.

A.DB.CC.BD.A

【分析】圆每转动一周，A、B、C、。循环一次，-2019与1之间有2020个单位长度，即转动2020+4=

505（周），据此可得.

【答案】解：1・（・2019）=2020,

20204-4=505（周），

所以应该与字母A所对应的点重合.

故选:D.

【点睛】此题考查数轴，以及循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，

二者互相补充，相辅相成.

【变式5-2]（2018秋•下陆区期中）等边AA4C在数轴上的位置如图所示，点A、。对应的数分别为0和-1,

若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点4所对应的数为1,则连续翻转2012次

后，点B（）

A.不对应任何数B.对应的数是2010

C.对应的数是2011D.对应的数是2012

…即第1次和第二次对应的都是1,第四次和第五次对应的都是4,第7次和第8次对应的都是7.根据这

一规律：因为2011=670X3+2=2010+2,所以翻转2011次后，点8所对应的数2011.

【答案】解：因为2012=670X3+2=2010+2,

所以2012次翻折对应的数字和2011对应的数字相同是2011.

故选：C.

【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律

解决问题.注意翻折的时候，点B对应的数字的规律：只要是3〃+1和3〃+2次翻折的对应的数字是3〃+2.

【变式5-3]（2019秋•长沙期中）在数釉上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了I个单位长度，

第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个

单位长度，如此进行了2016次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？（）

A.-1（X）7B.-1（X）8C.-10（）6D.1007

【分析】一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度到达1,第二次接着向左爬行了2个单位

长度到达・1,第三次接着向右爬行了3个单位长度到达2,第四次接着向左爬行了4个单位长度到达-2,

依此类推得到一般性规律，即可得到结果.

【答案】解：一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度到达1,第二次接着向左爬行了2个

单位长度到达-1,第三次接着向右爬行了3个单位长度到达2,第四次接着向左爬行了4个单位长度到达

-2,依此类推，第2012次到达-1006,第2013次到达1007,第2014次到达-1007,第2015次到达1008,

第2016次到达・1008,

则蚂蚁最后在数轴上-1008位置，

故选:B.

【点睛】此题考查了数轴，弄清题中的规律是解本题的关键.

【考点6有理数的大小比较】

【方法点拨】（I）有理数大小比较注意两点：（I）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在

数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大.

【例6】（2019秋•蓟州区期中）如图，下列关于-。，1的大小关系表示正确的是（）

A.a<\<—aB.—a<a<lC.a<-a<\D.\<-a<a

【分析】首先根据。和-a互为相反数即可确定■。的位置，然后根据数轴上右边的数大于左边的数即可判

断.

【答案】解：在原点的右侧，到。的距离与A到0的距离桂等，则。、-a,1在数轴上的位置是：

贝Ua<\<-a.

故选：4.

【点睛】本题考查了有理数大小的比较，正确确定。和■。的位置是解决本题的关键.

【变式6-1]（2018秋•杞县期中）已知。>0,b<0,且|勿>|a|,则a,-a,b,按从小到大的顺序排

列（）

A.-b<a<-a<bB.b<-a<a<-bC.a<-a<-b<bD.-a<a<b<-b

l分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可.

【答案】解：b<0,且创>同，

工-b>a>0,b<-〃V0,

：.b<-a<a<-b.

故选:B.

【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此题的关键.

【变式6-2]（2017春•高密市期中）若Ov〃2<l,加、机J一的大小关系是（）

A.in<ni2<—B.ni2<m<一C.—</zz<nrD.—<nV<tn

inmmm

【分析】利用特殊值法进行判断.

【答案】解：当〃?=工时，阳2=工，_1_=2,

24m

所以w2</??<—.

m

故选:B.

【点睛】本题考查了有理数大小比较：正数大于0,负数小于0;负数的绝对值越大，这个数越小.

【变式6・3】（2019春•泉港区期中）定义：对于任意数。，符号同表示不大于〃的最大整数，例如：[5.8]=5,

[10）=10,[-^J=-4.若⑷=-6,则〃的取值范围是（）

A.。2・6B.-6<d<-5C.-6<a<-5D.-7VaW・6

【分析】根据同=-6,得出-6Wa<-5,求出--5即可.

【答案】解：•・•同=-6,

工〃的取值范围是-6Wa<-5；

故选：B.

【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解.

【考点7相反数的性质】

【方法点拨】在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

一般地，。和-。互为相反数。。的相反数是0。

a=-。所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，。=00

【例7】（2019秋•龙亭区校级期中）a-A+c的相反数是.

【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，直接去括号即可求得结果.

【答案】解：a-b+c的相反数是-（67-b+c）=~a+b-c.

【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“■”号.此题要熟练掌握去

括号法则.

【变式7-1]（2019秋•江汉区期中）若〃?和〃互为相反数，mC〃，且，〃和〃在数轴上所对应的点之间的

距离是4.8,贝卜〃=.

【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得〃=-〃?，再根据数轴上两点间的距离的表示列式

计算即可得解.

【答案】解：•・•〃?和〃互为相反数，

.*./1=-m,

/.n-m=-m-，〃=4.8，

解得m=-2.4.

故答案为：-2.4.

【点睛】本题考查了相反数的定义，数轴，熟记概念并根据数轴上两点间的距离的表示列出穿式是解题的

关键.

【变式7-2](2019秋•雨城区校级期中)若-(〃-3)是负数，则a—3是,若-[-3+刃是负数，则a+〃

是.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.

【答案】解：-(〃-3)=4+3是负数，4-3是正数；

-[-(a+b)]=a+。是负数，

故答案为：正数，负数.

【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

【变式7-3](2019秋•龙口市校级期中)若〃?